1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 19
Текст из файла (страница 19)
д.). В силу (2.12) это означает, что существует по крайней мере два различных оператора, коммутирующихс гамильтонианом и не коммутирующих друг с другом.В нашем случае можно выбрать в качестве таких операторов(1)A2 = â+1 â2и(2)A1 = â+2 â1 .(4.34)Легко проверить, что эти операторы перестановочны с гамильтонианом, но мывоспользуемся другим поучительным приемом. Обозначим собственное состояниенашего осциллятора с заданными значениями n1 и n2 через |n1 , n2 ⟩.
Тогда√√(1)(2)A2 |n1 , n2 ⟩ = (n1 + 1)n2 |n1 +1, n2 −1⟩, A1 |n1 , n2 ⟩ = (n2 + 1)n1 |n1 −1, n2 +1⟩ .Иными словами, действие этих операторов на собственное состояние |n1 , n2 ⟩ сохраняет сумму n1 +n2 = n, т. е. и энергию, и значит, они коммутируют с гамильтонианом.Геометрический смысл этой симметрии станет более прозрачным, если перейтиот (4.34) к другой паре операторов, оператору проекции момента импульса на ось z,который прямо получается из (4.3), и не коммутирующему с ним оператору B̂:(1)(2)+++L̂z = x p̂2 − y p̂1 = −i~(A2 − A1 ) ≡ −i~(â+1 â2 − â2 â1), B̂ = â1 â2 + â2 â1 .
(4.35)Нетрудно убедиться, что эти операторы не коммутируют между собой:(1)(2)+[A2 , A1 ] = −(â+1 â1 + â2 â2) ,+[L̂z , B̂] = 2i~(â+1 â1 + â2 â2) .• Менее тривиальный пример√ скрытой симметрии с вырождением Ω1 = 2Ω2возникает при 3(ω12 + ω22) = 5 (ω12 − ω22) 2 + b 2 . Спектр энергий можно записать ввиде ~Ω2 (N +3/2), где N = 2n1 +n2 и кратность вырождения равна n+1 при N = 2nи при N = 2n + 1. Нетрудно построить дополнительные сохраняющиеся операторы(2)(1)2по образцу (4.34), это B̂1 = â2+2 â1 и B̂2 = â+1 â2 . Описание соответствующейгеометрической симметрии предоставляется читателю.4.2.
Решение с помощью разложения в ряд§ 4.2.75Решение с помощью разложения в рядЗапишем уравнение Шредингера для осциллятора в безразмерных переменных:d 2 ψ /dξ 2 = (ξ 2 − 2ε)ψ.2При ξ → ± ∞ оно упрощается: ψ ′′ ≈ ξ 2 ψ, и из него получается ψ → e ±ξ /2 , граничные условия (2.18) выбирают знак минус в показателе экспоненты.2v получается уравнениеИщем решение в виде ψ = e −ξ /2 v(ξ). Для функции ∑v ′′ − 2ξv ′ + (2ε − 1)v = 0. Далее ищем v в виде ряда v =an ξ n .
Подставляя этотряд в уравнение, получаем∑ξ n [(2ε − 2n − 1)an + (n + 1) (n + 2)an+2 ] = 0.nОтсюда получается рекуррентное соотношение для коэффициентов an :an+2 =2n + 1 − 2εan .(n + 1) (n + 2)При больших n это соотношение принимает вид lim (an+2 /an) = 2/n → 0, котоn→∞рый обеспечивает сходимость ряда для всех ξ. Однако с ростом величины ξ → ±∞2такое решение растет слишком быстро v(ξ) → e ξ . Это соответствует отброшенному решению уравнения, для которого не выполняется граничное условие (2.18),т.
к. ψ (ξ → ±∞) → ∞. Граничное условие выполняется, только если ряд для v(ξ)обрывается на каком-нибудь n-м члене, т. е. если 2n + 1 − 2ε = 0. Это и есть условие для определения собственного значения гамильтониана – энергии осциллятора(4.9). При этом волновые функции имеют вид (4.26), коэффициенты входящих сюдаполиномов Эрмита связаны приведёнными выше рекуррентными соотношениями.§ 4.3. «Нулевые колебания» осциллятора и возможности ихнаблюденияНа первый взгляд, слагаемое ~ω /2 в энергии осциллятора (4.9) не имеет серьёзного смысла, поскольку может быть устранено простым сдвигом начала отсчётаэнергии («перенормировка энергии»).
