1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким образом, одному и тому же значению энергии отвечают по крайнеймере два разных собственных вектора, т. е. в этом случае стационарные состоянияобязательно вырождены.Если[Â, Ĥ] = 0 ,[B̂, Ĥ] = 0 ,[Â, B̂] ̸= 0стационарные ⇒ состояниявырождены.(2.12а)Почти всегда справедливо и обратное утверждение:Если состояния системы вырождены, то существуетне менее двух разных операторов, коммутирующих сгамильтонианом и не коммутирующих друг с другом.(2.12б)Сохранение какой-нибудь величины A связано обычно с существованием некоторой симметрии. Из (2.12) следует, что наличие нескольких одновременных симметрийв системе приводит к вырождению стационарных состояний.Система тождественных квантовых частиц обладает симметрией по отношениюк перестановке этих частиц.

Эта симметрия приводит к выводам о возможных состояниях такой системы, § 13.1.§ 2.3.Симметрия по отношению к отражениям. ЧётностьДействие оператора отражения координат P̂ на любую функцию координат состоит в изменении знаков этих координат в аргументе:P̂ψ (x) = ψ (−x).(2.13)Найдём возможные собственные значения оператора P, т. е. решения уравненияP̂ψ (x) = Pψ (x). Так как P̂ψ (x) = ψ (−x), то повторное действие этого операторадаёт P̂ 2 ψ (x) = ψ (x). В то же время P̂ 2 ψ (x) = P 2 ψ (x), т.

е. P 2 = 1. Про состоянияс определённым значением P говорят, что они обладают определённой чётностью.2.4. Основные типы задач для движения одной частицы41Чётность квантовомеханической системы может принимать значенияP = +1 (чётное состояние) или P = −1 (нечётное состояние).Если при отражении вид гамильтониана не меняется, т. е. [P̂, Ĥ ] = 0, то чётностьсохраняется, величины энергии и чётности одновременно измеримы.

При этом можнотак определить стационарные состояния, чтобы они имели определённую чётность.В частности, волновые функции фотона и π-мезона при отражении меняют знак, ихчётности равны −1.Чётность – специфически квантовое понятие. Она не имеет классического аналога, поскольку определяется для ненаблюдаемой волновой функции, а для классической величины – вероятности – чётные и нечётные состояния неразличимы. Явноевыражение оператора отражения координат через операторы координаты и импульсавыписано в (4.19).♢ Для частиц со спином 1/2 (гл. 10) понятие чётности определить нельзя. Однако, для них определяется понятие внутренней чётности, значение которой постулируется.

Если несколько таких частиц получаются во взаимодействиях, сохраняющих чётность (электромагнитных или ядерных), то знание внутренней чётностиодной из этих частиц фиксирует внутренние чётности остальных с помощью законасохранения чётности. Для протона, нейтрона и электрона принимают, что внутренняячётность есть +1, тогда для античастиц – антипротона, антинейтрона и позитронавнутренние чётности равны по −1.§ 2.4.Основные типы задач для движения одной частицыНачало отсчёта потенциальной энергии обычно выбирают так, чтобы подчеркнуть исчезновение взаимодействия на больших расстояниях1 : U(r) → 0 при r → ∞.Постановки соответствующих краевых задач и нормировки волновой функции существенно различаются для случаев E < 0 и E > 0. Это различие соответствуетдвум разным типам классического движения.2.4.1. Стационарные состоянияПри E < 0 классическое движение частицы финитно – она остается в конечнойобласти пространства.

В соответствующей квантовой задаче можно рассчитывать,что в ограниченной области пространства есть одна частица, т. е. потребовать выполнения условия нормировки в форме (1.11). Этот интеграл сходится, только есливолновая функция достаточно быстро убывает на бесконечности. Такое граничноеусловие приводит к тому, что уравнение Шредингера (2.2) имеет решения – собственные функции – только при некоторых фиксированных значениях энергии –собственных значениях гамильтониана.

Это и есть стационарные состояния дискретного спектра. Энергия системы есть сумма кинетической (положительной)1 Используядля описания реальной системы приближения гармонического осциллятора и бесконечноглубокой прямоугольной ямы, мы отказываемся от этого выбора. Надо не забывать, что получающиесяв таких задачах результаты применимы для описания реальных систем лишь в ограниченной областиэнергий и расстояний, где можно пренебречь эффектами «остановки» роста потенциала.Глава 2.

Состояния и их эволюция42и потенциальной энергий. Для любого физически осмысленного потенциала существует состояние с наименьшей энергией E0 , параметры которого можно оценитьс помощью соотношения неопределённостей, см. примеры на стр. 28. Это состояние называют основным. Здесь естественная основная задача состоит в поискеэтих энергий и волновых функций. Таким задачам посвящена бо́льшая часть этого курса. Обычно решения нумеруют в порядке возрастания собственных значенийE0 6 E1 6 E2 6 E3 6 ....

∫Сходимость интеграла |ψ 2 (r)d 3 r означает, что частица локализуется в некоторой конечной области. Размер этой области мы оценивали с помощью соотношениянеопределённостей. (Однако, в отличие от классического случая, существует небольшая вероятность найти частицу и вне этой области.) Более подробные сведения даётпрямое решение уравнения Шредингера (2.2).При переходе из n-го состояния дискретного спектра в m-е выделяется энергияEn − Em . Если при таких переходах излучаются фотоны, их частоты принимаютдискретный ряд значений ωnm = (En − Em) /~, специфический для каждой системы.В этом – причина появления дискретных оптических спектров, неестественных дляклассических задач без фиксированного размера атомной системы.

