1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для потенциала (e) считать выполненным условие применимости теории возмущений при невозмущённом потенциалеосциллятора (A ≪ ~ωx03).Глава 7Периодическое поле§ 7.1.Основные понятияВ этой главе мы изучим линейные периодические цепочки (одномерный кристалл)и движение частиц в них как основу для понимания многих черт физики твёрдоготела. Особенности трёхмерного случая мы обсудим лишь качественно.Рассматривается линейная цепочка, содержащая N повторяющихся элементов– элементарных ячеек с периодом (постоянной решётки) a, в пределе N → ∞.Переход к бесконечной решётке не тривиален.
Состояния частиц в решётке конечных размеров – стоячие волны (и волны, затухающие при отходе от границ). Различные возможные условия на границах определяют разные фазовые соотношения,возможные в этих волнах. В то же время число ячеек в наблюдаемых решёткахобычно чудовищно велико, и естественно надеяться, что физические результаты независят от деталей граничных условий. Поэтому обычно рассматривают удобныйчастный случай периодических граничных условий, что соответствует кольцу из Nячеек.
При таком подходе переход N → ∞ не встречает трудностей.Обозначим через xn ≡ na координату n-й ячейки.Наша бесконечная решётка не меняется при сдвиге на величину постояннойрешётки a – инвариантна по отношению к таким сдвигам. Поэтому можновыбрать стационарные состояния системы, которые являются собственными функциями оператора конечного сдвига T̂a = exp(ia p̂ /~) (1.28):T̂a ψ (x) ≡ ψ (x + a) = λT ψ (x).(7.1)Какие же значения может принимать величина λT ?Если |λT | ̸= 1, то вероятности пребывания в соседних ячейках решётки различны,а это противоречит инвариантности относительно сдвигов.
(Например, для |λT | < 1амплитуда в точке x − Ka с ростом K неограниченно возрастает!) Поэтому должнобыть |λT | = 1, и можно записать, определяя новую величину q,λT = e iqa .Величину ~q (а нередко и величину q) называют квазиимпульсом.(7.2)Глава 7. Периодическое поле118По определению, изменение q на величину, кратную 2π /a, не меняет факторапериодичности λT . Поэтому физически осмысленный интервал изменения квазиимпульса имеет длину 2π~/a. Принято определять квазиимпульс в интервалеq ∈ (−π /a , π /a] .(7.3)В (кольцевой) цепочке из N ячеек для волновой функции выполняется условиепериодичности:ψ (xn + Na) = ψ (xn) .(7.4а)Подстановка сюда (7.1) показывает, что в этом случае реализуются только такиезначения квазиимпульса, для которыхiqNaλN= 1 ⇒ q = 2πr/ (Na),T ≡er – целое ∈ (−N/2, N/2].(7.4б)Таким образом, число различных значений квазиимпульса (в дальнейшем –число уровней в зоне) совпадает с числом элементарных ячеек кристалла N.Поскольку это число обычно очень велико1 , говорят о непрерывном изменении qв интервале (7.3).При соударениях «частиц» квазиимпульс сохраняется почти так же, как и обычный импульс при столкновении обычных частиц.
Есть, однако, и одно важное отличие. Если полученная сумма ~q1 + ~q2 превосходит величину π~/a, то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 − 2π~/a. Аналогично, если полученная сумма ~q1 + ~q2меньше величины −π~/a, то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 + 2π~/a.Такие сложения квазиимпульсов называют сложением с перебросом.§ 7.2.Движение в периодическом поле7.2.1. Общее рассмотрениеИзучим движение электрона в «замороженной» кристаллической решётке,т. е. в периодическом полеp̂ 2+ U(x);U(x + a) = U(x).(7.5)2mВ этом случае при x → ±∞ взаимодействие не исчезает, и нет оснований выбиратьначало отсчёта потенциала так, чтобы в этом пределе потенциал U → 0.Гамильтониан коммутирует с оператором сдвига T̂a (1.28).
