1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При E = 0 требование нормируемости волновойфункции |ψ (x)|2 dx = 1 исчезает, т. к. решение находится на границе непрерывногоспектра, где при E = 0 волновая функция Ce ikx обращается в константу (A = 0).Именно такой вид имеет волновая функция снаружи области потенциала. Если параметры потенциала таковы, что решение с E = 0 существует, то это значит, что приэтих значениях параметров имеет место «выталкивании уровня» (уровень исчезаетпри соответствующем небольшом изменении параметров потенциала).Этот приём полезен, если потенциал выглядит как несколько ям с областямиU = 0 между ними. В качестве примера рассмотрим прямоугольную потенциальную яму (2.20).
Внутри ямы волновая функция имеет вид C cos(k0 x + ϕ), а условия сшивки (2.15а) сводятся к требованию непрерывности производных на краях ямы, sin(±k0 a + ϕ) = 0. Эти условия имеют решения только при 2k0 a = nπ(внутри ямы укладывается целое число полуволн с k = k0), a ϕ = 0 при чётном nи ϕ = π /2 при нечётном n.2.6.2. Мелкая яма, δ-ямаВажный пример, результаты исследования которогополезны для многих прило∫жений, доставляет мелкая яма – случай, когда U(x)dx < 0, и среднее значениепотенциала по области, где он отличается от нуля (|x| < a), мало по сравнениюс характерной кинетической энергией локализации в этой области ~2 / (2ma2).
Подругому, это потенциал с характерной величиной U0 и размером a, быстро убывающий при |x| ≫ a, если для него U0 ≪ ~2 / (2ma2) (например, прямоугольная яма приk0 a ≪ 1.) В такой задаче существует единственное связанное состояние – основное,и энергия основного состояния −E по величине значительноменьше U0 , а радиус√убывания соответствующей волновой функции 1/κ = ~/ 2mE ≫ a.Рассмотрим волновую функцию в точках x = ±x1 , выбранных так, что x1 ≫ aи одновременно x1 ≪ 1/κ. В этих точках можно считать U(±x1) = 0.
В то же время, поскольку масштаб изменения волновой функции с координатой определяетсявеличиной 1/κ ≫ x1 , можно считать в хорошем приближении ψ (x1) = ψ (−x1). Чтобы получить соотношения для производной волновой функции, запишем уравнениеШредингера ψ ′′ (x) = [2m(U(x) − E)] /~2 · ψ и проинтегрируем его от −x1 до x1 . При]∫x1 [этом получается ψ ′ (x1) − ψ ′ (−x1) =(2mU(x) /~2) − (2mE/~2) ψ (x)dx .−x1При вычислении интеграла можно пренебречь изменением ψ в правой части, т. е.считать что всюду внутри интервала интегрирования например ψ (x) = ψ (x1). Помимо2.6. Одномерная задача . Дискретный спектр49этого, как мы говорили, |E| ≪ U0 .
Поэтому можно пренебречь и вторым членомв квадратных скобках. В итоге соотношение между производными приобретает видψ ′ (x1) − ψ ′ (−x1) = −gψ (x1) ,g = −(2m/~2)∫x1−x1U(x)dx → (2mG/~2) ,гдеG=−∫∞U(x)dx .(2.24)−∞Предельный переход обеспечивается тем, что потенциал достаточно быстро убываетпри |x| ≫ a. Ясно, что изменение масштаба координат a с сохранением параметраg мало что изменит в решении. В частности, при a → 0 потенциал принимает видδ-функции. Поэтому не удивительно, что в этом пределе соотношение (2.24) принимает вид условия сшивки на δ-потенциале (2.16).Удобно записать решение именно для этого предельного случая.
