1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому в начале курса нет традиционного описания экспериментального материала, послужившего мотивом к изобретению квантовой механики,с самого начала активно используется знакомый по курсу функционального анализадираковский подход (векторы состояния и т.п.). Важную роль играют оценки областиприменимости получаемых результатов к описанию реальных явлений.Одним из элементов различия является отношение к вычислительной части.В прежние годы важной частью фундаментального курса было коллекционированиеслучаев, в которых уравнение Шредингера решается точно. Каждая из таких точнорешаемых задач представляла собой отдельную жемчужину теории дифференциальных уравнений, дававшую лишь небольшой опыт для решения новых задач. На мойвзгляд, коллекция точно решаемых уравнений ныне важна лишь для отдельных ценителей. Поэтому я решаю уравнение Шредингера лишь для небольшого числа задач,и привычные аналитические методы по возможности заменяю на операторные.По той же причине я постарался как можно раньше рассмотреть пакет приближённых методов квантовой механики, чтобы использовать их при обсужденииконкретных физических систем.Традиционно курс квантовой механики является введением в курсы атомной10Предисловиефизики и физики твёрдого тела.
Предлагаемое пособие не является исключением. Соответствующие разделы не претендуют на полноту. Их роль – в том, чтобы,встретившись с соответствующими понятиями в специальной литературе, читательмог бы без особого труда понять, о чем идет речь, и если потребуется, сравнительнолегко изучить соответствующую специальную литературу.Хотя основное содержание книги относится к нерелятивистской теории, я нашёлполезным при описании атомных систем активно использовать постоянную тонкойструктуры α.Полезно обратить внимание на существенное отличие релятивистских квантовыхзадач от нерелятивистских.
В нерелятивистской теории универсальное уравнениеШредингера применимо для описания любой системы, надо лишь найти соответствующий потенциал. В релятивистской теории такого универсального уравнения нет(уравнения для частиц со спином 0 и 1/2 принципиальным образом различаются).Более того, в большинстве содержательных релятивистских задач представлениео задаваемом инструментально потенциале является плохим приближением, взаимопревращения частиц становятся важным предметом изучения; на место квантовоймеханики и электродинамики становится квантовая теория поля и её частные случаи – квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика (теория ядерных сил), электрослабая теория (объединённая теория электромагнитныхи слабых взаимодействий),...
Поэтому построение курса релятивистской квантовоймеханики, безотносительно от рассматриваемых частиц и взаимодействий, представляется мне не очень продуктивным. В то же время без описаний явлений излученияв нерелятивистской области движения частиц введение в атомную физику было бынеполным. Это обусловило выделение соответствующих задач в отдельную главу 16.При наличии прекрасных задачников по квантовой механике [10-12] я счел необходимым включить задачи в состав пособия. Задачи составляют существенную частькурса. Ссылка на задачу имеет вид X.N, где X – номер главы, а N – номер задачив ней, так, задача 1.9 – это задача 9 к гл.
1. Ссылки на литературу обозначаютсяномером в квадратных скобках, например, [2].В НГУ создан замечательный пакет программ Quant для упражнений по квантовой механике, с чрезвычайно дружественным интерфейсом [13] . Пользователь работает только с задачами квантовой механики. При работе с этим пакетом он знакомится с таким многообразием ситуаций и физических задач, возникающих при варьировании параметров, которое практически невозможно разобрать другими способами из-за недостатка времени.
Принципы построения этих программ и примерныйперечень типичных заданий содержатся в основном тексте и в приложении А.Я счел полезным собрать в приложении Б некоторые математические факты,либо не очень хорошо известные студентам, либо часто забываемые – в таких формулировках, которые необходимы физику.Закончу изложением своей точки зрения на причины необходимости изучениясерьезного курса квантовой механики всеми студентами-физиками, и теоретиками,и экспериментаторами, и специалистами по вычислительным методам.• Квантовая механика доставляет новые подходы и идеи, потенциально полезныев новых областях (новая концепция вероятности, новое понимание тождественности). Принцип дополнительности, разработанный при построении основ квантовойПредисловие11механики, полезен для понимания многих естественнонаучных задач в целом.
Напостулатах квантовой механики основаны реализуемые ныне идеи квантового компьютера и квантового кодирования, принципиально недоступного для посторонних.• Наши выпускники в частности должны быть высококультурными потребителями сложного оборудования, им следует чувствовать, когда производители этогооборудования пытаются их обмануть. В этой связи я обычно привожу такой пример.Некоторое время назад я читал лекции в Новосибирском институте связи (ныне СибГУТИ). Увидев однажды у студентов учебник по электронным приборам, я попросилу них книгу, открыл её на разделе «Туннельный диод» и прочел: туннельный диодработает со скоростью света. Если наш выпускник освоил основные идеи курса,он должен немедленно понять, что подобное утверждение — обман (или следствиемалограмотности автора, или жульничество).Я благодарен многим моим коллегам и студентам за интересные вопросы и обсуждения, повлиявшие на изложение, за замечания и указания неточностей.
