1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(гл. ч~ тождественность члствц Другими словами, числа заполнения У; могут иметь только значения О и 1. В связи с антисимметричностью функции (45,5) возникает прежде всего вопрос о выборе ее знака. В случае статистики Бозе этого вопроса не было, так как ввиду симметричности волновой функции раз выбранный ее знак сохранялся прн всех перестановках частиц. Для того чтобы сделать знак функции (45,5) определенным, можно условиться -устанавливать его следующим образом. Перенумеруем все состояния ф раз и навсегда последовательными номерами.
После этого будем заполнять строки определителя '(45;5) всегда таким образом, чтобы было р,(р2(р~( . пп причем в столбцах стоят функции различных переменных в последовательности $„$„..., $„. Знак волновой функции будет, таким образом, зависеть от всей совокупности номеров р„р„..., т. е. от всех чисел заполнения. В результате окажутся зависящими от них также и знаки матричных элементов операторов уничтожения и рождения частиц. Именно, оказывается, чтоэти операторы должны быть определены как матрицы с единственным отличным от нуля элементом, равным (48,1) Перемножением матриц можно убедиться в том; что произведения а,'а, и а,а,' диагональны, причем а,+ а; = Уп а; а+ = 1 — й о (48,2) а их сумма а, а;+ + а; а; = 1.
(48,3) Обратим внимание на то, что обращение в нуль произведения а;и; при У,=О и произведения а;а)' прн У;=! вполне естественно. В этих произведениях первым действует оператор, расположенный справа; но нельзя уничтожить частицу в 1-м состоянии, если ее там нет (У,=О), а согласно принципу Паули нельзя родить электрон в 1-м состоянии, если это состояние уже занято, т. е.
если Ф,=1. По такой же причине заранее очевидно, что а~а,=О, й)"аз=О. (48,4) 8 48) слгчлй стлтястикя еерми 173. Для всех же пар операторов с различными 7 и А получается а,аз+а„а,=О, а,"-а~ -)-а~а+=О, а;а;+а~"а,=О ()~=й), (48,5) т. е. все они, как говорят, антикоммугяативна — произведение меняет знак при перестановке множителей. Это отличие от случая статистики Бозе вполне естественно. В последнем случае операторы аг и аь были совершенно независимыми; каждый из операторов а; действовал только на одну переменную Уг, причем результат воздействия не зависел от значений остальных чисел заполнения.
В случае же статистики Ферми результат воздействия оператора а, зависит не только от самого числа Уо но и ог чисел заполнения всех предыдущих состояний. Поэтому действие различных операторов ао а„ не может рассматриваться как независимое. После того как свойства операторов ао а, таким образом установлены, все остальные формулы (47,13 — 25) остаются полностью в силе. Глава гУ АТОМ $ 49. Атомные уровни энергиЮ В нерелятивистском приближении стационарные состояния атома определяются уравнением Шредингера для системы электронов, движушихся в кулоновом поле ядра и электрически взаимодействующих друг с другом. Как мы знаем, для системы частиц в центрально-симметрнчном внешнем поле сохраняется полный орбитальный момент 1., а также четность состояния.
Поэтому каждое стационарное состояние атома будет характеризоваться определенным значением момента Ь и своей четностью. Кроме того, благодари описанному в 5 46 эффекту обменного взаимодейст'вия каждое стационарное состояние атома будет характеризоваться также и определенным значением полного спина электронов Я. Таким образом, в нерелятивистском приближении уровни энергии атома классифицируются по значениям Ь, Я и четности (разумеется, что обратное при этом не имеет места: значения этих квантовых чисел сами по себе еще не определяют однозначным образом энергию состояния). Каждый такой уровень энергии вырожден соответственно различным возможным направлениям векторов Е и Б в пространстве.
Кратности вырождения по этим направлениям равны соответственно 2Е.+1 и 23+1. Всего, следовательно, кратность вырождения уровня с заданными Е и 3 равна произведению (2Ь+1) (25+1). В действительности, однако, в электромагнитном взаимодействии электронов существуют релятивистские эффекты, зависящие ог их спиноз (они будут рассмотрены более подробно в 5 51). Эти эффекты приводят к тому, что энергия атома оказывается зависящей пе только от вели- В 49) АТОМНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ 175 чин векторов 1.
