1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 34
Текст из файла (страница 34)
надо понимать здесь как известные нам Е 15) матрицы по отношению к состояниям с различными значениями М,. Поскольку три компоненты векто; а момента не могут одновременно иметь определенных значений, то то же самое относится и к компонентам тензора (54,3). Для компоненты 194 (гл, ти атом Я „имеем Усреднение этого оператора по состоянию с заданными значениями 1 и Мт состоит теперь просто в замене операторов их собственными значениями. Таким образом, находим чем и определяется искомая зависимость. При Мз= l (момент направлен «целиком» по оси г) имеем 4„9; эту величину и называют обычно просто кеадрупольным моментом. Рассмотрим атом, помещенный в однородное электрическое поле Е.
В таком атоме мы имеем дело с системой электронов, находящихся в аксиально-симметричном поле (поле ядра вместе с внешним однородным полем). В связи с этим полный момент атома 3 перестает сохраняться, но продолж ет сохраниться его проекция на направление оси симметрии (ось г). Выделяя собой определенное направление в пространстве, внешнее поле снимает вырождение уровней по направлениям момента: состояния, отличающиеся значениями Х, Мх и имевшие в свободном атоме одинаковую энергию, в электрическом поле приобретают различную энергию (так называемый эффект Шторка).
Расщепление уровней, однако, остается неполным; энергии состояний, отличающихся лишь знаком Мт, остаются одинаковыми. Это обстоятельство является непосредственным следствием симметрии по отношению к обращению времени (5 23). Меняя на обратное направление всех скоростей, обращение времени меняет знак проекции момента, оставляя энергию системы неизменной; остается неизменным также и поле Е (см. 1 з 44). Таким образом, уровни энергии атома в электрическом поле остаются двукратно вырожденными, за исключением лишь уровней с Мт=О. Но если полный момент Х вЂ” полу- целый, то значение М О невозможно, и тогда остаются двукратно вырожденными все уровни без исключения. Это обстоятельство является частным случаем более общего правила: можно показать (исходя из требований симметрии 4 54) ЛТОМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 195 по отношению к обращению времени), что для системы с полуцелым г' двукратное вырождение уровней остается в произвольном (а не только однородном) электрическом поле (так называемая теорема Кр мерса) ').
Если электрическое поле достаточно слабо — настолько, что обусловливаемая им дополнительная энергия мала по сравнению с расстояниями между соседними невозмущенными уровнями энергии атома,— то для вычисления смещения уровней можно пользоваться теорией возмущений. В однородном поле оператором возмущения является при этом потенциальная энергия атома в поле, выраженная через его дипольный момент: )г = — Езз = — ! Е ( с(,. (54,5) В первом приближении смещение уровней определяется соответствующими диагональными матричными элементами оператора возмущения. Эти элементы, однако, обращаются в нуль ввиду равенства нулю средних значений дипольного момента.
Поэтому расщепление уровней в электрическом поле появляется лишь во втором приближении теории возмущений и соответственно этому пропорционально квадрату поля э). Как квадратичная по полю величина, смещение ЬЕ„ уровня Е„должно выражаться формулой вида ЬЕ„= — — сз)зю Е;Ез, (54,6) где коэффициенты сс)з' составляют симметричный тензор второго ранга; выбрав ось з в направлении поля, получим бЕн = — д ~'"' ~ Е Г, (54,7) Фигурирующие в этих формулах коэффициенты имеют еще и другой смысл; они представляют собой в то же время поляризуемость атома во внешнем электрическом поле.
') Подчеркнем, однако, что в произвольном электрическом поле состоянии атома уже не могут характеризоваться значениями преекцин момента, таи кзя в неоднородном поле не сохраняется не только абсолютная величина момента вектора, но и все его козшоненты. ') Исключение составляет атом водорода, для стационарных ссстояний которого среднее значение дипольного момента может быть отлично от нуля. Поэтому расщепление уровней энергии атома водорода линейно по полю (гл.
тн Атом Зто утверждение следует из общей формулы (54,8) Здесь слева стоит диагональный матричный элемент оператора дй,'дЛ, гге Й вЂ” гамильтониан системы, зависящий от некоторого параметра Л; вместе с гамильтонианом функциями того же параметра Л являются и его собственные значения Е„. Если понимать в этой формуле под параметром Л величину поля !Е! и положить то мы получим, используя выражение (54,7), о, = а'"' ! Е !.
(54,9) Поляризуемостью атома как раз и называется коэффициент пропорциональности между приобретаемым им в поле дипольным моментом и величиной поля. Для доказательства же формулы (54,8) исходим из уравнения (Й вЂ” Е„) $„= О, определяющего собственные значения оператора Й. Продифференцировав это уравнение по Л и затем умножив его слева на ф„, получим При интегрировании этого равенства по й) левая сторона обращуется в нуль, поскольку ввиду эрмитовости оператора Н имеем (см. (3,!О)) а(Й вЂ” Е„) лл Й)=~-~ (Й вЂ” Е„) ф„'й) а (Й* — Е„)ф„"=О. Правая же сторона дает искомую фор- мулу, 197 й 55) АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 9 55. Атом в магнитном поле Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном поле Н. Согласно (43,4) его гамильтониан Х~ ~р,-(-~— ,А (га)1 +(/+ — Н5, (55,1) где суммирование производится по всем электронам (заряд электрона написан как е= — ~е~); (7 — энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; К=~с'.,з оператор полного (электронного) спина атома.
