1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Квантование21В частности, «наивная» запись ψ (x) или ψ̃ (p) описывает волновую функцию соответственно в координатном или импульсном представлении, значки x и p обозначают здесь как вид используемого представления, так и набор чисел – значений xи p. Подобные обозначения нередко используют и для других представлений.♢ Преобразование волновой функции к другому представлению описывается цепочкой равенств:{} {}∑ f →g∑f →g⟨gi |f j ⟩⟨ f j |ψ⟩ = {⟨gi |ψ⟩} , Û ji ≡ ⟨ gi | f j ⟩. (1.18)ψ (g) =Û ji ψ (f j) ≡jjf →gНабор чисел U jlопределяет связь двух базисов (подобно матрицам преобразования систем координат в трёхмерном мире, строящимся из косинусов и синусовуглов поворота осей).
Эти числа образуют матрицу преобразования U f →g (матричное представление оператора преобразования Û f →g).♢ При измерении величины F в состоянии |ψ⟩ получается одно из собственных значений f оператора F̂ с вероятностью |ψ (f)|2 . Именно поэтому волновуюфункцию ψ (f) называют ещё и амплитудой вероятности. В частности, пусть существует полная ортонормированная система собственных векторов |fnm ⟩ оператора какой-нибудь физической величины M c собственными значениями mn так, чтоM̂| fnm ⟩ = mn |fnm ⟩. Разложим произвольныйволновой вектор системы |ψ⟩ по этим∑собственным функциям: |ψ⟩ =cn | fnm ⟩ (при этом cn = ⟨fn∗m |ψ⟩). Тогда величинаn|cn |2 есть вероятность найти систему в состоянии |fnm ⟩, т. е.
наблюдать собственноезначение mn величины M.Пример. Волновая функция частицы с определённым импульсом в координатномпредставлении ⟨r|p⟩ = ψp (r) = e ipr/~ (2π~) −3/2 .Для любой волновой функции с учётом ⟨r|p⟩ = ⟨p|r⟩∗ имеем∫∫e −ipr/~ψ (r) ,(2π~) 3/2∫∫e ipr/~ψ (r) = ⟨r|ψ⟩ = d 3 p⟨r|p⟩⟨p|ψ⟩ = d 3 pψ (p) .(2π~) 3/2ψ (p) = ⟨p|ψ⟩ =§ 1.5.d 3 r⟨p|r⟩⟨r|ψ⟩ =d 3rОператоры II. КвантованиеЕсли задан способ, которым любой из векторов состояния преобразуется в другой вектор состояния |ϕ⟩ = Ĝ|ψ⟩, то говорят, что задан оператор Ĝ.
В квантовоймеханике рассматривают обычно линейные операторы:Ĝ (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x)) = a1 Ĝψ1 (x) + a2 Ĝψ2 (x) .Рассмотрим какой-нибудь базис |fi ⟩ в пространстве состояний. Действие оператора Ĝ на функцию из этого базиса даёт новую функцию, которую мы опять∑ fразложим по тому же базису, Ĝ| fi ⟩ = j Gij |f j ⟩. Чтобы найти коэффициенты этоfго разложения Gij , образуем, как обычно, скалярное произведение получившегосяГлава 1. Основные понятия22вектора на какой-нибудь вектор из этого же базиса |fk ⟩. Считая наш базис ортонормированным, получим (после переобозначений) выражения для этих коэффициентов.Кроме того, запишем и специфическое представление оператора в нашем базисе:f de fGij = ⟨fi |Ĝ| f j ⟩;Ĝ|fi ⟩ =∑jfGij | f j ⟩;Ĝ =∑i,jf| fi ⟩G ji ⟨f j |.(1.19)fЧисла Gij образуют матричное представление оператора Ĝ в базисе | fi ⟩.
Можfно сказать, что матрица Gi j – это оператор Ĝ в f -представлении.В этом базисе волновой вектор некоторого состояния |ψ⟩ задаётся своей волновой функцией, которую можно понимать как столбец ψi ≡ ψ (fi) (а сопряжённуюфункцию – как строку ψ ∗j ≡ ψ ∗ (f j)). Действие оператора на волновую функцию∑ fв этом представлении описывается как равенство Ĝ f [ψ (f)] ≡ ⟨fi |Ĝ|ψ⟩ =Gij ψ (f j) .j♢ Чтобы найти матричное представление нашего оператора в другом базисе |g >,повторим предыдущую процедуру, и с учётом (1.18) получим∑∑∑ ∗ f →g f f →gggfĜ = | gℓ ⟩Gkℓ ⟨gk | ⇒ Gkℓ = ⟨gℓ |fi ⟩Gij ⟨f j |gk ⟩ ≡ UℓiGi j U jk .(1.20)k,li, ji, jЭто соотношение можно трактовать также как закон преобразования формы оператора при преобразовании базиса (вращение, сдвиг, отражение).∗ f →gПоявившиеся в (1.20) числа Ukiобразуют матричное представление операf →g †тора преобразования (Û) .
