1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 27
Текст из файла (страница 27)
') Ыы обозначаем здесь обобщенный импульс той же буквой р, что и обычный импульс (вместо Р в 1 4 43), с целью подчеркнуть, что ему отвечает тот же оператор. Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как еГд'2трс, где лт„— масса протона, Эксперимент дает для собственйого ыагйитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину.
Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона. Обратим внимание на то, что величины )ь и з, стоящие в обоих сторонах равенства (43,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами (обе определяются векторными произведениями двух полярных векторов). Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента й (б=-сопз( з) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обоих сторон равенства ').
Выясним, как должно быть записано уравнение Шредингера ддя частицы, движущейся как в электрическом, так и в магнитном внешнем поле. В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет внд Н=,— '(р — 'А) + Р, где Ф вЂ” скалярный, А — векторный потенциалы поля, а р — обобщенный импульс частицы (см, 1 З 43). Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором р= — Й'ь, и мы получим галгильтоннан е) [66 Вл ч спин Если же частица обладает спинам, то такая операция недостаточна, Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу.
Правильное выражение для гамильтоннана получится путем введения в (43,3) дополнительного члена — [дН, соответствующего энергии магнитного момента )ь в поле Н '). Таким образом, гамильтойиан частицы, обладающей спином и находящейся в магнитном поле, имеет вид 1 / е Н = ~ „— Ау[ — РН. (43,4) 2т~ с Уравнение Нф=Еф для собственных значений этого оператора и представляет собой искомое обобщение уравнения Шредингера на случай движения в магнитном поле. Волновая функция ф в этом уравнении — спинор ранга 2з+ !.
5 44. Движение в однородном магнитном поле Определим уровни энергии электрона в постоянном однородном магнитном поле. Выберем ось г в направлении поля Н, а векторный потенциал поля напишем в виде А„= — Ну, А„=А,=О (44,!) (легко проверить, что го( А действительно совпадает с Н). Тогда гамильтониан (43,4) для электрона (с зарядом с= †[ н магнитным моментом [2= †[) пРинимает вид 2 2 ! /- еН й' рз р, еН" Н = — ( р -[ — у ) + — + — — — з . (44,2) 2т ( з с ,) ' 2т 2т тс Прежде всего замечаем, что оператор за коммутативен с гамильтоннаном (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что з-проекция спина сохраняется, и потому з, можно заменить собственным значением з,=-о, После этого спнновая зависи- ') Обозначение величины ноля и гамнльтониана одинаковой буквой не может привести здесь к недоразумениям; гамильтоннан снабжен шляпкой над буквой.
Э 44) движении н однородном магнитном пола \5« масть волновой функции становится несущественной и ь(ь в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение ггт ~(Р +сиу) +рр+р,'1 ь)ь — — 'ь(ь=Еьр, (44„3) Гамильтониан (44,2) не содержит явно координат х и г. Поэтому с ним коммутативны также и операторы р„и р, (дифференцирования по х и г), т. е. х- и г-компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ь)ь в виде — Ьр «ерь«Ь т)ь=е" Х(у) (44,4) Собственные значения ра и р, пробегают все значения от — оо до оо.
Поскольку А,=О, то г-компонента обобщенного импульса р, совпадает с компонентой обычного импульса: р,=тп,. Таким образом, скорость электрона в направлении поля может иметь произвольное значение; мозкно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется». Подставив (44,4) в (44,3), получим следующее уравнение для функции Х: "зьп Г рзз т з Х т зоз ь Š— вцо — т о вн(У Уз) ~ Х=Оь где введены обозначения у,=- — ср„~еН и вть — ть (44,5) Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера (25,6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой ва около точки у=у,.
Поэтому мы сразу можем заключить, что постоянная (Š— ивы — )з',!2т), играющая роль энергии осциллятора, может принимать значения (а+ь»з)ььв,, где и — целые числа. Таким образом, получаем следующее вььражение для уровней энергии электрона в однородном магнитном поле: Е=~ и+ — +о))ьв„+ щ, (44,6» Первый член в (44,6) дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикулярной полю; их называют уровнями Ландау '). ьз Эта задача была впервые рассмотрена Ландау (19ЗО» в связи с проблемой дичмагиетизма электронов в металле.
Гла па $Ч ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ й 45. Принцип неразличимости одинаковых частиц В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют все же своей «индивидуальности»: можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент времени '«перенумерованными» и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать.
В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что, в силу принципа неопределенности, понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их идентификации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем указать, какой именно из электронов попал в эту точку.
Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою «индивидуальность». Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет., здесь весьма глубокий характер — она приводит к полной неразличимостя частиц. $ 451 пгннцип нагьзлнчнмости одшикоаых частиц 159 Зтот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль в квантовои теории систем, состоящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности, состояния системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными.
Зто значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на несушественный фазовый множитель. Пусть ф(~„~,) — волновая функция системы, причем $„$, условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть ф(5о 5,) к аьф(З.„$,), где и — некоторая вещественная постоянная. В результате повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, между тем как функция $ окажется умноженной на е'-".
Отсюда следует, что е'-"=1 или е'"=~1. Таким образом, ф(Е„$,)=~ф(5„К). Мы приходим к результату, что имеется всего две возможности — волновая функция либо симметрична (т. е. совершенно не меняется в результате перестановки частиц), либо антнсимметрнчна (т. е. при перестановке меняет знак), Очевидно, что волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни антисимметрична. Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие нз произвольного числа одинаковых частиц. Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и прн всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак прн перестановке каждой пары.
В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае — об антисичжетричной волновой функции. 160 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ [гл. Тт Свойство описываться либо симметричными, либо анти- симметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричнымн функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми — Дирака или о ферхгианах, а о частицах, описывающихся симметричными функциями,— как подчиняющихся спштисагике Бозе — Эинша~ейна или о бозонак ').
Мы увидим в дальнейшем 5 87), что из законов релятивистской квантовой механики следует однозначная связь между статистикой, которой подчиняются частицы, и их спинам: частицы с полуцелым спинам являются фермионами, а частицы с целым спинам — бозонами. Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых элементарных частиц. Перестановка базанов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фермионов лтеняет ее знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
