1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Покажите, что в случаях (в) и (г)(â)(2)(1)]EnA2 [En3B=−10(3n2 + 3n + 1) + 1 ; (ã)=(2n2 + 2n + 1).~ω8~ω45.3.1. Производная от энергии по параметруПусть Ĥ = Ĥ (λ) – непрерывная функция параметра λ. ТогдаĤ (λ + ∆λ) ≡ Ĥ0 + V̂ → V̂ = ∆λ∂ Ĥ /∂λ.(5.10)88Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущенийПоправка к энергии En1 = Vnn ≡ ⟨n|∆λEn1 = ∆λ(∂En /∂λ), поэтому∂En=∂λ∂ Ĥ|n⟩. С другой стороны, эта величина∂λ ⟩⟨ ∂ Ĥ nn . ∂λ (5.11)5.3.2. Условия применимостиКритерий применимости первых приближений теории возмущений. Чтобытеория возмущений работала хорошо, вектор |n⟩ должен лишь немного отличатьсяот вектора |n⟩0 , и поправки к энергиям уровней должны быть меньше расстояниямежду уровнями, т. е.
должно быть0|Vmn | ≪ |Em− En0 |.(5.12)В качестве иллюстрации рассмотрим поправки к уровням энергии осциллятора.В реальных задачах гамильтониан осциллятора, даже с поправками (5.10), являетсялишь приближением, пригодным при не очень больших x. При достаточно больших x взаимодействие исчезает, рост потенциала останавливается. Это означает,в частности, что вывод о равенстве расстояний между уровнями энергий осциллятора справедлив лишь при не очень больших энергиях (небольших n), как этообсуждается на стр. 70.В рамках нашего приближения теория возмущений применима, если малы параметры A и B (5.10). Этого достаточно и для малости поправок нескольких следующихпорядков.
Для высоко лежащих уровней – при больших n – поправки становятсянеприемлемо большими. Возникающую в реальной ситуации целостную физическуюкартину предлагается обсудить в задаче 5.4Ряд в целом. Обычно ряды теории возмущений – асимптотические. Это значит,что первые члены ряда хорошо описывают ситуацию, и качество приближения улучшается при учёте поправок следующих порядков, но начиная с некоторого порядкакачество приближения ухудшается, и ряд может даже начать расходиться.
Иногдаотличия в полной сумме ряда становятся катастрофическими, и теория возмущенийописывает реальность лишь при некоторых дополнительных предположениях.Яркий пример являет «игрушечный» случай ангармонического осциллятора с кубической нелинейностью (5.10). При A ≪ 1 кубическое слагаемое лишь слегка деформирует потенциал при небольших x, и теория возмущений для низко лежащихуровней кажется вполне оправданной. Однако (для A > 0) при больших отрицательных x потенциал становится отрицательным. Значит, частица может туннелировать сквозь барьер, и состояния становятся нестабильными (см. § 6.7), системане имеет стационарных уровней энергии (это невозможно увидеть в расчёте теориивозмущений).
Тем не менее, результаты теории возмущений имеют смысл и в этомслучае, если рассматриваются явления в течение долгого, но конечного времени . (2π /ω) · (1/D), где D – коэффициент туннелирования, который при нашихусловиях – очень маленькая величина (см. решение задачи 6.5 h).5.4. Теория возмущений при наличии вырождения89Если учесть обе поправки (5.10) к осцилляторному потенциалу, приняв для определённости A > 0, то полный потенциал может иметь второй минимум при большихотрицательных x, возникает сильно несимметричная двойная яма, и в общем случаечастица с энергией ~ω (n + 1/2) некоторую часть времени проводит в новой «левой яме», и есть ещё новые стационарные состояния, почти не задерживающиесяв основной яме. Если же ещё окажется, что какие-то уровни обеих ям совпали,между ними возможны биения с очень большим периодом ∼ (2π /ω) · (1/D). Все этиэффекты не обнаруживаются стандартной теорией возмущений.К сожалению, общих рецептов здесь нет. Тем не менее, в большинстве случаевряды теории возмущений дают хорошее описание, пригодное в течение достаточнодолгого времени, иногда с очень высокой точностью.§ 5.4.Теория возмущений при наличии вырожденияВырождение означает, что по крайней мере одному собственному значению En0соответствует s > 1 (ортогональных) собственных векторов.
При попытке воспользоваться полученными выше результатами оказывается, что некоторые из знаменателей (5.9) обратятся в нуль. Это не опасно в случаях, когда возмущение не снимаетвырождения, т. е. если равны нулю и соответствующие матричные элементы в числителях. В общем случае это не так. Надо научиться исключать это деление на ноль.Рассмотрим группу из всех s собственных векторов, отвечающих вырожденномусобственному значению энергии En0 .
Для их обозначения введем на время двойную нумерацию |nj⟩, j = 1, ..., s. Эти функции образуют ортонормированный базисв s-мерном подпространстве Cs всего гильбертова пространства состояний. Любойвектор Cs является собственным вектором невозмущённого гамильтониана с одними тем же собственным значением En0 . Это справедливо и для любой линейной комбинации векторов |nj⟩,∑ 0cα j |nj⟩.Ĥ0 |ñα⟩ = En0 |ñα⟩ при |ñα⟩ =jПроблема деления на ноль исчезает в таком базисе |ñα⟩, в котором все недиагональные матричные элементы возмущения обращаются в ноль (базис, в котором матрицавозмущения Vnα,nβ ≡ Vαβ диагональна). Это замечание сводит нашу задачу к поиску такого базиса.p̂x2 + p̂y2mω 2 (x 2 + y 2)Простой пример даёт плоский осциллятор Ĥ0 =+2m2(разд. 4.1.4). Этот гамильтониан обладает симметрией относительно вращенийв плоскости (x, y).
