1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 32
Текст из файла (страница 32)
рассмотрим цепочку из большого числа Nодинаковых молекул (состоящих из одного или двух атомов), расположенных вдольоси x и двигающихся вдоль этой оси. Мы предъявим сначала классическое решение,7.3. Малые колебания линейных цепочек129и от него перейдём к квантовой картине. В отличие от курса механики [20] , где этизадачи изучались с помощью уравнений Ньютона–Лагранжа, мы используем методдиагонализации гамильтониана, более удобный для квантования.7.3.1. Цепочка одноатомных молекулВ задаче о простейшем кристалле рассматривается цепочка ионов с массой m,связанных пружинками одинаковой жесткости k = mω02 , рис. 7.1. В равновесииионы расположены в точках xn = na (n – целые). Их смещения от положенийравновесия обозначаем через un ≡ u(xn).Здесь элементарной ячейкой можно считать один ион и одну «пружинку» слеваот иона, или ион и половинки пружинок, связанных с ним, или пружинку и половинки ионов, связанных с ней.
Результат не зависит от выбора (который не долженменяться в процессе рассмотрения задачи).• Классическое рассмотрение....m k m k mm...km k m...u(n)...0a2a(n 1)anax(n+1)aРис. 7.1. Линейная цепочкаПолная энергия системы (функция Гамильтона – гамильтониан) естьH=∑n[[]]2∗∗∗mω(u−u)(u−u)∑mω02pn2ppnn+1nn0n+1n+(un −un+1) 2 ≡+.2m22m2(7.31)Вторая запись эквивалентна первой, поскольку импульсы и смещения действительны, но она удобнее для дальнейших преобразований.Этот гамильтониан неудобен для исследования, так как здесь перепутаны смещения всех ионов.
Чтобы улучшить дело, разложим координаты и импульсы ионовпо собственным функциям оператора конечного сдвига для решётки из N ионов спериодическими граничными условиями. В нашем случае это просто преобразованиеФурье (с учётом того, что квазиимпульс принимает значения q = 2πr/ (Na) (7.4б))(обратите внимание на разные знаки показателей экспонент для координаты и импульса):∑∑U(q)e−iqxnun e iqxnqn√U(q) = √, un =;NN∑P(q) =npn e−iqxn√, pn =N∑P(q)e iqxnq√.N(7.32)Глава 7. Периодическое поле130Определённые здесь величины U(q), P(q) комплексны иU ∗ (q) = U(−q),P ∗ (q) = P(−q) ;√()1 ∑un − un+1 =U(q)e −iqxn 1 − e −iqa .N q(7.33)Подставим эти выражения во вторую форму функции Гамильтона (7.31).
С учётом условий ортонормированности для преобразований Фурье в этом представлениифункция Гамильтона диагонализуется:H=∑qH(q) ,H(q) =2mω02 (1 − cos qa)U(q)U ∗ (q)P(q)P ∗ (q)+.2m2(7.34)Гамильтониан колеблющейся решётки превратился в сумму гамильтонианов невзаимодействующих осцилляторов H(q), т. е. задача свелась к описанию системы независимых осцилляторов – нормальных колебаний с частотамиω ≡ ω (q) = 2ω0 | sin(qa/2)|.(7.35а)Здесь имеется вырождение по знаку q – в соответствии с теоремой Крамерса.
Видно,что при небольших q с хорошей точностьюω (q) = Cq;C = ω0 a.(7.35б)Это соответствует звуковым волнам со скоростью звука C.Собственные векторы, отвечающие разным квазиимпульсам, – нормальные колебания – бегущие волны (7.32).• Квантовое описание. Преобразование Фурье (7.32) не перемешивает координаты и импульсы. Поэтому представление (7.34) получается и в квантовом случае.Кроме того, для компонент Фурье U(q) и P(q) имеют место те же перестановочныесоотношения (1.23), что и для отдельных координат и импульсов частиц:[P(q), U(q ′)] = −i~δqq ′ .(7.36)В итоге для описания состояний каждого из получившихся осцилляторов√ применимо всё описание гл.
4. В частности, по образцу (4.3) и обозначая Pq0 = ~mω (q),Uq0 = ~/Pq0 , удобно ввести операторы:()()1Û (q)P̂ + (q)1Û + (q)P̂ (q)+â(q) = √+i;â (q) = √−i.(7.37)Pq0Uq0Pq02 Uq02Операторы Û (q) и P̂ (q) легко выражаются через â(q) и â+ (q). Подстановка этихвыражений преобразует гамильтониан (7.34) к виду()∑1~ω (q) â+ (q) â(q) +.(7.38)Ĥ =2q7.3. Малые колебания линейных цепочек131Для каждого нормального колебания с частотой ω (q) (7.35а) возможные энергиистационарных состояний имеют хорошо известный вид E(q) = ~ω (q) (nq + 1/2)с целыми nq . Волновые функции вида (4.26) определены в координатах U(q), связькоторых со смещениями задаётся преобразованием (7.32).