В таком поле существуют стационарные состояния, являющиеся собственными функциями операторасдвига, – состояния с определённым квазиимпульсом q.• Перепишем общую собственную функцию операторов конечного сдвига и энергии в виде ψ = e iqx uq (x). Из (7.1), (7.2) следует, что блоховская амплитуда uq (x)– периодическая функция:(a)∫iqx2|uq (x)| dx = 1 .ψ = e uq (x); uq (x + a) = uq (x),(7.6)Ĥ =01 Такойподход позволяет увидеть и важные свойства кольцевых молекул с не очень большом числомодинаковых элементов N , таких, например, как молекула бензола (N=6).7.2. Движение в периодическом поле119(Здесь выписана также обычная нормировка блоховских амплитуд – на ячейке.) Дляопределения блоховской амплитуды достаточно использовать решение одномерногоуравнения Шредингера на одной ячейкеĤe iqx uqn (x) = En (q)e iqx uqn (x) .(7.7)(Значок q отмечает величину квазиимпульса, а n – порядковый номер решения приданном q.)Набор функций Блоха e iqx uqn (x) полон.
По этим функциям можно разложитьпроизвольную волновую функцию электрона в кристалле:1 ∑bqn e iqx uqn (x).ψ (x) = √N q,n(7.8)• Запишем уравнение, комплексно сопряжённое к уравнению Шредингера (7.7)и уравнение для состояния, которое получается из исходного заменой q → −q:Ĥ † e −iqx u∗qn (x) = En (q)e −iqx u∗qn (x),Ĥ e −iqx u−qn (x) = En (−q)e −iqx u−qn (x).Поскольку Ĥ – эрмитов оператор (т. е.
Ĥ † = Ĥ), каждое из этих уравненийопределяет собственные функции одних и тех же операторов – гамильтониана иконечного сдвига. Поэтому эти функции совпадают, и, стало быть, собственныесостояния гамильтониана двукратно вырождены (как и при свободном движении),и выполняется теорема Крамерса:En (−q) = En (q),u−qn (x) = u∗qn (x).(7.9)7.2.2. От конечной решетки к бесконечнойРассмотрим потенциал, состоящий из N одинаковых ячеек произвольной формы,окружённых областями свободного движения, при N → ∞ осуществляется переходк периодическому потенциалу. Для определённости мы будем использовать терминологию и постановку задачи рассеяния (2.33).При заданной энергии E уравнение Шредингера на каждой ячейке имеет двалинейно независимых решения, обозначим их ϕ1 (x, E) и ϕ2 (x, E), где x отсчитываетсяот левого края ячейки.
Общее решение для n + 1-й ячейки имеет вид(n)(n)ψ (x, E)|na<x<(n+1)a = C1 ϕ1 (x − na, E) + C2 ϕ2 (x − na, E).(7.10)Выпишем теперь условия сшивки на границе первых двух ячеекψ (a − 0) = ψ (a + 0), ψ ′ (a − 0) = ψ ′ (a + 0).Подставляя сюда выражения (7.10), запишем эти условия в виде матричного соотношения:( )( )()()(1)(2)c1cϕ1 (a) ϕ2 (a)ϕ1 (0) ϕ2 (0)Â (1) = B̂ 1(2) , Â =,B̂=.ϕ′1 (a) ϕ′2 (a)ϕ′1 (0) ϕ′2 (0)c2c2Глава 7.
Периодическое поле120Отсюда следует( )( )(1)(2)c1c1= T̂,(2)(1)c2c2где T̂ = Â−1 B̂ .(7.11)Матрица T̂ (матрица перехода – transfer matrix) реализует оператор конечного сдвига (1.28), а её собственные значения – обсуждавшиеся выше собственныезначения этого оператора для данного потенциала и энергии (7.2). Эти собственныезначения определяются из квадратного уравненияλ2 − Λ(E) λ + det(T̂) = 0 ,Λ(E) = Tr(T̂) .(7.12)Определители матриц Â и B̂ это вронскианы W(x) = ϕ1 ϕ′2 − ϕ2 ϕ′1 (2.14) взятыепри x = a и x = 0. Поскольку W(a) = W(0), то det(T̂) = 1. Поэтому уравнение(7.12) можно переписать в видеλ2 − Λ(E) λ + 1 = 0 ⇒ λ1 · λ2 = 1 ,λ1 + λ2 = Λ(E) .(7.13)Без ограничения общности,[ решения ϕ1 и ϕ2 можно выбрать действительными.] Прямой расчёт даёт Λ(E) = ϕ1 (0)ϕ′2 (a) + ϕ1 (a)ϕ′2 (0) − ϕ2 (0)ϕ′1 (a) − ϕ2 (a)ϕ′1 (0) / (2W),т.
