1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Принцип соответствия делает естественным отождествление этой величины с энергиейсистемы в состоянии ψn .Второе из этих уравнений есть уравнение на собственные значения En для гамильтониана Ĥ . Это – уравнение Шредингера для стационарных состояний:Ĥψn (r) ≡ −~2∆ψn (r) +U(r)ψn (r) = En ψn (r),2mψn (r, t) = ψn (r)e −iEn t/~.(2.2)Как мы увидим ниже, физически осмысленные решения непрерывны вместе со своейпервой производной.
Они образуют базис энергетического представления.♢ Если одно собственное значение E отвечает нескольким линейно независимымволновым функциям ψα , т. е. Ĥ ψα = Eψα при α = 1, ... k, то говорят, что состояниес энергией E вырождено (k-кратно). Ясно, что любая линейная комбинация функций ψα также описывает стационарное состояние с энергией E. При описании системы с вырождением любой из наборов функций ψα можно рассматривать как базис.Во многих случаях вырождение связано с существованием какой-то симметрии системы, состояния ψα переходят друг в друга при преобразованиях этой симметрии.2.1.1.
Эволюция состояния со временемВ общем случае эволюция волновой функции определяется следующим образом.Разложим волновую функцию начального состоянияψ (r, 0) по собственным функци∑ям ψn (r) гамильтониана системы Ĥ : ψ (r, 0) = cn ψn (r). Тогда со временем каждаяиз этих компонент эволюционирует по своему закону (2.2), и в итоге мы имеем()∫∑(2.3)ψ (r, t) = cn e −iEn t/~ ψn (r),cn = ψn∗ (r)ψ (r, 0)d 3 r .∫ ∗∑En |cn |2 , то cn есть амплитуда(i) Поскольку ⟨E⟩ = ψ (r, t) Ĥ ψ (r, t)d 3 r =nвероятности обнаружить у системы энергию En .
Набор величин cn есть волноваяфункция системы в энергетическом представлении.(ii) Иногда закон эволюции (2.3) удобно записывать формально с помощьюоператора эволюции Û (t, 0), обсуждаемого в § 3.1. Если гамильтониан не зависитот времени явно, можно записать Û = exp(−i Ĥt/~).2.1. Уравнение Шредингера37• Нетрудно убедиться, что эволюцию волновой функции (2.3) можно описатьи с помощью функции Грина G, которая в сущности представляет собой записьоператора эволюции в координатном представлении:∫∑(2.4а)ψ (r, t) = G(r, r′ , t)ψ (r′ , 0)d 3 r′ :G = n ψn (r)ψn∗ (r′)e −iEn t/~ .Функция Грина удовлетворяет уравнению с начальным условиемG(r, r′ , 0) =i~∂G/∂t = ĤG,∑ψn (r)ψn∗ (r′) = δ (r − r′).(2.4б)2.1.2.
Плотность тока вероятностиРассмотрим плотность вероятности ρ(r, t) = |ψ (r, t)|2 и её изменение со временем, ∂ρ/∂t = ψ ∗ ∂ψ /∂t + (∂ψ ∗ /∂t)ψ. Подставим сюда вместо производных от ψи ψ ∗ их выражения, получающиеся из уравнения Шредингера (2.1). В итоге найдем∂ρi~=Z,∂t2mZ = ψ ∗ ∇2 ψ − (∇2 ψ ∗)ψ.Добавляя и вычитая в Z выражение ∇ψ ∗ ∇ψ, запишем эту величину в видеZ = ψ ∗ ∇2 ψ + ∇ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ ∗ ∇ψ − (∇2 ψ ∗)ψ = ∇ [ [ψ ∗ (∇ψ) − (∇ψ ∗)ψ]. Итак,правая часть уравнения для dρ/dt оказалась дивергенцией некоторого вектора,и это уравнение можно переписать в виде уравнения непрерывности:∂ρ= −∇j,∂tj=−i~ ∗[ψ (∇ψ) − (∇ψ ∗)ψ] .2m(2.5)Таким образом, наша интерпретация квадрата модуля волновой функции как плотности вероятности является внутренне согласованной и последовательной.