Оно получается из матрицы Û f →g эрмитовым сопряжением (транспонированием и комплексным сопряжением). Если | gk ⟩ и |fi ⟩ –ортонормированные базисы, то изучаемые матрицы (и операторы) унитарны, т. е.(Û f →g) † Û f →g = 1̂ ⇒ (Û f →g) † = (Û f →g) −1 ≡ Û g→f .(1.21)Мы не обсуждаем ниже неунитарные преобразования, искажающие нормировку.Примеры.▽ В импульсном представлении матрица оператора импульса имеет вид⟨q|p̂|p⟩ = pδ (q − p); в координатном представлении∫′⟨r |p̂|r⟩ = d 3 pd 3 qψr∗′ (q) p δ (q − p)ψr (p) = i~∂ [δ (r − r′)] /∂r .Действие оператора p̂ на∫ волновую функцию ψ (r) сводится к дифференцированиюd 3 r ′ ⟨r|p̂|r′ ⟩ψ (r′) = −i~∂ψ (r) /∂r.Соответственно, p̂(p) = p, p̂(r) = −i~∂ /∂r.▽ Аналогично, для оператора координаты r̂(r) = r, r̂(p) = i~∂ /∂p, т.
е.⟨r′ |r̂|r⟩ = rδ (r′ − r); ⟨p′ |r̂|p⟩ = −i~∂ [δ (p′ − p)] /∂p,∫ 3 ′d p ⟨p|r̂|p′ ⟩ψ (p′) = i~∂ψ (p) /∂p.Эрмитовы операторы. Оператор ∫B̂ называют эрмитовосопряжённым к опера∫тору Ĝ (B̂ = Ĝ †), если соотношение (B̂ψ1) ∗ ψ2 dx = ψ1∗ Ĝψ2 dx справедливо для1.5. Операторы II . Квантование23любых двух функций ψ1 и ψ2 . (В матричной записи оператор Ĝ † получается из Ĝпосредством транспонирования и комплексного сопряжения). Оператор называется эрмитовым (или самосопряжённым), если Ĝ = Ĝ † , т. е.
если операторсовпадает со своим эрмитово сопряжённым, или в (1.19) G ji = Gi∗j .Среднее∫ значение физической∫ величины A по любому состоянию вещественно,т. е. ⟨A⟩ = ψ ∗ Âψdx = ⟨A⟩∗ = ψ ∗ † ψdx. Поскольку ψ – произвольная функция,это означает, что  = † , т. е.оператор физической величины эрмитов.(1.22)Некоммутативность операторов, коммутаторы. Результат последовательногодействия операторов на волновую функцию может зависеть от порядка действия;вообще говоря, ÂB̂ψ (x, t) ̸= B̂ Âψ (x, t).
В этом случае говорят, что операторы Â и B̂не коммутируют друг с другом. Например,∂ψ∂≡ −i~xψ ′ .p̂ x̂ψ (x, t) = −i~ (xψ (x, t)) ≡ −i~(ψ + xψ ′) ̸= x̂ p̂ψ (x) ≡ −i~x∂x∂xПоэтому (p̂ x̂ − x̂ p̂)ψ (x) = −i~ψ (x) для любой функции ψ (x). Следовательно, можнозаписать операторное равенство[ p̂, x̂] ≡ p̂ x̂ − x̂ p̂ = −i~ .(1.23)Коммутатор iĈ операторов Â и B̂ определяется соотношением (его называютперестановочным)[Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Â = i Ĉ.(1.24)Если коммутатор пары операторов обращается в ноль, говорят, что они перестановочны.Простое использование определения даёт полезные соотношения[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂] Ĉ + B̂ [Â, Ĉ] ,[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0 (тождество Якоби).(1.25а)(1.25б)• Квантование. Для разных физических систем пространства возможных состояний могут различаться. Переход к квантовому описанию этих систем – квантование– отдельная задача.
Обычно начинают с выбора обобщенных координат и импульсов Pi и Qi со скобками Пуассона {Qi , P j } = δij . Затем определяют операторыQ̂i , P̂ j с перестановочными соотношениями [Q̂i , P̂ j ] = i~δi j (ср. (1.24)) 1 . В этомвыборе ограничиваются обычно прямоугольными координатами. Часто используютпредставление, в котором Qi – обычные числа.Для остальные физически интересных величин используют те же комбинации координат и импульсов (теперь уже операторов), что и в классической механике.
Этапроцедура не вполне однозначна в силу некоммутативности координат и импульсов.Часто используют правило: если классическая физическая величина известнымобразом определяется через координаты и импульсы, то оператор соответствующей квантовой величины определяется тем же соотношением со1 Вообще, если скобка Пуассона двух физических величин есть {A, B} = D, то для коммутатора соответствующих операторов имеет место соотношение [Â, B̂] = i~D̂.Глава 1.
