1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. в известной ограниченной областипространства – области локализации) имеют импульс p. Это значит, что каждую изчастиц следует описывать в виде волнового пакета вида∫∫−i[ω (k)t−k r]fdk ≡ a(k)|k⟩dk|p⟩ = a(k)ekkc весовой функцией a(k), имеющей максимум при k = p и с разбросом импульсов,по порядку величины определяемом соотношением неопределённостей c размерамиобласти локализации. Как правило, более детальные свойства пакета не известны. На первый взгляд, чтобы вычислить какие-нибудь физические величины следует фиксировать (придумать) детальные свойства весовой функции a(k), а затем –чтобы получить натуральный квантовомеханический результат, усреднить ответ поансамблю возможных реализаций волнового пакета.Оказывается полезным изменить порядок действий. Рассмотрим наблюдаемоезначение физической величины A:∫f Â|fdkdk′ a∗ (k′)a(k)⟨k′ |Â|k⟩ .⟨p|p⟩ ≡k,k′В этом соотношении величина ⟨k′ |Â|k⟩ более или менее легко вычисляется по правилам квантовой механики, а «пакетный вклад» a∗ (k′)a(k) зависит от деталей реализации пакета.
Однако физический интерес представляет лишь среднее по ансамблю⟨⟩∫f Â|p⟩)f⟨A⟩ans ≡ (⟨p|=dkdk′ ρ(k′ , k)⟨k′ |Â|k⟩ ,ans(1.35)k,k′ρ(k′ , k) = ⟨a∗ (k′)a(k)⟩ans .1.11. Задачи33Появившаяся здесь величина ρ(k′ , k) есть матрица плотности пучка, записаннаяв импульсном представлении с практически теми же свойствами, что и обсуждавшаяся выше (1.34). В её описании несущественные детали устройства волновых пакетов исчезают. Использование этой матрицы плотности оказывается очень полезнымв тех задачах, где величина ⟨k′ |Â|k⟩ очень быстро меняется при изменении k и k′ .♢ Если x – пространственные координаты, удобно перейти к их средним значениям xe = (x + x ′) /2 и разностям u = x − x ′ , а затем выполнить преобразованиеФурье по разностям u (N – число частиц нашей системы):∫ ∏N∑1−(ipi ui )ρe(ex , p) =eρ̂(x, x ′)dui ,(ui = xi − xi′) .(1.36)(2π~) 3N/2i=1Получившуюся матрицу плотности в смешанном (x, p) представлении называютфункцией Вигнера.
В квазиклассическом случае (см. гл. 6) она переходит в функцию распределения в фазовом пространстве (x, p).• Использование матрицы плотности оказалось очень продуктивным при решении задач квантовой статистической физики. Здесь стартуют с волновой функции,которая определяется для полной изолированной системы. Например, для системыв термостате она зависит как от координат частиц системы xi , так и от переменныхчастиц термостата X, ψ ≡ ψ ({xi }, X). При этом, например, к среднему (1.32) обычноприписывают значок T , означающий усреднение по состояниям термостата.
Интегрирование по переменным термостата X и усреднение по его состояниям одинаковыдля всех операторов, действующих только на переменные нашей системы x. Поэтомустановится естественным описывать систему с помощью матрицы плотности (1.33).Статистический оператор ρ̂ связан с матрицей плотности так же, как матричная форма любого оператора G(x, x ′) связана с его операторной формой Ĝ (1.19).С помощью этого оператора среднее значение физической величины G записываетсяв виде суммы по всем возможным состояниям системы Tr:∫1⟨G⟩ = G(x, x ′)ρ(x ′ , x)dxdx ′ ≡ TrĜ ρ̂,ZZ = Tr{ρ̂} .(1.37)В частности, известное каноническое распределение Гиббса w ∝ e −E/ (kT) , где E –полная энергия нашей системы, переходит в квантовом случае в матрицу плотностиρ̂ = e −Ĥ / (kT) , где Ĥ – оператор полной энергии, а T – температура.§ 1.11.Задачи1.
Найти ψ (x, t) для пакета, который в начальный момент имел форму()1x2√ exp − 2 + ik0 xψ (x, 0) =4a(2π) 1/4 a(1.38)для частиц с законами дисперсии ω = ck и ω = ~k2 /2m. Найти средние значениякоординаты и импульса. Вычислить размеры пакетов при t = 1 с для электрона,первоначально локализованного в области a = 0, 5 · 10−8 см (атом водорода),и для шарика от пинг-понга (a = 2 см).
Вычислить плотность тока (2.5).34Глава 1. Основные понятия2. Для частицы в потенциальном ящике U(x) = {0 при |x| < a, ∞ при |x| > a}• найти уровни энергии En и волновые функции ψn ;• найти энергию основного состояния E1 и n, соответствующее энергии En ≈ kT ,где Т=300 К, оценить (En+1 − En) /En для этой энергии для частиц разных массв ящике размера a:а) m=1 г, a ∼ 1 см, б) электрон, a ∼ 10−8 см (атом), в) атом He, a ∼ 1 см.• сравнить классическую плотность вероятности dw/dx = 2/ (v(x)T) с квантовойdw/dx = |ψn (x)|2 при n=1 и n ≫1; сделать то же для dw/dp;• найти вероятность пребывания частицы в области 0 < x < a/3;• найти число энергетических уровней в интервале (E, E + dE) при достаточнобольших E;• найти силу давления частицы на стенку;• найти работу, которую следует совершить для медленного сжатия ямы в ν раз.3.
