1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

2.6.1) или кусочно постоянный потенциал при условии ki (bi − ai) ≫ 1, κi (bi − ai) ≫ 1.§ 6.1. Волновая функция. Условие применимостиприближенияПотенциал V(x) является обычно аналитической функцией комплексной переменной x за исключением некоторых точек особенностей x = Xk (обычно расположенных вне действительной оси). Поэтому и решение уравнения Шредингера– обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка – аналитично вовсей комплексной x-плоскости, за исключением, может быть, точек Xk , разрезов,начинающихся в некоторых из этих точек, и бесконечности.

Обсуждаемые нижеквазиклассические решения уравнения Шредингера представляют собойасимпто∫тики истинной волновой функции при большом значении величины | k(x)dx|.Глава 6. Квазиклассический случай96Запишем волновую функцию в видеψ (x) = e iS(x) /~(6.3а)и разложим функцию S(x) в ряд по степеням ~:S = S0 + (~/i)S1 + (~/i) 2 S2 + . . .(6.3б)Это – формальное разложение по размерной константе, однако его использование даёт разумный результат. Если определить величину d как размер, на которомсущественно меняется потенциал, то можно сказать, что параметром разложенияявляется величина 1/kd ∼ (λ/d).

Более аккуратная оценка области применимостиприближения, даваемого первыми членами ряда, (6.6) обсуждается ниже.~2 ′′Подстановка в уравнение Шредингера −ψ (x) + U(x)ψ (x) = Eψ (x) даёт2mуравнение (типа Рикатти) (S ′ (x)) 2 +2m (U(x) − E) −i~S ′′ (x) = 0. Приравнивая членыс одинаковыми степенями ~, получим уравнения:(S0′ (x)) 2 = 2m (E − U(x)) ,′′Sn−1 = 2n∑′Sν′ Sn−ν(n > 1).(6.3в)ν=0Первое из этих уравнений совпадает с известным в аналитической механике уравнением Гамильтона–Якоби для укороченного действия S0 (x), как функции координат, и легко решается:∫S0 (x) = ±p(x)dx .(6.4а)Второе уравнение (6.3в) при n = 1 даётS1′ = −S0′′p ′ (x)11≡−⇒ S1 = − ln(S0′ ) = − ln |p(x)| .′2S02 p(x)22Следующий (обычно не используемый) членряда получается[ ′′квазиклассического]′′из уравнения (6.3в) при n = 2: S2 = ∓(1/4) p / p 2 − 3 p 2 /2p 3 .Ряд (6.3б) почти во всех случаях – асимптотический, и смысл имеют тольконесколько первых членов этого ряда. Обычно удерживают только первые два членаэтого ряда, при этом)∫ (~ p ′ (x)S(x) =± p(x) −dx .(6.4б)2i p(x)В итоге в обозначениях (6.2) волновая функция имеет вид, подобный плоскойволне, нормированной на поток (2.7б):∫xe ±iα√ïðèE>U(x),α=k(x)dx ;Cψ+Cψ,ψ=1+k2−k±kk(x)x0ψ (x) =(6.5)∫xe ±βD1 ψ+κ +D2 ψ−κ , ψ±κ = √ïðè E < U(x), β = κ (x)dx .κ (x)x06.1.

Волновая функция . Условие применимости приближения97Нормировка фиксируется условиями задачи, а за предел интегрирования x0 в интегралах α, β обычно выбирают одну из точек поворота.Полученные выражения являются асимптотиками решений точного уравненияШредингера при больших значениях |α|, |β|. Точное соотношение между коэффициентами Ci , Di определяется граничными условиями.

Для «волновых» решенийψ±k в классически достижимой области выписанная суперпозиция несомненно имеет смысл. Для решений в классически недостижимой области (вторая строка (6.5))это не совсем так. Одно из решений ψ+κ , ψ−κ экспоненциально велико, а другоеэкспоненциально мало. Погрешности приближения, дающие большую асимптотику,значительно больше малого асимптотического слагаемого. Учёт экспоненциальномалого слагаемого при наличии экспоненциально большого вклада – за пределами погрешности приближения.

Не существует способа восстановить коэффициентпри малой асимптотике по результатам какого-нибудь измерения волновой функции,если реализуется большая асимптотика1 . Тем не менее, во многих задачах использование независимости определителя Вронского от координат позволяет уследить иза коэффициентом при малой экспоненте.Условия применимости приближения. Чтобы квазиклассическое приближениебыло применимо, классическое действие S0 во всяком случае должно быть великопо сравнению с квантом действия∫p(x)dx/~ ≫ 1.(6.6а)Однако этого недостаточно.

Наше приближение оправдано, если поправка мала по сравнению с главным членом, т. е. при ~|S1 (x)| ≪ |S0 (x)|. Разумеется, надорассматривать только зависящую от координат часть, поэтому аккуратнее записатьэто неравенство для производных: ~|S1′ (x)| ≪ |S0′ (x)|.

Подставляя сюда найденныевыше выражения, получаем неравенство, определяющее применимость приближения в виде |~S0′′ | ≪ (S0′ (x)) 2 . Отсюда прямым вычислением получаются две формыусловия применимости приближения: m~(dU/dx) ≪ 1 ⇒ 1 dλ(x) ≪ 1.p 3 (x)2π dx (6.6б)Последнее неравенство означает попросту, что введённые локальные величины (6.2)физически осмысленны, в частности, что длина волны лишь немного меняется нарасстоянии λ(x), это изменение = λdλ/dx много меньше самой длины волны λ(x).Чтобы найти более точную оценку погрешности следует рассмотреть последующиечлены квазиклассического разложения, см.