При√этом внеямы мы имеем свободное уравнение Шредингера с решениями e ±κx , κ = 2m|E|/~.Как и в предыдущем разделе, при произвольной энергии E < 0, стартуя от волновой функции, обращающейся в нуль при x → ∞, с помощью последовательногоприменения правил сшивки, при x < −a мы получаем волновую функцию (2.19) с(g )gA1 (κ) = A 1 −,B=A.(2.25)2κ2κГраничное условие ψ (x) → 0 при x → −∞ означает, что решение существует толькопри A1 (κ) = 0. Отсюда получается решение при любом положительном g:κ = g/2 ⇒ E = −~2 g 2,8mψ=√g/2e −g|x|/2 ∀ |x| ≫ a .(2.26)Итак, связанное состояние существует в сколь угодно мелкой или сколь угодно узкойпотенциальной яме при единственном условии положительности интеграла (2.24).Полученное значение энергии уровня значительно меньше U0 .
Полезно заметить ещё, что разброс координат в этом случае ∆x = 1/ g значительно больше a,т. е. частица бо́льшую часть времени проводит вне ямы – в полном согласии с соотношением неопределённостей.• Подчеркнём, что вывод о существовании хотя бы одного уровня в мелкой ямесправедлив только в одномерном случае. В трёхмерном случае это заведомо нетак. В частности, радиальная прямоугольная яма U(r) = −U при r < a, U(r) = 0при r > a описывается радиальным уравнением Шредингера с U(r) = ∞ при r < 0(r < 0 не бывает).
Решение описывается волновой функцией нечётного состояниязадачи (2.20), которая обращается в нуль при r = 0. Оно существует только приU > π~2 / (8ma2). В двумерном случае уровень существует «почти всегда» [1].2.6.3. Две δ-ямы. ТуннелированиеОснову для многих физических обсуждений даёт случай, когда потенциал рис. 2.1сводится к паре ям, разделённых областью Ui = 0. В классической задаче состояниячастиц в каждой из ям независимы, они «не знают» друг о друге.
В квантовом случаеГлава 2. Состояния и их эволюция50«крылья» волновых функций каждой из ям достигают другой ямы, происходит туннелирование между ямами. Поскольку волновая функция вне ямы довольно быстроубывает, обычно туннелирование – слабый эффект, лишь немного меняющий уровни энергии и волновые функции. Однако в случае если энергии уровней в обеихуединённых ямах совпадают, туннелирование может привести к «перекачке» состояний между двумя ямами, наподобие биений при слабой связи между одинаковымиколебательными контурами или грузиками на пружинках.Основные черты этой задачи удобно изучить на примере системы из двух δ-ямU(x) = −G1 δ (x + a) − G2 δ (x − a) .(2.27)Наши действия воспроизводят то, что делалось при получении (2.22).
При произвольной энергии E = −~2 κ 2 /2m, стартуя от волновой функции, обращающейсяв нуль при x → ∞, с помощью последовательного применения правил сшивки (2.16)в точках x = ±a получается волновая функция при x < −a в виде (2.19) с]A [ 24κ − 2κ (g1 + g2) + g1 g2 (1 − D) ,24κгде gi = 2mGi /~2 ,D = e −4κa .A1 (κ) =(2.28)Мы ввели здесь коэффициент туннелирования D, который показывает, как уменьшается вероятность нахождения частицы с энергией, отвечающей стационарномусостоянию, на пути между двумя ямами.Граничное условие ψ (x) → 0 при x → −∞ означает, что решение существуеттолько при A1 (κ) = 0. Это даёт уравнение для определения уровнейg1 + g2g1 g2κ+(1 − D) = 0 ⇒24√()2g1 + g2g1 − g2⇒κ=±+ g1 g2 D .44κ2 −(2.29)Графическое исследование этого уравнения показывает, что оно имеет два решения при больших a и одно решение при небольших a.
Если расстояние междуямами велико, D ≪ 1, то мы имеем дело с уровнями двух уединённых ям, κi = gi /2,не зависящими от существования второй ямы, состояния локализованы в окрестности либо первой ямы, либо второй ямы. При a → 0 уравнение имеет решениеκ = (g1 + g2) /2, соответствующее одной яме суммарной глубины.Разберём теперь некоторые важные частные случаи, рассматривая D как параметр, принимающий небольшие значения, D ≪ 1.• Симметричная система.