Для двумерного потенциального ящикаU(x, y) = {0 при |x| < a, |y| < b, ∞ при |x| > a и (или) |y| > b}• найти уровни энергии En и волновые функции ψn ;• отдельно рассмотреть случай квадратного ящика.• Найти плотность числа состояний при E ≫ ~2 / (2ma2) для двумерной и одномерной ям.4.
Для частицы в кубическом ящике со стороной a, с непроницаемыми стенками найти уровни энергии, волновые функции, плотность числа состояний приE ≫ ~2 / (2ma2).5. С какими наименьшими погрешностями можно определить скорости электронаи протона, локализованных в области размером 1 мкм, 10−8 см.6. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию основного состояния и неопределённость в положении по вертикали нейтрона в гравитационномполе Земли в этом состоянии. (Получить числа.)7.
Найти распределение по импульсам в основном состоянии атома водородаψ (r) = (πa3) −1/2 e −r/a .8. Пусть U(x) – потенциальная энергия системы, а T̂ = p̂ 2 / (2m) – кинетическая.Найти соотношение неопределённостей для ∆x и ∆T , для ∆T и ∆U(x).9. Найти коммутаторы [ px , x] , [ px , z].10. Найти оператор 1/r в импульсном представлении (трёхмерный случай).11. Показать, что [e ikr , p̂] = ke ikr . Найти [e ikr , p̂2 ] .12. Покажите, что коммутатор двух эрмитовых операторов становится эрмитовым после деления на i.
(Такой оператор называют антиэрмитовым.)13. Покажите, что для произвольного оператора  среднее по любому состоянию⟨ψ|† |ψ⟩ положительно.14. Покажите, что для коммутаторов между компонентами оператора момента импульса (1.9) и векторов Ai = ri , pi имеют место перестановочные соотношения[Li , A j ] = ieijk Ak (здесь eijk – тензор Леви–Чивита (Б.2)).Глава 2Состояния и их эволюция§ 2.1.Уравнение ШредингераСреди основных положений квантовой механики – утверждение, что волноваяфункция даёт полную информацию о системе.
Но если это так, то и эволюция системы во времени тоже должна определяться этой волновой функцией. Из принципасуперпозиции следует, что уравнение для эволюции волновой функции должно бытьлинейным, т. е. иметь вид dψ /dt = D̂ψ, где D̂ – некоторый оператор.Чтобы догадаться, как выглядит этот оператор D̂, используем принцип соответствия и вспомним выражение для плоской волны (1.1), ψ = Ce i(px−Et) /~ . Длятакой функции дифференцирование по времени даёт собственное значение оператора D̂, равное E/i~. Это – основание для догадки, что и в общем случае D̂ = Ĥ /i~,где Ĥ – оператор Гамильтона (гамильтониан) 1 (1.8).
В сущности, утверждение, чтоD̂ = −i Ĥ /~, представляет ещё один постулат квантовой механики, но постулат «второго сорта», как все получаемые из принципа соответствия определения операторовфизических величин. Итогом этих рассуждений является уравнение для эволюцииволновой функции со временем – уравнение Шредингера:[]∂ψ (r, t)p̂2∂i~= Ĥ ψ ≡+ U(r) ψ (r, t) ⇒ i~ |ψ (t)⟩ = Ĥ |ψ (t)⟩.(2.1)∂t2m∂tВ конце это уравнение записано в виде уравнения на вектор состояния – вне зависимости от используемого представления. Его основные свойства:1. уравнение Шредингера линейно: если ψ1 (r, t) и ψ2 (r, t) – решения уравненияШредингера, то c1 ψ1 + c2 ψ2 также является решением (принцип суперпозиции);2.
уравнение Шредингера – уравнение первого порядка по времени, поэтому волновая функция в любой момент времени полностью определяется, если она известнав некоторый момент t0 .1 В классической механике p = ∂S ∂x, H = −∂S ∂t (S– действие). В квантовой механике//p ⇒ −i~∂ /∂x = p̂. Следует ожидать по аналогии подобного соответствия и для энергии, E ⇒ i~∂ /∂t → Ĥ .Глава 2. Состояния и их эволюция36Далее всюду вплоть до гл. 15 мы ограничиваемся случаем,когда гамильтониан Ĥ не зависит от времени явно.
В этойчасти основным предметом нашего изучения будут стационарные состояния, спектр их энергий и волновые функции.• Особый интерес представляют стационарные решения уравнения Шредингера, т. е. решения, для которых плотность вероятности |ψn (r, t)|2 не меняется со временем. Вся зависимость такого решения от времени должна сводитьсяк некоторому фазовому множителю ψn (r, t) = ψn (r)e iϕn (t) . Подставим эту функцию в уравнение Шредингера (2.1). Разделение переменных превращает (2.1) в дваEn tуравнения, которые записать в виде ϕn (t) = −, Ĥ ψn (r) = En ψn (r). Величина~En появилась как параметр разделения переменных, не зависящий от r и t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
