1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Разложим функцию F(g) в ряд∑Маклорена: F(g) =fn g n . Тогда1 d n F def ∑F(Ĝ) =fn (Ĝ) n , fn =.(1.6)n! d g n g=0Таким способом определяется и произвольная функция от оператора координаты илиимпульса. В частности, действие оператора p̂ 2 сводится к двукратному последовательному действию оператора p̂. Для эрмитовых операторов Ĝ (см. ниже) другоеопределение функции от оператора (1.26) даёт тот же результат для функций F(g),разложимых в ряд Маклорена, и применимо в случаях, когда такого разложения не2√существует, например для F(g) = A g или F(g) = e −1/ g .♢ В нижеследующих примерах приведены различные операторы в «естественном» для начального употребления координатном представлении (см.
подробнее дальше) и найдены собственные значения и собственные функции для некоторых из них.• Оператор координаты x̂ сводится к умножению на x. Оператор Û (x) любойфункции от координат U(x) сводится к умножению на U(x). Собственные значения x0 и собственные функции ψ0 (x) находятся из уравненияx̂ψ0 (x) ≡ xψ0 (x) = x0 ψ0 (x).Отсюда следует, что ψ0 (x) = δ (x − x0), а собственное значение x0 может быть любым действительным числом.• Оператор импульса для движения по прямойp̂x = −i~d/dx .(1.7а)Собственные значения px и собственные функции ψ p (x) находятся из уравненияp̂x ψ p (x) ≡ −i~dψ p (x) /dx = px ψ p (x). Отсюда следует, что собственные функцииимпульса имеют вид плоских волн ψ p (x) = e ipx/~ , а собственное значение p можетбыть любым действительным числом.
Обобщение на трёхмерный случай очевидно:p̂ = −i~∇ :p̂x = −i~∂ /∂x , p̂y = −i~∂ /∂y , p̂z = −i~∂ /∂z .(1.7б)• Оператор энергии (гамильтониан)Ĥ =p̂2+ U(x) .2m(1.8)Как мы увидим в гл. 2, этот оператор определяет эволюцию системы со временемĤ = i~d/dt. При внешнем сходстве с парой (оператор импульса – координата) здесь есть существенное различие. Квантовомеханические средние значенияопределяются усреднением по всем координатам – без усреднения по времени –время в квантовой механике выступает просто как параметр.Глава 1. Основные понятия18• Оператор момента импульсаL̂ = [r̂ × p̂] :L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y , L̂y = ẑ p̂x − x̂ p̂z , L̂z = x̂ p̂y − ŷ p̂x .(1.9)• Оператор вероятности найти частицу вблизи точки x0 в объёме dVP̂ (x0 , dV) = δ (x − x0)dV.(1.10)Вероятность найти частицу в объёме dV вблизи точки x0 есть∫dw = P(x0)dV = ψ ∗ (x) P̂ (x0 , dV)ψ (x)d 3 x = |ψ (x0)|2 dV,т. е.
плотность вероятности найти частицу в точке x0 есть |ψ (x0)|2 . (Это равенствоиспользуют иногда как объяснение физического смысла ψ-функции.)♢ Условие нормировки∫ψ ∗ (x)ψ (x)d 3 x = 1(1.11)означает просто, что в объёме есть только одна частица. Действительно, в соответствии с (1.4) среднее значение любой функции F(x) есть∫∫⟨F(x)⟩ = ψ ∗ (x)F(x)ψ (x)dx ≡ F(x|ψ (x)|2 dx .§ 1.4.Векторы состояний и волновые функцииРассмотрим Фурье-образ волновой функции ψa (x), т.
е. её разложение по плоским волнам e ipx/~ (1.1), описывающим состояния с определённым импульсом p:ψ̃a (p) = √12π~∫ψa (x)e −ipx/~ dx,ψa (x) = √12π~∫ψ̃a (p)e i px/~ d p.(1.12)∫При условии (1.11) имеем также |ψ̃a (p)|2 d p = 1. Вероятность dw найти частицу с импульсом p пропорциональна∫ |ψ̃a (p)|2 , при этом dw/dp = |ψ̃a (p)|2 , и дляпроизвольной F(p) среднее ⟨F(p)⟩ = ψ̃a∗ (p)F(p) ψ̃a (p)dp.В обеих функциях ψa и ψ̃a содержится одна и та же (полная) информацияо состоянии a, необходимо только сообщить, в каком базисе записана эта функция (в координатном или в фурье-импульсном).Как и в нашем трёхмерном мире, в мире волновых функций надо различать вектори его запись в различных базисах.
Вектор можно задавать, не прибегая к конкретному базису; например, вектор a длиной в один метр, направленный от заданной точкина Полярную звезду. В каком-нибудь избранном базисе X такой вектор записывается как тройка чисел – его проекций на оси, a = (a1 , a2 , a3) X , в другом базисе Yтот же вектор определяется другой тройкой чисел a = (a′1 , a′2 , a′3) Y (и второй наборможно получить из первого с помощью универсального правила – линейного преобразования, коэффициенты которого не зависят от вектора a). Подобным образомсостояние квантовой системы определяется вектором состояния |a⟩, где значок1.4.
