1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2.8) с волновой функцией, в основном сосредоточенной вблизи границы раздела и имеющей небольшую по амплитуде волновую компоненту, уходящую налево.(Разумеется, то же самое может происходить и при переходе справа налево.)∇ И для левого и для правого участков в уравнении (7.13) |Λ(E)| > 1,т. е. и справа и слева волновых решений нет. В этом случае, как и выше, могутпоявиться уровни, локализованные вблизи границы раздела.♢ Так, для кристалла с границей, например слева, имеется область свободногодвижения. Тогда перечисленные возможности отвечают следующим явлениям.∇ При некоторых энергиях электроны могут переходить из вакуума в кристалли обратно с естественным частичным отражением на границе.∇ При энергиях E > 0, отвечающих запрещённым зонам в кристалле, электронные волны могут распространяться в вакууме, но не проходят в кристалл, отражаясьот границы.∇ При энергиях E < 0, отвечающих разрешённым зонам в кристалле, электронные волны могут распространяться в кристалле, но не выходят из него, отражаясьот границы.∇ При некоторых значениях энергии E < 0, отвечающих запрещённым зонамв кристалле, могут появиться связанные состояния, локализованные вблизи границы(поверхностные состояния – поверхностные уровни) (И.
Е. Тамм).Подобным образом можно изучать и неоднократные нарушения периодичности.§ 7.5.КвазичастицыВ реальном кристалле электроны сильно взаимодействуют между собой. На первый взгляд, это делает бесполезным представление об одиноком электроне, путешествующем по периодической решётке. Оказалось, однако, что многие свойства кристалла хорошо описываются с помощью понятия о квазичастицах – элементарных7.6. Некоторые черты трёхмерной решётки137возбуждениях над основным состоянием всего коллектива составляющих кристаллчастиц. При не слишком высоких температурах таких квазичастиц не очень много,и они слабо взаимодействуют между собой. Основные черты энергетического спектра квазичастиц определяются периодичностью кристалла, т. е.
совпадают с теми,которые мы только что рассмотрели.Перечислим некоторые типы квазичастиц в твёрдом теле.1. Электроны и дырки – возбуждения, обсуждавшиеся в § 7.2, см. (7.18). Электроны – это возбуждения вблизи дна зоны с положительной эффективной массой.Дырки – свободные места вблизи потолка этой зоны. Их можно описывать какквазичастицы с положительной массой, но отрицательным зарядом.2.
Фононы – кванты нормальных колебаний решётки (разных бегущих волн).В трёхмерном кристалле у них появляется дополнительная степень свободы –поляризация (продольная и две поперечных).3. Магноны – кванты спиновых волн – колебаний магнитного момента атомов.4. Экситоны в диэлектриках и полупроводниках – связанные состояния дыркии электрона из вышележащей зоны (похожие на атом водорода).§ 7.6.Некоторые черты идеальной трёхмерной решёткиТрансляционная симметрияИдеальная периодическая решётка – пространство, заполненное одинаковымиэлементарными «кирпичиками».
Такой минимальный «кирпичик», который, бесконечно повторяясь, заполняет все пространство без пропусков и наложений, называется элементарной ячейкой. Выбор её неоднозначен уже в одномерном случае.В трёхмерном случае к неоднозначности выбора «края» ячейки добавляется неоднозначность выбора основных направлений – базисных кристаллографическихосей. Так, для кристалла Na Cl можно считать элементарной ячейкой куб Na c Clв центре или куб Cl c Na в центре, или наклонный параллелепипед Na, у которогоодна сторона совпадает со стороной куба, другая направлена по диагонали граникуба, а Cl расположен на наклонной грани, и т.
д.Выбирая в каждой из заполнивших пространство примитивных ячеек одинаковорасположенную опорную точку, мы получаем множество точек, связанных междусобой векторами трансляций:T = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3 ,(7.44)где ni – целые числа, а некомпланарные векторы ai называют векторами примитивных трансляций. Параллелепипед, построенный на векторах ai , называютпримитивной ячейкой. Её объём Vc = a1 (a2 × a3). Векторы примитивных трансляций обычно направляют из точки, связанной с каким-нибудь ионом, в места расположения других ионов.
Последние можно выбирать по-разному. (Это – линейныекомбинации первоначальных векторов ai , сохраняющие объём примитивной ячейки.)Глава 7. Периодическое поле138Точечная симметрияКристаллическая решётка обладает точечной симметрией, т. е. переходит самав себя под действием операций симметрии, оставляющих на месте одну из её точек.Таким операциям соответствуют элементы симметрии:• вращение на угол 2π /n – ось вращения n-го порядка;• зеркальное отражение – плоскость отражения;• инверсия – центр инверсии.Сочетание различных элементов симметрии привносит дополнительные элементы. Например, если через ось вращения n-го порядка проходит плоскость отражения, то существует ещё n − 1 такая плоскость. Полная совокупность операцийточечной симметрии пространственного объекта образует точечную группу преобразований объекта.Жёсткие ограничения возникают из требования совместимости операций точечной и трансляционной симметрии.