Подчеркнём, что ни одиниз получившихся осцилляторов не представляет собой движения какого-нибудь одного иона, каждый включает движение всех ионов.Отдельные возбуждения независимых осцилляторов («виброны» гл. 4) в этомслучае называются фононами. Это – кванты волн, распространяющихся по решётке, их закон дисперсии имеет вид (7.35а). Операторы â(q) и â+ (q) – операторыуничтожения и рождения фононов данного типа. Здесь применимы все результаты,полученные ранее для линейного осциллятора. В частности, произвольное состояниеколебаний нашей цепочки можно определять набором натуральных чисел, обозначающих число фононов в каждом из состояний (вторичное квантование, § 13.2).7.3.2. Цепочка двухатомных молекулРассмотрим цепочку двухатомных «молекул», состоящих из одинаковых «ионов»с массой m, связанных пружинками длины a чередующейся жесткости k1 = mω12и k2 = mω22 .
При k1 > k2 естественно считать «молекулой» пару ионов, связанныхпружинкой жесткости k1 , а пружинки жесткости k2 сопоставлять с межмолекулярными связями.• Двухатомная молекула в жёстком кристалле. Обсудим сначала простейшуюмодель: два одинаковых иона, связанных пружинкой k1 и соединённых со стенками справа и слева пружинками меньшей жесткости k2 , смещения этих ионов отположения равновесия обозначаются u1 и u2 соответственно. Гамильтониан этой«молекулы»p2p 2 mω12 (u1 −u2) 2 mω22 (u21 +u22)Ĥ = 1 + 2 ++.(7.39а)2m 2m22√Перейдём к комбинированным смещениям u± = (u1 ± u2) / 2 и соответствующим импульсам. В этих координатах наш гамильтониан разбивается на суммугамильтонианов Ĥ+ , описывающего движение «молекулы» как целого (движениецентра масс), и Ĥ− , описывающего относительное движение «атомов»в «молекуле» – симметричные колебания относительно центра тяжести:u± =Ĥ± =22 2p±mω±u±+,2m2u1 ± u2√⇒ Ĥ = Ĥ+ + Ĥ− ,22ω−= 2ω12 +ω22 ,(7.39б)ω+ = ω2 .Нетрудно проверить, что использованные преобразования сохраняют для новыхсмещений и импульсов те же перестановочные соотношения (1.23), что и для исходных, ср.
(7.36). Поэтому для описания состояний каждого из осцилляторов достаточно повторить сказанное в гл. 4. Видоизменения в случае неравных масс просты– см. примечание на стр. 73.Глава 7. Периодическое поле132Итак, частота колебаний «молекулы» как целого ω+ определяется только жесткостью «внешних» связей «молекулы», она относительно невелика. Частота «колебаний ионов в молекуле» ω− относительновелика. (У свободной молекулы это были√бы обычные колебания с частотой ω1 2.)• Гамильтониан цепочки двухатомных молекул имеет вид[]22p2n+1k2 ∆22n−1∑ p2nk1 ∆22nH=+++, где ∆B = uB+1 − uB .(7.40)2m2m22n(Будем говорить, что «пружинки» (2n)−(2n+1) отвечают связям внутри «молекулы»,а «пружинки» (2n) − (2n − 1) – межмолекулярным связям.) За элементарную ячейкуможно принять любой отрезок длины 2a, например, от чётного иона до следующегочётного иона, или от нечётного до нечётного и т.
п., т. е. мы обозначаем xn = 2na.Разложение по собственным функциям оператора конечного сдвига (разложениеФурье) вида (7.32) выполняется отдельно для смещений чётных (ev) и нечётных (od)частиц (обратные преобразования также выписываются по образцу (7.32)):√1 ∑u2n =Uev (q)e −iqxn ,N q√1 ∑p2n =Pev (q)e iqxn ,N q√1 ∑Uod (q)e −iq(xn +a) ,N q√1 ∑=Pod (q)e iq(xn +a) .N qu2n+1 =p2n+1(Дополнительный сдвиг аргумента у координат нечётной частицы учитывает реальноерасстояние между соседями.)Подстановка этих выражений в гамильтониан преобразует его, подобно (7.34),в сумму гамильтонианов H(q) систем с двумя степенями свободы каждый, отвечающих отдельным значениям квазиимпульса q, пробегающего значения (7.4б). Каждыйиз этих гамильтонианов напоминает гамильтониан уединённой молекулы (7.39) 1 :∑H=H(q) ,(7.41)qгде∗∗]Pod (q)Pod(q)ω 2 + ω22 [Pev (q)Pev(q)∗∗++m 1Uev (q)Uev(q) + Uod (q)Uod(q) −2m2m2( 2 iqa)()]m[∗2 −iqa∗−Uev (q)Uod (q) ω1 e + ω2 e+ Uev(q)Uod (q) ω12 e −iqa + ω22 e iqa .2H(q) =Далее гамильтониан H(q) преобразуется к диагональной форме:H(q) = H+ (q) + H− (q) ,H± (q) =222mω±(q)U±(q)P±+,2m2(7.42а)1 На первый взгляд гамильтониан H(q) кажется неэрмитовым (появилась мнимая часть).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