Во многих случаях такой подход оправдан.Однако здесь надо быть осторожным, поскольку существуют физические явления,в которых «нулевые колебания» осциллятора приводят к наблюдаемым эффектам.• Дифракция на кристалле. Условия дифракции рентгеновских лучей или нейтронов на трёхмерном идеальном кристалле приводят к тому, что дифракционнаякартина представляет собой набор точек (дифракция Вульфа–Брэгга, см. [17,18]).В реальном кристалле ионы смещаются из точек равновесия из-за теплового движения. Поэтому точки дифракционной картины размываются в небольшие пятна.При понижении температуры размер этих пятен уменьшается, и естественно ожидать, что при T → 0 пятна превратятся в точки, размер которых определяется толькозернистостью приемника.В действительности, колебания ионов кристалла представимы в виде нормальных гармонических колебаний решётки (см.
§ 7.3), каждое из которых при нулевой76Глава 4. Гармонический осциллятортемпературе имеет нулевые колебания и соответствующий разброс координат (4.16)даже при n = 0. Поэтому даже при нулевой температуре положения ионов отличаются от идеальной периодичности, и рентгеновские блики представляют собой неточки, а пятна.Для одного осциллятора с частотой ω амплитуда нулевых колебаний имеет вид(4.16) ⟨x 2 ⟩0 = ~/ (mω). В кристалле каждый ион участвует в разнообразных колебаниях решётки (см. ниже, § 7.3) со спектром (плотностью числа колебаний на единицуинтервала частот) ρ(ω).
В квадрате смещения иона от положения равновесия вкладывсех этих колебаний складываются так, что∫~⟨x 2 ⟩0 ∝ρ(ω)dω .(4.36)mω(Интеграл сходится, поскольку обычно при малых ω имеем ρ(ω) ∝ ω 2 и спектрвозможных частот колебаний в кристалле ограничен сверху.) Эта величина и определяет размер рентгеновских бликов при нулевой температуре – ещё один источниксведений о спектре колебаний данного кристалла.При конечной температуре T учёт вкладов c n ̸= 0 (с Планковским распределением) добавляет под интеграл множитель cth (~ω / (2kT)). Получившуюся величинуназывают фактором Дебая–Валлера – см. также (7.47).• Давление вакуума (силы Казимира).
Электромагнитные колебания в объёмных резонаторах можно представить себе как набор осцилляторов с длинами волн,отвечающими целому числу полуволн по каждому из направлений. Энергия каждогоиз этих осцилляторов не меньше, чем ~ω /2 (см. подробнее §13.3). При увеличенииразмеров полости набор возможных частот осцилляторов увеличивается, увеличивается и суммарная энергия «нулевых колебаний ваккуума». В бесконечном пространстве набор частот электромагнитных колебаний бесконечен,и в расчётах гро∑зят появиться бесконечные расходящиеся выражения типа~ωi /2. На самом деле,спектр электромагнитных колебаний вакуума ограничен сверху, например, условием ~ω < 2me c 2 (рождение e + e − пар из вакуума), и этот спектр не непрерывен,как это было бы в случае бесконечного пространства, а дискретен, поскольку нашепространство конечно, т.
е. указанные бесконечности должны превратиться простов очень большие числа. Однако в доброкачественной теории наблюдаемые эффектыне могут зависеть от деталей явлений при сверхбольших или сверхмалых расстояниях, в соответствии с общим принципом:хорошее описание явлений в какой-либо области параметров окружающегомира включает только объекты, определяемые в этой области параметров.В соответствии с этим энергию нулевых колебаний часто принимают за началоотсчёта и исключают из анализа. Тем не менее, учёт нулевых колебаний приводитк наблюдаемому эффекту – давлению на металлическую пластинку, обусловленномуразностью энергий электромагнитного поля с двух её сторон.Подчеркнём, что в последующем вычислении речь идет только о колебанияхэлектромагнитного поля, поскольку лишь это поле поглощается в металле.