Вектор jназывают вектором плотности тока вероятности.Выделяя амплитуду и фазу волновой функции, имеемψ=√ρe iφ ⇒ j = ~ρ∇φ/m.(2.6)Итак, вектор j направлен вдоль градиента фазы волновой функции. Именно в этомнаходят физический смысл фазы.♢ В частности, для плоской волны (1.1)ψ (x) = Ae i(px−Et) /~ ⇒ j = |A|2p≡ |A|2 vm(2.7а)(v – скорость частицы). Поэтому далее мы (если это не оговорено специально) будемсчитать стандартным выражение для плоской волны, нормированной на поток (одначастица в секунду через площадку единичной площади, перпендикулярнуювектору p):√m i(px−Et) /~ψ (x) =e.(2.7б)pГлава 2. Состояния и их эволюция382.1.3. Теорема о вириалеПусть |n⟩ – стационарное состояние дискретного спектра, удовлетворяющее уравнению Ĥ |n⟩ = En |n⟩.
Тогда для любого оператора Â имеем⟨n|[Ĥ , Â] |n⟩ = ⟨n|Ĥ Â − ÂĤ |n⟩ ≡ (En − En)⟨n|Â|n⟩ = 0.В частности, для Â = p̂ r̂ c учётом (1.25а) и соотношений Ĥ = T + U(r), T = p̂2 /2mp̂2получаем ⟨n|[Ĥ , p̂ r̂]|n⟩ ≡ ⟨n| [T̂ , p̂ r̂] |n⟩ + ⟨n|[Û , p̂ r̂] |n⟩ = −i~⟨n|− r ∇U |n⟩ = 0.mПоследнее из этих соотношений составляет теорему о вириале:2⟨n|T |n⟩ = ⟨n|r ∇U |n⟩ .(2.8)♢ В частности, если потенциал – однородная функция координат степени k,т.
е. U = A|r|k , то 2⟨n|T |n⟩ = k⟨n|U |n⟩. В важном случае гармонического осциллятора это означает, что ⟨T ⟩ = ⟨U ⟩ = En /2. Точно так же для атома водорода⟨U ⟩e2p̂ 2⟨n| |n⟩ = 2⟨n||n⟩, ⟨T ⟩ = −= −En .r2m2§ 2.2. Сохраняющиеся величины. Симметрия и вырождениестационарных состоянийПусть A – оператор какой-нибудь физической величины. Вычислим производнуюпо времени от её среднего значения по некоторому состоянию |ψ⟩ : ∂  ∂ψdd⟨A⟩∂ψ ≡⟨ψ  ψ⟩ = ⟨⟩. ψ⟩ + ⟨ψ ψ⟩ + ⟨ψ  ∂t dtdt∂t∂tИспользуя для dψ /dt уравнение Шредингера (2.1), получим() ∂ Âd⟨A⟩Ĥ  − ÂĤ = ⟨ψ − ψ⟩. ∂tdti~Отсюда следует, что если оператор  а) коммутирует с гамильтонианом и б) независит от времени явно, т.
е. ∂ Â/∂t = 0, то среднее значение ⟨A⟩ не меняется современем, физическая величина A сохраняется.∂ Â/∂t = 0,[Â, Ĥ] = 0|{z}⇓Â – оператор сохраняющейся величины.(2.9)В этом случае величина A и энергия одновременно измеримы, т. е. в частности стационарные состояния можно выбрать так, чтобы они одновременно былисобственными состояниями и оператора Â и гамильтониана. (Разумеется, интересентолько случай, когда Â не сводится к какой-нибудь функции гамильтониана.)В частности, для свободного движения Ĥ = p̂ 2 / (2m), поэтому [Ĥ , p̂] = 0,и состояния с определённым импульсом стационарны.2.2.