Векторы состояний и волновые функции19a – метка состояния, а, например, ψa (x) – запись этого вектора в координатномбазисе. Нередко состояния «нумеруют» значениями классических и квантовых параметров в этом состоянии, a = (a1 , a2 , . . .). По традиции этот вектор называюткет-вектором. Сопряжённый с ним вектор называют вектором бра (вместе они образуют слово bracket). (Это – аналоги 6-компонентной строки F и 6-компонентногостолбца F † в электродинамике.) Набор чисел, описывающих вектор состоянияв избранном базисе, называют волновой функцией состояния. Сопряжённыйвектор описывается набором чисел, которые получаются из указанного набора посредством комплексного сопряжения. В частности, в предыдущем примереψa (x) и ψ̃a (p) – волновые функции состояния |ψ⟩ в координатном и импульсномбазисах соответственно.Векторы состояний |A⟩ и α|A⟩, где α ̸= 0 – некоторое число, определяют однои то же состояние. Ниже мы всегда имеем в виду нормированные векторы состояний|A⟩ и |B⟩, в этом случае коэффициент α исчезает при нормировке.
В суперпозициивекторов состояний α|A⟩+β|B⟩ смысл имеет только отношение коэффициентов β /α.Примеры:|p⟩ ≡ |ψp ⟩ – вектор состояния частицы с импульсом p;|r⟩ ≡ |ψr ⟩ – вектор состояния частицы, локализованной в точке r.Нередко состояния дискретного спектра системы нумеруют в порядке возрастания их энергии, начиная с нуля. Вектор n-го состояния часто обозначают |n⟩.• Все возможные векторы состояний кет образуют линейное гильбертово пространство состояний рассматриваемой системы (оно же – пространство состояний), а сопряжённые векторы бра – сопряжённое гильбертово пространство. Скалярное произведение векторов состояний |ψ⟩ и |φ⟩ обозначают как ⟨ψ|φ⟩ = ⟨φ|ψ⟩∗ .Если вектор состояния задан в координатном базисе, то∫⟨ψ|φ⟩ = ψ ∗ (x)φ(x)dx .(1.13)♢ В пространстве векторов состояний можно выбрать полный набор ортонормированных векторов состояний | fi ⟩, таких что ⟨fi |f j ⟩ = δi j . Набор |fi ⟩ образуетбазис векторного пространства.
Далее буква f будет «значком» выбранного базиса,индекс i перечисляет векторы из этого базиса, фигурные скобки обозначают словосовокупность. Так, {|fi ⟩} – совокупность всех векторов |fi ⟩, т. е. базис f .В квантовой механике выбор базиса называют выбором представления, и надонаучиться переходить от одного представления (базиса) к другому. Ранее обсуждались координатное и импульсное представления.Бо́льшая часть нашего изложения относится к случаю, когда набор собственныхсостояний дискретен, движение частицы сосредоточено в конечной области пространства, и нормировка означает попросту условие, что частица находится где-тов этой области.
В частности, это оправдано, если система помещена в конечныйобъём (например, внутрь куба со стороной L). Для состояний частицы в этом объёме полный набор составляет совокупность плоских волн с волновыми числамиk = πn/L, где n – целое число, возможные значения k образуют счётное множество.Предельный переход L → ∞ превращает набор состояний в непрерывный. При этомГлава 1. Основные понятия20полный набор состояний можно задать с помощь плоских волн, волновое число которых k пробегает уже непрерывный ряд значений.
В этом случае мощность множествазначений k – континуум. Более того, если движение частицы инфинитно (например,описывается волновой функцией в виде плоской волны), состояние не нормируемо в обычном смысле, концепция обычного гильбертова пространства прямо неработает. Для этого случая И.М. Гельфанд разработал концепцию оснащённогогильбертова пространства, состояния которого сворачиваются с гладкими носителями, реализующими различные волновые пакеты.
С практической точки зренияэто сводится к тому, что физические состояния реализуются не плоскими волнами, аих более или менее локализованными суперпозициями – волновыми пакетами. Еслииметь это в виду, всё излагаемое о гильбертовом пространстве годится и для пространства состояний оснащённого гильбертова пространства с естественной заменойδij на δ (i − j), а сумм – на интегралы.♢ Оператор, осуществляющий проектирование произвольного вектора состояния|a⟩ на состояние |fi ⟩, (проекционный оператор P̂i для состояния |fi ⟩) выделяетиз |a⟩ составляющую, направленную вдоль |fi ⟩:de fP̂i = |fi ⟩⟨fi |(без суммирования по значениям i).(1.14)Пример. В двумерном мире a = a1 e1 + a2 e2 .
Пусть |f1 ⟩ = |e1 ⟩ и | f2 ⟩ = |e2 ⟩.Тогда P̂1 |a⟩ = |e1 ⟩⟨e1 |a⟩ = e1 (e1 a) ≡ a1 |e1 ⟩, т. е. P̂1 действует как операторпроектирования на ось 1.Отметим, что по определению( )2P̂i = P̂i ,(1 − P̂i)2= 1 − P̂i .(1.15)При суммировании проекционных операторов на все состояния i любого базисаf в пространстве векторов состояния получается единичный оператор:∑P̂i =∑|fi ⟩⟨fi | = 1̂.(1.16)iiВолновые функцииМы уже говорили о волновых функциях в координатном и импульсном представлениях.
Вообще, вектор состояния |ψ⟩ можно описать его проекциями ⟨ fi |ψ⟩ набазис | fi ⟩ (как трёхмерный вектор – его проекциями на координатные оси):|ψ⟩ =∑|fi ⟩⟨ fi |ψ⟩.(1.17)iНабор проекций ⟨fi |ψ⟩ ≡ ψ (fi) для всех векторов |fi ⟩ из базиса |f⟩ называетсяволновой функцией состояния |ψ⟩ в f-представлении. Если базис составляютсобственные функции оператора какой-нибудь физической величины F , то говорято F -представлении и о волновых функциях в этом представлении.1.5. Операторы II .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