Основные понятия24всеми возможными перестановками между x̂ и p̂. Так, классической величинеpx сопоставляют обычно оператор (p̂ x̂ + x̂ p̂) /2.• Подробнее о собственных значениях и собственных векторах. Собственные значения λ оператора Â определяются из решения задачи о собственных значениях, т. е. из уравнения (1.5) Â|ψλ ⟩ = λ|ψλ∫⟩. Собственные∫ значения эрмитоваоператора вещественны. Действительно, ψλ∗ Âψλ dx = (Âψλ) ∗ ψλ dx → λ = λ∗ .Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям эрмитова оператора, ортогональны.
Действительно, домножив Âψλ = λψλ на ψµ∗∗∗слева,∫ ∗ а (Âψµ) ∫ =∗ µψµ на ∫ψλ ∗справа и проинтегрировав, получим в итогеλ ψµ ψλ dx = µ ψµ ψλ dx, т. е. ψµ ψλ dx = 0 при µ ̸= λ.Если одному собственному значению λ оператора какой-нибудь физической величины λ̂ соответствует несколько независимых собственных функций, то говорят,что это значение λ соответствует вырожденному состоянию по этой величине. Число линейно независимых собственных функций, отвечающих этому значению λ называют кратностью вырождения. В квантовой механике понятие вырождение безуказания оператора λ̂ означает обычно вырождение по энергии.Набор собственных функций ψn (x) эрмитова оператора λ̂ полон1 , т. е.образует ортонормированный ортонормированный базис гильбертова пространства(в случае вырождения можно выбрать собственные функции ортогональными) 2 :∫∑⟨m|n⟩ = δmn , F(x) = an ψn (x); an = ψn∗ (x ′)F(x ′)dx ′ ;n∫∑∑ψn (x)ψn∗ (x ′) = δ (x − x ′).F(x) = dx ′ F(x ′) n ψn (x)ψn∗ (x ′) →n♢ Пусть система собственных функций эрмитова оператора Ĝ и его собственных значений определяется соотношениями Ĝψn = Gn ψn .
Чтобы определить действие оператора F(Ĝ) на произвольную волновую функцию, запишем ∑разложениеan ψn . Тоэтой волновой функции по собственным функциям оператора Ĝ: ψ =nгда новое определение функции от оператора, эквивалентное (1.6) для функцийF(g), разложимых в ряд Маклорена, и применимое также для функций, не имеющихтакого разложения, имеет видdefF(Ĝ) ψ =∑an F(Gn) ψn .(1.26)n§ 1.6. Одновременная измеримость и полный наборнаблюдаемыхГоворят, что величины A и B одновременно измеримы, если существует полная система векторов состояний |ψn ⟩, таких, что они являются одновременно собственными векторами Â и B̂, т.
е. Â|ψn ⟩ = an |ψn ⟩, B̂|ψn ⟩ = bn |ψn ⟩.1 См.для уточнения примечание на стр. 246не выписаны индексы, напоминающие об операторе λ̂.2 Здесь1.7. Оператор конечного сдвига , оператор импульса25В силу полноты системы|ψn ⟩, произвольное состояние |ψ⟩ можно разложить по∑этому базису: |ψ⟩ = cn |ψn ⟩. При этом∑∑ÂB̂|ψ⟩ =cn an bn |ψn ⟩ =cn B̂ Â|ψn ⟩ = B̂ Â|ψ⟩ ⇒ (ÂB̂ − B̂ Â)|ψ⟩ = 0.nnПолучилось, что (ÂB̂ − B̂ Â)|ψ⟩ = 0 для произвольного вектора |ψ⟩, т. е.
[Â, B̂] = 0.Справедливо и обратное утверждение: если [Â, B̂] = 0, то Â и B̂ имеют общую полную систему собственных функций, т. е. одновременно измеримы. Действительно, пусть |ψa ⟩ – собственный вектор оператора Â, т. е. Â|ψa ⟩ = a|ψa ⟩. ТогдаB̂ Â|ψa ⟩ = aB̂|ψa ⟩ = ÂB̂|ψa ⟩, т. е. B̂|ψa ⟩ есть также собственная функция Â с темже собственным значением a. Если спектр не вырожден, отсюда следует, что B̂|ψa ⟩с точностью до множителя совпадает с |ψa ⟩, и, значит, B̂|ψa ⟩ = b|ψa ⟩, что и требовалосьдоказать. В случае вырождения можно выбрать такие линейные комбинации∑ci |ψia ⟩, которые будут собственными функциями B̂.Итак, две физические величины одновременно измеримы тогда и толькотогда, когда их операторы коммутируют.Полный набор наблюдаемыхГоворя о состоянии системы, далее мы имеем в виду, что оно определено какимнибудь полным набором величин (наблюдаемых), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