е. Λ(E) – действительная величина.(k+1)(k+1)(k+1)Собственные векторы T̂ вида f j(x) = A1j ϕ1 (x −ka)+A2 j ϕ2 (x −ka) (номерсобственного вектора j принимает два значения, 1 и 2)) удовлетворяют уравнениям( (k+1) )( (k) )A1jA1 j(1)(1)(N+1)(N+1)f2= λNÛ= λj(j = 1, 2) ⇒ f1= λN2 f2 . (7.14)1 f1 ,(k+1)(k)A2jA2 jЕсли |Λ(E)| > 2, то числа λi действительны и, например, |λ1 | > 1, и тогда |λ2 | < 1.Если же |Λ(E)| 6 2, то числа λi комплексны и по абсолютной величине равны 1,обозначим λ1 = e iqa , тогда λ2 = e −iqa .
В решении естественным образом появилсяквазиимпульс q. Наши собственные векторы являются общими собственными векторами гамильтониана и оператора конечного сдвига, отвечающимиодной энергии и разным знакам квазиимпульса.♢ Точно так же, как и при получении (7.11), сшивки при x = 0 с состояниямисвободного движения ψL (x) = A1 aikx + B1 e −ikx в начале решетки и при x = (N + 1)aс такими же состояниями ψR (x) = AR aikx + BR e −ikx в конце решётки описываютсяматричными преобразованиями1)(( )( )( )(N+1)(1)A1c1AR−1 c1=Ĝ,= Ĝ.(7.15)(N+1)(1)B1BRc2c2Таким образом, общая постановка задачи рассеяния, как она описана в § 2.7,описывается преобразованием( )( )N ( A )A1R−1= ĜT̂Ĝ(7.16)B1BR1 Обратите внимание, что в конце решетки мы используем разложение волновой функции по собственным функциям ψi (x, E) начала следующей (несуществующей) ячейки.7.2. Движение в периодическом поле121c BR = 0 (только прошедшая волна) и с нормировкой падающей волны на 1 так, чтов (2.33) 1 + if(k, k) = 1/A1 , if(k, −k) = B1 /A1).()λ1 0Диагонализуем матрицу T̂ , записав T̂ = R̂ −1 V̂ R̂, где V̂ =.
Это даёт0 λ2( )( )N (A )A1R−1= F̂V̂F̂, где F̂ = R̂ · Ĝ,B1BR( )N (λN1V̂=00λN2).(7.17)▽ При |Λ(E)| > 2, числа λi действительны, для определённости мы выберем|λ1 | > 1, тогда |λ2 | < 1. Для одной ячейки, при N = 1, соотношение (7.17) даётнекоторые значения коэффициента A1 и, соответственно, коэффициента прохождения |1/A1 |2 . При очень большом числе ячеек N величина |λ1 |N становится громадной, а |λ2 |N – исчезающе малой так, что получается A1 ∝ λN1 AR – коэффициентпрохождения становится исчезающе малым – решётка становится непрозрачной –рождается запрещённая зона.
То, сколько ячеек нужно для достижения фактическойнепрозрачности, зависит от конкретного значения λ1 .Ясно, что небольшому изменению E отвечает и небольшое изменение Λ(E). Поэтому значения E, для которых выполняется условие |Λ(E)| > 2, образуют непрерывные области, ситуация непрозрачности сохраняется для некоторого интервалаэнергий. Это – запрещённые энергетические зоны.▽ Если |Λ(E)| 6 2, то λ1 = e iqa , λ2 = e −iqa . Для решетки, содержащей одну ячейку,прозрачность достигается только при qa = πk или 0 (при этом( полная)1 0V̂ = ±), соответствующие значения энергии лежат далеко друг от друга, за0 1висимость коэффициента прохождения от энергии имеет не частые максимумы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