Выберем векторный потенциал однородного поля в виде (55,2) А=2 1Н~) (см. 1 4 46). Легко видеть, что при таком выборе оператор р= — (йЧ коммутативен с А. Действительно, при воздействии на какую-либо функцию аР(г) имеем (рА — Ар) ар = — (др (Аар) + (5 А чар = — (5ар ОН ч Аа т. е.
рА — Ар = — (А йчА. Но для вектора (55,2) йчА= — — Нго(г=О. Учитывая 1 г это обстоятельство при раскрытии квадрата в (55,1), перепишем гамильтониан в виде а где Ʉ— гамильтониан атома в отсутствие поля. Подставив сюда А из (55,2), получим Й=й„+ — ' — Н~Ч~'. (Г,Р,)+ е' „"1', (Нг,)а+~а~й НЯ, а 2%С а 8тс~ а ша Но векторное произведение (г,р,) есть оператор орбитального момента электрона, а суммирование по всем электронам дает оператор Ы полного орбитального момента атома. 196 АТОМ (гл, »и Таким образом, Н=Н«+рв(1.+23) Н +8»~л~~)Нг~]~, (55 3) а где рэ — магнетон Бора. Как и электрическое поле, внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект Зеемала). Определим энергию этого расщепления для атомных уровней, характеризующихся определенными значениями квантовых чисел /,-1., Е (т.
е. предполагая для них случай Ы-связи— см. 9 51). Будем считать магнитное поле настолько слабым, что рэ)Н) мало по сравнению с расстояниями между уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней. Тогда второй и третий члены в (55,3) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. В первом приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом. В первом приближении теории возмущений энергия расщепления ЬЕ определяется средними значениями возмущения в состояниях (иевозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на направление поля.
Выбрав это направление в качестве оси г, имеем Л Е = рв) Н! ((;+ 25«) = рв ) Н ! ((«+ Е ) (55 4) Среднее значение У, совпадает просто с заданным собственным значением l,=М;. Среднее же значение 3, можно найти следующим образом с помощью «поэтапного» усреднения (ср. 9 51). Усредним сначала оператор $ по состоянию атома с заданными значениями 3, 1. и /,, но не Мз. Усредненный таким образом оператор Я может быть «направлен» лишь вдоль ) — единственного сохраняющегося «вектора», характеризующего свободный атом.
Поэтому можно напйсать Я=сон»1 Л. В 55) 199 лтом в млгнитном поле В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора Э не могут одновременно иметь определенных аначений. Вуквальный же смысл имеют его г-проекция 5,=сопз1 Х,=сонэ( Мз и равенство Й = сопз1 Р = сопз1 Х (Х + 1), получающееся умножением обоих его сторон на 3. Внеся сохраняющийся вектоо Х под знак среднего, пишем И=Я. Среднее же значение 6Х совпадаег с собственным значением 2( ( + ) ( + )+ ( + которому оно равно в состоянии с определенными значениями 1.-', Б', У (согласно формуле (17,3), в которой надо понимать в данном случае под Е„).„Е соответственно 3, Е, Х ).
Определив сопз1 из второго равенства и подставив в первое, имеем, таким образом, (55,5) Собрав полученные выражения и подставив в (55,4), находим следуюцсее окончательное выражение для энергии расщепления ЛЕ=р,дМ,~Н~, (55,6) где Х 12+  — 1. (Ь+ 1)+ З (З+ В а- '+ 2Х(Х 1) есть так называемый множитель Ланда или гиромагнитный множитель. Отметим, что у=1, если спин отсутствует (3=0, так что Х=Е,), и а'=2, если Х.=О (так что Х=о). Формула (55,6) дает различные значения энергии для всех 2Х+1 значений Мэ=Х, Х вЂ” 1,..., — Х.
Другими словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента,— в противоположность электрическому полю, оставлявшему нерасщепленными 200 [гл. чп атом уровни с М =~)М~) '). Отметим, однако, что линейное расщепление, определяемое формулой (55,6), отсутствует, гели у=О (что возможно и при 1~0, например, для состояния ЧЭ и). Мы видели в предыдущем параграфе, что существует связь между сдвигом уровня энергии атома в электрическом поле и его средним электрическим дипольным моментом. Аналогичная связь существует и в магнитном случае.
Потенциальная энергия системы зарядов в однородном магнитном поле в классической теории дается выражением — рН, где )т — магнитный момент системы, В квантовой теории она заменяется соответствующим оператором, так что гамильтониан системы й=й,— рН =й,— р,) Н !. Применив теперь формулу (54,8) (с полем ~Н) в качестве параметра )), найдем, что среднее значение магнитного момента дЬЕ д(Н~' (55,8) где ЬŠ— сдвиг уровня энергии данного состояния атома. Подставив сюда (55,6), мы видим, что атом в состоянии с определенным значением Мт проекции полного момента на некоторое направление г обладает средним магнитным моментом в том же направлении; (55,9) Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным моментом (Я=А=О), то второй член в (55,3) не дает смещения уровня ни в первом, ни в более высохих приближениях (так как все матричные элементы от Е и 8 исчезают).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