Эти дискретныеспектры дают сведения о том, из каких атомов и молекул состоит наша система.Падение на центр. Пусть в окрестности какой-то точки – примем её за на−sчало координат – U(r. Вклад окрестности этой точки V в пол∫ → 0) →2 −Ar3ную энергию ∆U = U(r)|ψ (r)| d r зависит от «силы» этой бесконечности s. ПриVs < 2 вклад ∆U конечен, и никаких трудностей не возникает. При s > 2 этотвклад расходится, полная энергия обращается в −∞.

Обозначим через ∆r неопределённость координаты. В оценке с помощью соотношения неопределённостей имеем⟨T ⟩ ≈ (~2 /8m) (∆r) −2 и ⟨U ⟩ ≈ −A(∆r) −s . Минимизация этой суммы даёт ∆r = 0и бесконечную отрицательную энергию, у такой системы нет основного состояния,мы имеем дело с падением на центр. Та же ситуация имеет место и при s = 2 вслучае A > ~2 / (8m). Такая ситуация не может реализовываться в реальных физических задачах. В них рост величины потенциала при r → 0 всегда останавливается,и решение подобной задачи неполно без добавления информации об этой остановке.2.4.2.

Непрерывный спектр. Задача рассеянияПри E > 0 классическое движение частицы инфинитно – она уходит на бесконечность, где имеет энергию E = p 2 / (2m) > 0. В соответствующей квантовойзадаче частица может уходить сколь угодно далеко из области действия потенциала.Здесь вся её энергия оказывается кинетической – как при свободном движении, всезначения энергии разрешены, т. е.

спектр её возможных значений непрерывен. Приэтом условие нормировки (1.11) не может выполняться.Обычно здесь изучается задача рассеяния – задача о преобразовании падающей плоской волны вследствие взаимодействия с рассеивателем (потенциалом) –§ 2.7, 6.9 и гл. 17. Это – задача о стационарных потоках:С давних времён и на все времена откуда-то идёт поток частиц, онимогут задерживаться у рассеивателя на какое-то время, но в конце концов2.5. Одномерные задачи43числа вошедших и вышедших частиц совпадают.Чтобы придать задаче строгий смысл, следует вспомнить, что монохроматическихплоских волн не существует, а реализуются лишь составленные из них волновыепакеты (принцип пакетности – стр.

16) 1 . Именно имея в виду волновые пакеты,можно естественно говорить о падающей волне и отличать её от рассеянной. Граничное условие для уравнения Шредингера сводится к записи волновой функции набольших расстояниях от рассеивателя в виде суммы падающей и рассеянной волн,в одномерной задаче это (2.33), в трёхмерной – (17.2).С «потребительской точки зрения» в таком подходе нормировка волновых функций для рассеяния даётся естественным обобщением условия (1.11) – нормировкойна поток ⟨p ′ |p⟩ = (m/| p|) δ (p − p ′) (2.7б).§ 2.5.Одномерные задачиМногие проблемы изучаются далее на примере задач одномерного движения.Рассматривают три разных вида таких задач.♢ Задачи на бесконечной прямой отвечают обычному одномерному движению(в длинных молекулах, волноводах и т.

п.)♢ Задачи на полубесконечной прямой возникают при описании радиальногодвижения в центрально-симметричном поле (гл. 9). Здесь отрицательные значения rне имеют смысла, и в предыдущую задачу вводится потенциал, обращающийся в ∞при r < 0. Граничные условия для этой задачи включают требование ψ (r = 0) = 0.♢ Задачи в ограниченной области описывают движение в фиксированныхграницах, например, в пределах длинной органической молекулы.Свойства решенийУравнение Шредингера (2.2) – линейное дифференциальное уравнение второгопорядка – имеет два независимых решения.

Для любой пары решений такого уравнения вводят определитель Вронского – вронскиан W = ψ1 (x)ψ2′ (x) − ψ1′ (x)ψ2 (x).Нетрудно проверить, что в силу уравнения Шредингера вронскиан не зависитот координат, dW/dx = 0, т. е.W = ψ1 (x)ψ2′ (x) − ψ1′ (x)ψ2 (x) = const,для пары линейно независимых решений W ̸= 0.(2.14)• В физически интересных случаях производная ψ ′ (x) непрерывна. Действительно, интегрируя уравнение Шредингера (2.2) в малой окрестности произвольной точкиx = a, получаемa+ϵa+ϵ∫ ′′∫ψ (x)dx = ψ ′ (a + ϵ) − ψ ′ (a − ϵ) = (2m/~2)dx[U(x) − E] ψ (x) → 0.a−ϵa−ϵИными словами, если U(x) не обращается в бесконечность, то из конечности волновой функции следует непрерывность её производной и непрерывность самой функции, т.

е. при ϵ → 0ψ (a + ϵ) − ψ (a − ϵ) → 0;1 Несколькоψ ′ (a + ϵ) − ψ ′ (a − ϵ) → 0.более подробно возникающая проблема обсуждается на стр. 20.(2.15а)Глава 2. Состояния и их эволюция44♢ В частности, пусть при x = a потенциал U(x) имеет скачок и кроме тогоU(a + 0) > E > U(a − 0). Тогда уравнение Шредингера имеет вид()2m [E − U(a − ϵ)]22k =, −k ψ (x) при x < a~2ψ ′′ (x) =()2m[U(a + ϵ) − E]при x > aκ2 =. κ 2 ψ (x)~2Тогда вблизи этой точки решение можно представить в виде{A sin [k(x − a)] + B cos [k(x − a)] при x < a,ψ (x) =C sh [κ (x − a)] + D ch [κ (x − a)]при x > a.Из условий непрерывности (2.15а) получается D = B, C = Ak/κ, т. е.

Характеристики

Список файлов книги