Если G1 = G2 = G (одинаковые ямы), система симметрична относительно замены x → −x чётность сохраняется, решения для волновых функций обладают определённой чётностью. Мы видим, что первоначальныйуровень E = E0 = −~2 g 2 / (8m) расщепляется на два уровня с энергиями√E± = E0 ± ∆S ,∆s = 2 DE0 ≪ E0 .(2.30)2.6. Одномерная задача . Дискретный спектр51Подстановка полученных решений в волновые функции показывает, что для наименьшей энергии E = E0 − ∆S волновая функция в правой яме такова же, каки в левой, ψ0п (x) = ψ0л (−x) (в целом симметричная функция), а для другого значения энергии E = E0 + ∆S волновая функция в правой яме имеет противоположныйзнак, ψ0п (x) = −ψ0л (−x) (в целом антисимметричная функция).Нетрудно увидеть теперь, что если частица в начальный момент располагаетсяв окрестности правой ямы (ψ (x, t = 0) = ψ0п (x)), то через время πτ /2 она окажетсяв левой яме, т.
е. волновая функция осциллирует,ψ (x, t) = e−iE0 t/~ [ψ0ï (x) cos(t/τ) +iψ0ï (−x) sin(t/τ)] ,где ψ0ï (−x) = ψ0ë (x) – волновая функция частицы в окрестности левой ямы.• Небольшое отклонение от симметрии. Рассмотрим теперь случай небольшого отклонения от симметрии, когда глубины уединённых ям мало отличаются другот друга, |G1 − G2 | ≪ G1 . Удобно обозначить g = (g1 + g2) /2 ⇒ E0 = −~2 g 2 / (8m).Кроме того, δ g = (g1 − g2) /2 так, что энергии уединённых ям составляютE0л = E0 − δ ,δ = ~2 gδ g/ (4m) ≪ E0 .(2.31)Прямая подстановка в решение (2.29) даёт энергии уровней в виде√E± = E0 + ∆ ,∆ = ± δ 2 + ∆2S .(2.32)E0п = E0 + δ ,Отсюда видно, что при ∆S < δ туннелирование почти не меняет уровней.
Наоборот, при ∆S > δ расщепление термов близко к тому, что было в симметричном случае(система забывает об исходной малой асимметрии). Прямое вычисление волновойфункции в обоих указанных предельных случаях показывает следующее.▽ При δ ≫ ∆S состояния с высокой точностью остаются локализованными справаили слева, туннелирование почти не меняет состояний, биений не возникает.▽ При δ ≪ ∆S расщепление исходных термов δ несущественно по сравнению с эффектом туннелирования, смешивающего состояния.
При ∆ < 0 волновая функциясимметрична, а при ∆ > 0 волновая функция антисимметрична – как и в случае,когда расщепление исходных термов δ отсутствует. Как и для полностью симметричного случая, если сосредоточить начальное состояние вблизи одной из ям,с течением времени оно перетечёт в другую, возникнут биения с частотой π /∆S .Иными словами, если имеются две немного различающиеся ямы, то при большом расстоянии между ними – когда коэффициент туннелирования очень мал –возможные состояния локализованы вблизи этих ям. По мере сближения ям – приувеличении коэффициента туннелирования – происходит обобществление состояний,и при ∆S > δ мы приходим к симметричным или антисимметричным состояниям илик биениям между двумя ямами.
В § 6.8 подобные результаты получаются для парыгладких ям с помощью квазиклассического приближения.Глава 2. Состояния и их эволюция52§ 2.7.Непрерывный спектр. Одномерная задача рассеянияПостановка задачи. При E > 0 (см. разд. 2.4.2) естественно возникаетодномерная задача рассеяния.Слева направо падает поток частиц Ne ikx . Из-за взаимодействия с рассеи′вателем возникает рассеянная волна iNf(k, k′)e ik x , состоящая из отраженной волны, c k′ = −k при x → −∞, и прошедшей волны с k′ = k при x → ∞.Требуется определить амплитуду рассеяния f(k, k′).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