В частности, например, гравитационное поле не даёт вклада в обсуждаемые силы.4.3. «Нулевые колебания» осциллятора и их наблюдение77H Рассмотрим три параллельных металлических пластины 1, 2 и 3, перпендикулярных оси z так, что расстояния между пластинами 1 и 2 составляют ℓ, а междупластинами 2 и 3 – L, и L ≫ ℓ.
Для определённости будем считать пластины прямоугольными с размерами X и Y , причём X, Y ≫ ℓ, L. Области между пластинами 1 и 2или 2 и 3 назовем областями 12 и 23 соответственно. Площадь пластины Sxy = XY .Частоты колебаний поляволно√ между пластинами выражаются через значения()22вого вектора, ωi = cki ≡ c k⊥ + kz . Поперечная компонента k⊥ = πsx /X, πsy /Yпринимает одинаковые значения в обеих областях 12 и 23, а возможные значенияпродольных компонент различны, kz = πsz /ℓ в области 12 и kz = πsz /L в области 23 (в каждом направлении укладывается целое число полуволн). Таким образом,в области 23 волновые векторы расположены «гуще», чем в области 12.
Поэтомуплотность энергии нулевых колебаний (и соответствующее давление поля) в области 23 больше, чем в области 12. В результате и появляется сила, действующая напластину 2 (эффективное притяжение к пластине 1) (Казимир, 1948 г).При низких температурах, когда тепловые колебания пластин не возбуждаются,рассматриваемая энергия нулевых колебанийE0 =∑~ωi /2(4.37а)si ,λиграет роль термодинамической внутренней энергии излучения. Здесь si = sx , sy , sz– целые числа, а λ указывает поляризацию волны. В нашей задаче суммированиепо поляризациям сводится просто к удвоению суммы по волновым числам.Создаваемое полем нулевых колебаний давление на пластину 2 составляетP = P (23) − P (12) ,P(12)ãäå, íàïðèìåð,= −∂E0 /∂V = −(1/Sxy)∂E0 /∂z ≡ −(1/Sxy)∂E0 /∂ℓ .(4.37б)В действительности при очень высоких частотах металл становится прозрачным,поля «сверху» и «снизу» пластины одинаковы, они «не замечают» пластину, не действуют на неё. Чтобы описать это изменение, введем в описание давления излучениярегуляризующий множитель (регулятор) R(ω), который ничего не портит принебольших частотах и убивает эффект при больших частотах (это обычный приемпри работе с «расходящимися» величинами):{R(ω) =1 при ω = 0 ,0 при ω → ∞ ,R ′ (0) ∼ β , R (n) (0) ∼ β n , β → 0 .(4.38)Мы потребовали ещё, чтобы производные регулятора в нуле были бы достаточномалы.
В частности за регулятор можно взять функцию R(ω) = e −βω с β → 0.Перейдём к вычислению сумм (4.37) для области 12. Заменим суммирование попоперечным движениям на интегрирование и выполним интегрирование по углам:∑∆sx ∆sy → dkx dky XY/π 2 → Sxy dk2⊥ /4π .Глава 4. Гармонический осциллятор78(Мы учли, что интегрирование по углам в плоскости kx , ky даёт только π /2, поскольку sx > 0 и sy > 0). C учётом суммирования по поляризациям это даёт(12)E0√∑ ∫ dk2πs⊥= ~Sxyω , ω = c k2⊥ + k2z , kz =.4πℓsВходящую в каждое слагаемое (4.37б) производную ∂ω /∂ℓ удобно записать в виде∂ω /∂ℓ = −(1/ωℓ) (πcs/ℓ) 2 . Теперь давление, производимое полем нулевых колебанийиз области 12 на пластину 2, принимает видP(12)∫∑ ∫ dk2 ∂ω (k⊥ , s)~ ∑ ( πcs )2dk2⊥⊥= −~·R(ω) =R(ω) .4π∂ℓ4πℓ sℓωsВыполним ещё замену переменных dk2⊥ = 2ωdω /c 2 и выполним сначала интегрирование по ω, заметив, что значение ω ограничено снизу, ω > u = cπs/ℓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