Энергии его уровней – суммы энергий независимых осцилля(0)торов по осям x и y, т. е. En = ~ω (nx + 1/2 + ny + 1/2) ≡ ~ω (n + 1). При этомсобственные векторы |nj⟩ ≡ |nx ⟩|ny ⟩ и n = nx + ny .Состояние с данным значением n вырождено (n + 1)-кратно (это – число способов, которыми данное значение n можно составить из целых чисел nx и ny).
Так,собственные векторы состояния с n = 3 – это |i1 ⟩ = |0⟩|3⟩, |i2 ⟩ = |1⟩|2⟩, |i3 ⟩ = 2⟩|1⟩,|i4 ⟩ = |3⟩|0⟩. Они и образуют невозмущённый базис пространства Cs ≡ C4 .Рассмотрим разные возмущения в C4 .90Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущений♢ Возмущение V = b(x 2 + y 2) 2 не нарушает исходной симметрии. Матрица возмущения диагональна и пропорциональна единичной. Недиагональные элементы отсутствуют, проблемы деления на ноль не возникает.♢ Возмущение V = bx 2 нарушает симметрию. Оно «направлено» вдоль одной изпервоначально выбранных осей. Матрица возмущения диагональна, но не пропорциональна единичной – bx02 /2·diag(7, 5, 3, 1).
Недиагональные элементы отсутствуют,проблемы деления на ноль не возникает.♢ Возмущение V = b(x + y) 2 /2 получается из предыдущего при повороте осей на45◦ , поэтому и результат здесь должен совпадать с предыдущим. Однако при нашемвыборе осей матрица возмущения уже недиагональна. Она имеет вид:√00 82 3√bx02 2 3840√.4 0482 3 √002 38Диагонализация этой матрицы даёт, как и следовало ожидать, те же собственныезначения, что и в предыдущем случае. Новые собственные векторы получаются изстарых вращением осей на 45◦ . После этой диагонализации проблема деления наноль исчезла, и задача свелась к предыдущей.• Обычно вырождение возникает в силу наличия какой-то симметрии невозмущённого гамильтониана (ср. § 2.2) (в нашем случае – относительно вращенийв плоскости (x, y)).
Если возмущение обладает той же симметрией, его недиагональные матричные элементы по состояниям, принадлежащим вырожденному уровню, – нули (а все диагональные совпадают), и проблемы не возникает. Если жевозмущение не обладает этой симметрией, т. е. полный гамильтониан описывает систему с нарушенной симметрией, то при неудачном выборе исходного базиса недиагональные матричные элементы возмущения – не нули. Задача состоитв выборе базиса, диагонализующего возмущение в каждом из подпространств, принадлежащих данному невозмущённому значению энергии.Общее решение. Рассмотрим в уравнении (5.6) в качестве состояния |k⟩0(0)одно из состояний |ni⟩0 . Тогда в нулевом порядке по ε получается тождество En =(0)0En и не возникает уравнений для cnj,ni.
(Если взять в качестве состояния |k⟩0 любое00из состояний |ma⟩0 с Em ̸= En , то немедленно получается cnj,ma = 0.) Системауравнений для cn0 j,ni получается в первом порядке по ε:∑(1)0(Vi j − Enαδij)cnα,nj= 0.(5.13)Решения этой системы однородных уравнений для коэффициентов cα0 j – не нули,только если обращается в ноль определитель, составленный из коэффициентов принеизвестных:(1)det |Vij − Enαδij | = 0.(5.14)1Это уравнение называют секулярным. Оно имеет s корней Enα– собственныхзначений матрицы Vi j – первых поправок к значению энергии вырожденного уровня.5.4. Теория возмущений при наличии вырождения91Поэтому, в частности,s∑1Enα=∑Vii(≡ Tr(V)).α=11При каждом из собственных значений Enαсистема (5.13) позволяет выразитьs−1 коэффициент cα j через один из них.
С учётом условия нормировки определяютсявсе эти коэффициенты, т. е. «повернутые» собственные векторы задачи|α⟩ =∑cα j |n j⟩0 .(5.15)jДальнейшие поправки отыскиваются так же, как и в невырожденном случае.В некоторых случаях качество ответа улучшается, если использовать в энергети(0)(0)ческих знаменателях не разности En − Em , а энергии уровней, подправленныес учётом результатов описанной выше диагонализации1 .Пример. Для двухуровневой системы секулярное уравнение принимает вид(s = 2) :(1)⇒ E± = V11 − E (1)V21V12V22 − E (1)V11 + V22 ± ∆E, где U = V11 − V22 ,2 =0 ⇒(5.16)√∆E = U 2 + 4|V12 |2 .Соответствующие волновые функции (5.15) в этом случае имеют вид|+⟩ = c1+ |1⟩ + c2+ |2⟩,√∆E + Uc1+ = −c2− =,2∆E|−⟩ = c1− |1⟩ + c2− |2⟩;√∆E − Uc2+ = c1− =.2∆E(5.17)Системы с близко расположенными уровнямиРассмотрим теперь «близкие к вырождению» системы, где состояния разбиваются на группы с близко расположенными уровнями, а энергетические расстояниямежду группами достаточно велики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