В частности, наличие оси симметрии с n > 2означает, что элементарная ячейка имеет форму правильного n-угольника с угломпри вершине π (n − 2) /n). Плоскость перекрывается без перекрытий и пустот, если в одной вершине сходится конечное число k таких многоугольников так, чтоk π (n − 2) /n = 2π, т. е. 2n/ (n − 2) – целое число. Это условие имеет решения толькопри n = 3, 4, 6 (и формально при n = 2). Поэтому в кристаллах могут существоватьоси вращения только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.Полный набор операций точечной и трансляционной симметрии данного кристалла составляет его пространственную группу.
Кристаллографы перечислиливсе возможные пространственные группы кристаллов. Их оказалось 230, а болеефундаментальных типов решёток (решёток Бравэ) – всего 14.Обсуждавшийся кристалл NaCl обладает высокой – кубической – симметрией(гранецентрированная кубическая решётка). Подобная кубическая симметрия (простые, гранецентрированные либо объемноцентрированные решётки) характернаи для многих металлов. У важнейших полупроводников (Si, Ge, GaAs, InSb и т.
д.)кристаллическая решётка имеет вид пары гранецентрированных кубических подрешёток, сдвинутых друг относительно друга вдоль главной диагонали куба на 1/4её длины. Если подрешётки состоят из одинаковых ионов, говорят о решётке типаалмаза, а если из разных – о решётке типа цинковой обманки. Часто встречаетсяи гексагональная симметрия, например у графита и льда.Обратная решёткаВолна в кристалле характеризуется квазиимпульсом ~q.
Значения квазиимпульса, различающиеся на величины 2π~n/a, отвечают одной и той же физической реальности. Поэтому пространство квазиимпульсов, обратное пространство, подобнокристаллу разбивается на эквивалентные друг другу ячейки – элементарные ячейки обратной решётки. Они подобны элементарным ячейкам в x-пространстве,и выбирать элементарную ячейку обратной решётки можно по-разному.Векторы обратной решётки G определяются условиямиe iG(r+T) = e iGr ⇒ (GT) = 2πn(n – целое).(7.45)7.6.
Некоторые черты трёхмерной решётки139Набор векторов обратной решётки подобен набору векторов трансляций в обычном пространстве (7.44), он образует узлы обратной решётки кристалла, подобныеположениям ионов прямой решётки. Легко сообразить, что прямая и обратная решётки обладают одинаковой симметрией.Вектор G можно разложить по векторам примитивной обратной решёткиbi . Обычно их выбирают в соответствии с векторами примитивной решётки (7.44):b1 = 2π (a2 × a3) /Vc ;b2 = 2π (a3 × a1) /Vc ;b3 = 2π (a1 × a2) /Vc .(7.46)При этом G = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 , где n1 , n2 , n3 – целые числа. Если векторы a1 ,a2 и a3 перпендикулярны друг другу, то обобщение ограничения (7.3) на возможныезначения волнового вектора можно записать в виде −bi2 < 2(q bi) < qi2 .Примитивную элементарную ячейку в пространстве квазиимпульсов можно выбирать по-разному.
Среди различных вариантов выбора этой ячейки выделеннуюроль играет многогранник, который называют (первой) зоной Бриллюэна – трёхмерное обобщение интервала (−π /a, π /a) (7.4), использовавшегося для линейнойцепочки. Это – совокупность всех точек k-пространства, лежащих ближек точке k = 0, чем к любой другой точке обратной решётки. Зона Бриллюэна обладает точечной симметрией прямой решётки. Получающаяся в пределах этойзоны форма поверхности равной энергии может оказаться очень сложной.По смыслу определения (7.45), каждый из векторов обратной решётки перпендикулярен бесконечному набору равноотстоящих параллельных плоскостей, которыев совокупности содержат все точки прямой решётки.
Поэтому координаты такоговектора в базисе (7.46) (индексы Миллера) описывают и плоскости в реальномкристалле, соответствующие определённым «срезам» кристалла.Перечислим теперь некоторые общие черты трёхмерного закона дисперсии дляэлектронов и фононов.1. При приближении к границе зоны Бриллюэна перпендикулярная ей компонентагрупповой скорости электрона или фонона стремится к нулю.2. Эффективная масса электрона и скорость звука могут быть анизотропными.Соответственно, анизотропными окажутся проводимость, магнитная восприимчивость и другие физические свойства кристалла.3. Дно энергетической зоны для электрона может лежать ниже потолка предыдущей зоны, находясь в другой области q-пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