Записи В.Г. Сербо и И.Б. Хрипловича, постепенно преобразовавшиеся в [7] , послужили спусковым механизмом для написания этой книги. Мои особые благодарностиА.Г. Грозину, который внимательно прочёл всю книгу, заметил много неточностей инемало ошибок, которые исправлены в предлагаемом тексте.Невзирая на многократное редактирование, как и все известные мне учебникиили научные книги, этот текст вряд ли свободен от опечаток, ненужных повторений,неточностей и неясных мест (надеюсь, что их осталось мало). Я заранее благодарен читателям, которые укажут на эти погрешности, что может быть исправленов возможном втором издании книги. Я с интересом восприму также предложенияпо добавлению новых тем и (или) исключению некоторых разделов. Предложенияи замечания просьба отправлять по адресу ginzburg@math.nsc.ru.Новосибирск, 2012 г.Глава 1Основные понятия§ 1.1.ВведениеХорошо известно, что переход к существенно новым масштабам рассматриваемых явлений может приводить к необходимости нового их описания (включающего классическое описание как предельный случай на «нормальных» масштабах).В частности, известно, чтосостояние микроскопической частицыописывается волновой функцией ψ (x, t).Поначалу для нас важно только, что ψ есть некоторая, скорее всего, гладкая функция координат и времени.Характерные масштабы квантовых явлений определяются, как и для фотонов,известными соотношениями E = ~ω, p = ~k с постоянной Планка – квантом действия~ = 1, 0546 · 10−27 эрг· с = 1, 0546 · 10−34 Дж· с.Отличие квантового поведения от классического становится существенным, когдавеличины той же размерности, что и величина ~ (например, момент импульса, произведение изменения энергии на время взаимодействия), не слишком велики по сравнению с ~.
Если же такие величины намного превосходят ~, квантовые предсказанияне должны отличаться от классических (принцип соответствия). Мы увидим далее, что |ψ (x, t)|2 имеет смысл плотности вероятности найти частицу в точке x.Справедливость квантовой механики подтверждается уверенным функционированием множества устройств, действие которых основано на еёзаконах (устройства твердотельной электроники, лазеры, детекторы элементарных частиц и т. п.). Поэтому я не нахожу нужным начинать курс (какэто делают многие авторы) с обсуждения первых экспериментов, послуживших аргументом в пользу новой в свое время теории (дифракция электронов, нейтронови других частиц, дискретные спектры энергии и т. п.).1.1.
Введение13Наш курс направлен на решение следующих задач.• Выяснить, что значит описание на основе упомянутых утверждений; понять, чтооно вносит нового в понимание явлений микромира по сравнению с привычнымнам макромиром, каковы здесь новые постановки проблем.• Разобраться в особенностях описания разных физических систем; описать некоторые физически интересные системы.• Овладеть методами приближений, которые позволят отыскивать ответы в большинстве физически интересных проблем.• Демонстрируемые новые подходы к постановке и решению задач квантовой механики должны войти в интеллектуальный багаж слушателей, используемый длярешения возникающих перед ними задач не только в этих сравнительно узкихобластях, но и вне их – вплоть до проблем организации производства и т.
п.Простейшие объектыПлоская волнаψ (x, t) = Ae i(kx−ωt) ≡ Ae i(px−Et) /~ .(1.1)Волновой пакет, близкий к монохроматической волне, – суперпозиция плоскихволн с амплитудой A(k), которая представляет собой функцию с максимумом в точкеk0 и быстро убывающую при удалении от максимума («купол»). Выполнив простыеразложения, получим приближённоψ (r, t) =∫A(k)e i(kr−ω (k)t) d 3 k ≈ A(k0) f(r, t)e i(k0 r−ω0 t) .(1.2)Рассмотрим одномерный «купол» в виде прямоугольника шириной ∆k ≪ |k0 |. Тогда∆k∫ i(qx−ωt)sin[(x − u g t)∆k]f(x, t) =edq ≈ 2∆k.(x − u g t)∆k−∆kЗдесь u g = ∂ω /∂k = ∂E/∂p – групповая скорость пакета.Входящие в пакет разные гармоники имеют разные фазовые скорости ω /k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