и $, но и от их взаимного расположения. Строго говоря, при учете релятивистских взаимодействий орбитальный момент 1, и спин 8 атома уже не сохраняются каждый по отдельности. Остается лишь закон сохранения полного момента ) =1.+$, являющийся универсальным точным законом, следующим из изотропии пространства по отношению к замкнутой системе. Поэтому точные уровни энергии атома должны характеризоваться значениями 7 полного момента.
Однако если релятивистские эффекты относительно малы (как это часто имеет место), то их можно учесть в качестве возмущения. Под влиянием этого возмущения вырожденный уровень с заданными 1. и » «расщепляется» на ряд различных (близких друг к другу) уровней, отличающихся значениями полного момента 7. Эти уровни определяются (в первом приближении) соответствующим секулярным уравнением (9 ЗЗ), а их волновые функции (нулевого приближения) представляют собой определенные линейные комбинации волновых функций исходного вырожденного уровня с данными Ь и о. В этом приближении можно, следовательно, по-прежнему считать абсолютные величины орбитального момента и спина (но не их направления) сохраняющимися и характеризовать уровни также и значениями 1.
и 5. Таким образом, в результате релятивистских эффектов уровень с данными значениями Е и Я расщепляется на ряд уровней с различными значениями 7. Об этом расщеплении говорят как о тонкой структуре (или лсулотиплетноле раси4еплении) уровня. Как мы знаем, 7 пробегает значения от Ь+о до 17.— В~; поэтому уровень с данными 7. и » расщепляется на 23+1 (если Ь)5) илн 2Ь+1 (если Л(Я) различных уровней. Каждый из этих уровней остается вырожденным по направлениям вектора 3; кратность этого вырождения равна 27+1 '), Атомные уровни энергии (или как говорят, спектральные термы атомов) принято обозначать символами, аналогичными тем, которые используются для обозначения состояний отдельных частиц с определенными значениями момента (~ 29).
Именно, состояния с различными значениями т) Некоторыми сведнфняесккми особенностями обладает тонкая структура уровней ввергни атома водорода (см. 4 94), 176 (гл. нп ятом полного орбитального момента 1. обозначаются большими буквами латинского алфавита со следующим соответствием: 1.=01 2 345 оРОРбН... Слева сверху от этого символа указывается число 23+1, называемое лультиплетногтью терма (надо, однако, помнить, что это число совпадает с числом компонент тонкой структуры уровня лишь при Е)5) ').
Справа внизу указывается значение полного момента 3, Так, символы вРпи вР.б обозначают уровни с 1=1, 5=- )х,,(=- )в, '1в й 50. Состояния электронов в атоме Лтом с более чем одним электроном представляет собой сложную систему взаимодействующих друг с другом электронов, движущихся в поле ядра. Для такой системы можно, строго говоря, рассматривать только состояния системы в целом.
Тем не менее оказывается, что в атоме можно, с хорошей точностью, ввести понятие о состояниях каждого электрона в отдельности как о стационарных состояниях движения электрона в некотором эффективном центрально- симметричном поле, созданном ядром вместе со всеми остальными электронами, Для различных электронов в атоме эти поля, вообще говоря, различны, причем определяться они должны одновременно все, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов. Такое поле называется гамосагласованнььн. Поскольку самосогласованное поле центрально-симметрично, то каждое состояние электрона характеризуется определенным значением его орбитального момента 1.
Состояния отдельного электрона при заданном 1 нумеруются (в порядке возрастания их энергии) с помощью главнога квантового числа и, пробегающего значения и=1+1, 1+2, ...; такой выбор порядка нумерации устанавливают в соответствии с тем, который принят для атома водорода. Но последовательность возрастания уровней энергии с различными 1 в сложных атомах, вообще говоря, отличаегся от имеющей место у атома водорода. В последнем энергия ') Прн 23+1=1, 2, 3,... говорят соответственно о сннглетном, вублетном, трнплетном... уровнях.
з 50! СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ !и вообше не зависит от 1, так что состояния с ббльшими и всегда обладают ббльшей энергией. В сложных же атомах уровень, например, с л=5, 1=-0 оказывается лежащим ниже уровня с н=4, 1=2 (см. об этом подробнее в 2 52). Состояния отдельных электронов с различными и и ! принято обозначать символом, состояшим из цифры, указывающей значение главного квантового числа, и буквы, указьваюшей значение ! '). Так, 4а' обозначает состояние с и= — 4, 1=-2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