например [1, 2] .1 Подобная неустойчивость– общая черта описания множества природных процессов – от астрофизики до явлений общественной жизни. Долговременные предсказания на основе современных тенденций могут не иметь ничего общего с реальностью из-за первоначально очень малых (обычнотеряющихся в флуктуациях и измерительных погрешностях), но экспоненциально растущихотклонений от установленных ныне тенденций.Глава 6. Квазиклассический случай98§ 6.2.Правила квантования Бора–Зоммерфельда. IПусть частица движется в поле потенциальной ямы вида рис. 6.1 и потенциал является аналитической функцией комплексной переменной x = xr + iy при неочень больших отклонениях от действительной оси y.

Тогда и истинная волноваяфункция задачи ψ – решение уравнения Шредингера представляет собой аналитическую функцию координаты x в той же области, которая не имеет особенностей надействительной оси, но может иметь на ней несколько (n) нулей.Вычислим интеграл от логарифмической производной ψ по контуру L, примыкающему к действительной оси и охватывающему точки поворота так, что квазиклассическое приближение применимо на всем контуре. При∫ этом над областьюi pdx/~классического движения на действительнойосиxфункцияeэкспоненциаль∫но велика∫ по сравнению с e −i pdx/~ , и асимптотика волновой функции имеет вид√(1/ p)e i pdx/~ .

Под областью классического движения на действительной оси xсоотношение медуэкспонентами меняется, и асимптотика волновой функции имеет∫√вид (1/ p)e −i pdx/~ . Переход от одной асимптотики к другой происходит на дугах,огибающих точки поворота.Величина рассматриваемого интеграла определяется только через вычеты подынтегральнойH ′ логарифмической производной, которые отвечают нулям волновой функ[ψ (x) /ψ (x)] dx = 2πi n.

Подставив сюда квазиклассическую волновую функцииL√цию в виде e iα / p, найдемII]1 [ ′′I1 − I2 = 2πi n , ãäå I1 = iα dx , I2 =p (x) / p(x) dx .2LLПреобразуем теперь контур, оставаясь в области применимости квазиклассического приближения, так, что его бо́льшую часть составят два отрезка, почти совпадающие с действительной осью (сверху и снизу от неё), а концы имеют вид окружностейс центрами в точках поворота и с вырезанной упомянутыми отрезками небольшимидугами. Устремим затем наши отрезки к действительной оси.

На верхнем берегу области классического движения, в соответствии со сказанным выше α′ = p(x) /~. Нанижнем берегу меняется и знак величины α′ и направление обхода, т. е. вклады обоихберегов в ответ складываются. При этом интеграл I1 можно распространить на весьотрезок между точками поворота, поскольку вблизи этих точек подынтегральное выHbражение мало, т. е.

I1 = [ip(x) /~] dx . Здесь контурность интеграла отвечает ужеaклассическому движению в обе стороны (по всему периоду классического движения– от a до b и от b до a).Для вычисления интеграла I2 заметим, что вдали от точек поворота его вкладмал в силу условия применимости квазиклассического приближения (|~S1′ | ≪ |S0′ )).Таким образом, остаются только вклады разрезанных окружностей, причём ширина разреза в нашем пределе стремится к нулю. В окрестности точки √поворота выражение для p(x) (6.2) можно записать в виде разложения p = Ri x − xi ,и p ′ / p = 1/ [2(x − xi)] , где xi = a, b.

Вводя на каждой окружности полярныекоординаты x = ρe iϕ + xi , мы найдем, что интеграл по окружности составляет6.2. Правила квантования Бора–Зоммерфельда . I(1/2)∫[ p ′ (x) / p(x)] dx = (1/4)i∫99dϕ = iπ /2. Вклад другой окружности имеет ту жеCвеличину. В итоге I2 = πi, и мы получаем условие квантования Бора–Зоммерфельдав видеIbIb √α~ ≡p(x)dx ≡2m(E − U(x)) dx = 2π~(n + 1/2) ,(6.7)aaгде контурный интеграл отвечает интегрированию по всей классически достижимойобласти по обоим направлениям движения (по полному периоду классического движения), причём смене направления движения по x отвечает смена знака импульса(другое значение корня).Полученный ответ означает, что в классически допустимой области укладываетсяn полуволн (как в прямоугольной яме).

Вклад 1/2 возник из-за отличия «гладкой»ямы от прямоугольной.В классической механике интеграл во втором выражении (6.7) это – адиабатический инвариант. В ранней версии квантовой механики (Бор) постулировалосьправило квантования, состоящее в требовании, что адиабатический инвариант есть2π~n, что при больших n близко к правильному соотношению (6.7).• Нормировка и т. п. Чтобы нормировать волновую функцию, надо вычислитьинтеграл от квадрата её модуля.

При этом достаточно учесть только вклад классически доступной области (вне этой области волновая функция быстро убывает): x∫a∫2IAdx1 = |ψ (x)|2 dx =sin2  k(x ′)dx ′ 2k(x)0[] 0∫a′′I dx 1 − cos(2 k(x )dx )IA2 ~A2 ~dx0√=≈·.44p(x)2m(E − U(x))(В последнем переходе мы учли, что аргумент косинуса не мал, поэтому сам косинусбыстро осциллирует, и его среднее значение близко к нулю).В знаменателе последнего интеграла стоит импульс частицы p(x) = mv(x), гдеv(x) – классическая скорость частицы.

Характеристики

Список файлов книги