Сохраняющиеся величины . Симметрия и вырождение39Симметрия и законы сохранения. Пусть имеется некоторая группа преобразований S. Преобразования этой группы описываются набором унитарных операторов Ŝi , преобразующих вектор состояния |ψ⟩ в вектор состояния Ŝi |ψ⟩. Мырассмотрим сначала для определённости конечные группы, в которых весь набороператоров Ŝi может быть построен из конечного набора унитарных операторов Û– генераторов группы.
В частности, под действием оператора Û вектор состояния|ψ⟩ преобразуется в вектор состояния Û |ψ⟩. Применение того же преобразованиясимметрии к бра-вектору ⟨ψ| описывается оператором Û −1 . Утверждение, что система обладает симметрией S означает, что преобразование симметрии для векторовсостояния Û не меняет её гамильтониан, т. е. и энергию системы (среднее значениегамильтониана), ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = ⟨ψ|Û −1 Ĥ Û |ψ⟩. Поскольку это соотношение имеет местодля любого вектора состояния, из него следует, что существование нашей симметриивлечёт за собой равенствоÛ −1 Ĥ Û = Ĥ ⇒ [Ĥ, Û ] = 0 .(2.10)Таким образом, если в системе существует некоторая симметрия, то операторпреобразований этой симметрии коммутирует с гамильтонианом, т.
е. в силу (2.9)определяет некоторую сохраняющуюся величину. Это утверждение составляет содержание теоремы Нетер:Если система обладает некоторой симметрией, то существуютсохраняющиеся операторы, отвечающие этой симметрии.(2.11а)Справедливо и обратное утверждение:Если в рассматриваемой системе сохраняется какая-то величина помимо функций от энергии, то система обладает некоторойсимметрией (быть может, скрытой).(2.11б)Принято различать Таблица 2.1.
Соотношение: инвариантность свойств системы по отнепрерывные и дис- ношению к некоторым преобразованиям – законы сохранения отдельных физических величинкретные симметрии.ИнвариантностьСохраняющаясяПримером дискретнойпоотношениюквеличинасимметрии является инсдвигукоординат⇒импульсpвариантность по относдвигу по времени⇒энергия Eшению к отражениюкоординат. При этомвращениям⇒момент импульса Lсохраняющейся велиотражению координат⇒чётность Pчиной является чистоквантовая величина, чёт- частица ↔ античастица ⇒ зарядовая чётность C(зарядовое сопряжение)ность, § 2.3.
Примерами непрерывныхсимметрий являются хорошо известные вам инвариантности по отношению к сдвигу(трансляционная инвариантность) и к поворотам (инвариантность по отношению к вращениям). В этих случаях существуют семейства преобразованийГлава 2. Состояния и их эволюция40Û , чьи операторы коммутируют с гамильтонианом (например, операторы сдвигов наразные расстояния), и все эти операторы можно получить многократным повторением «элементарного», инфинитезимального (бесконечно малого) преобразования.При этом, например, импульс определяется как аддитивная величина, сохраняющаяся в силу трансляционной инвариантности, именно такой способ использовалсяв § 1.7.
В табл. 2.2 перечислены многие такие соответствия, включая и дискретные законы сохранения (в нижней части таблицы), из них мы обсуждаем толькосохранение чётности.• Пусть операторы Â и B̂ коммутируют с гамильтонианом, но не коммутируютдруг с другом. Подействовав операторами [Â, Ĥ ] = 0 и [B̂, Ĥ ] = 0 на собственноесостояние гамильтониана |E⟩, мы видим, что векторы Â|E⟩ и B̂|E⟩ также являютсясобственными векторами гамильтониана. Эти векторы, вообще говоря, не совпадают в силу некоммутативности операторов Â и B̂ (один из них может совпадатьс |E⟩).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
