1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(33,2) Зто уравнение — з-й степени по Егп и имеет, вообще говоря, з различных вещественных корней. Зги корни и представляют собой искомые поправки первого прибли- 127 й 331 СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ жения к собственным значениям. Уравнение (33,2) называют секулярнььн '), Подставляя поочередно корни уравнения (33,2) в систему (33,1) и решая последнюю, найдем коэффициенты с'аз> и, таким образом, определим собственные функции нулевого приближения. В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным (корни уравнения (33,2), вообще говоря, различны); как говорят, возмущение «снимает» вырождение.
Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным (в последнем случае после наложения возмущения остается вырождение меньшей кратности, чем первоначальная). Задачи 1. Определить поправки первого приближения к собственному значению и правильные функции нулевого приближения для двукратно вырожденного уровня. Р е ш е и и е. Уравнение (33,2) имеет здесь вид (индексы 1, 2 соответствуют двум произвольно выбранным невозмущен-. ным собственным функциям ф, и ф, данного двукратно вырождене> ~е1 ного уровня). Решая его, находам Е~г>= — [Уы+$ез ~ цыц)1, йыц~= Рс(ры — Узз)з+4) Ьзе)е, (1) 2 где введено обознзчение йыц> для разности двух значений поправки Ецц Решая, далее, уравнения (33,1) с этими значениями Ец>, получим для коэффициентов в нормированных правильных функциях нулевого приближения ф~з~=с,'юф|ю+с(юф1ю значения (2) 2.
В начальный момент времени 1=0 система находится в состоянии фз, относящемся к двукратно вырожденному уровню. Определить ве<о роятность того, что в дальнейший момент времени 1 система будет ') Название заимствовано из небесной механики, [гл. щ теогня возмкщкннй 126 находиться в другом состояннн травм тод же энергии; переход пронсходнт под влняннем постоянного возмущення. Р е щ е н н е. Составляем правильные функцнн нулевого прнблнження ф=стфт+сзърз, ф =стфт +гетре, где сы с, н с„сз — две пары коэффициентов, определяемые формуламн (2) задача 1 (нндексы 0 у всех величин для краткостн опускаем).
Обратно: саф — сзф' фг= с,г, — стсз Функции зр н ф' относятся к состояниям с возмущенными энергнямн и+Вен н Е+Е"Г, где Е'О, Ецм — два значения поправки (1) задачи 1. Вводя временнйе множители, переходим к волновой фуннцнн, завнсящеб от времени: чг, =,, [сафе ' 1 — с ф'е е-алый с,сз — стс, (в момент 1=0 тут=фт). Наконец, выражая снова тр, ф' через т[ь, фз, получим Чгт в виде линейной комбинации от зрю фе с коэффнцнентамн, зависящими от времени. Квадрат модуля коэффициента прн фз определяет искомую вероятность перехода юге. Вычисление с нспользованнем (1) в (2) дает юге=2 — [1 — соз ы [ "тз! и> (йыпйз Мы вадим, что вероятность перноднческн колеблется с частотой ы~т>, й 34. Возмущения, зависящие от времени Перейдем к изучению возмущений, зависящих явно от времени.
Говорить о поправках к собственным значениям энергии в этом случае вообще нельзя, поскольку при зависящем от времени гамильтониане (каковым будет возмущенный оператор Й=Й,+ [у(1)) энергия не сохраняется, так что стационарных состояний не существует. Задача заключается здесь в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы. Для этой цели применим метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решений линейных дифференциальных уравнений '). Пусть Ч"," — волио- ') Применение этого метода в квантовой механике првнадлежнт Диракр (1926).
Ч 341 Возмущении, ВАВисищие от ВРемени 129 вые функции (включающие временной множитель) стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть написано в виде суммы Ч"=~~„аеЧ7'. Будем теперь искать решение возмущенного уравнения А — = (и, —, 'У') Чг в виде суммы 1Р ~ч~~о (() ЧР1м (34,2) где коэффициенты разложения являются функциями времени. Подставив (34,2) в (34,1) и помня, что функции Ч"1' удовлетворяют уравнению а1Г(м (л — = и чг1м дг получим Умножив обе стороны равенства слева на Ч"''В и интегрируя, получим Н вЂ” „" = "УУ' $' „(1) а, (34,3) где ~ чРИ~*~~~~~м,(ч 1Р ел.„м „, (Ем> Е|м) 1о Й + = У„(1). (34,4) — матричные элементы возмущения, включающие временной многкнтель (впрочем, при зависящем явно от времени $' величины ~' „тоже являются функциями времени).
В качестве невозмущенной волновой функции выберем волновую функцию (-го стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (34,2): а';о =1, а1м 4-0 при А~~'. Для определения первого приближения ищем и, в виде а„=амм+ае", причем в правую сторону уравнения (34,3) (уже содержащую малые величины $' „) подставляем ае=ае". Это дает !3О теОРия Возмущений (ГЛ. Ю Для того чтобы указать, к которой из невозмущенных функций вычисляется поправка, введем второй индекс у коэффициентов аю написав Ч";=Хам(Г) Ч7'.
(34,5) Соответственно этому напишем результат интегрирования уравнения (34,4) в виде аЦ'= — — ! Ум(~)г(Г= — — ( У есмн пй (34,6) Этим определяются волновые функции первого приближения. Выбор пределов в интегралах (34,6) зависит от условий конкретной задачи.
Предположим, например, что возмущение действует всего лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (или же, что У(т) достаточно быстро затухает при г- ~сю). Пусть перед началом действия возмущения (или в пределе при à — ~ — оо) система находилась в Г-м стационарном состоянии (дискретного спектра).
В произвольный последующий момент времени состояние системы будет 'определяться функцией (34,5), где в первом приближении ан — — 1 — а,';ч = 1 — — ~ Ун гИ. (34,7) Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы при г — со все а(1з обращались в нуль. По истечении времени действия возмущения (или в пределе г — ~ао) коэффициенты ам принимают постоянные значения ам (оо), и система будет находиться в состоянии с волновой функцией Чг ~э~~ ( ) Чг(м а снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению, но отличной от первоначальной функции Ч7'.
Согласно общим правилам, квадрат модуля коэффициента аы (оо) определяет вероятность системе иметь энергию Е~ , т. е. оказаться в Ф-м стационарном состоянии. 88) переходы В иепРеРывном спектре 181 Таким образом, под воздействием возмущения система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое друтое. Условимся, для единообразия, обозначать здесь и в следующих параграфах начальное состояние индексом 1, а конечное — индексом ). Вероятность перехода г- ) равна К = — ! ( 'Рг егмггг г(ьг ~ .
(34,8) Если возмущение )г(1) мало меняется на протяжении промежутков времени порядка периода 11озуо то значение интеграла в (34,8) будет очень малым: интеграл погашается наличием в подынтегральном выражении быстро осцнллирующего знакопеременного множителя ехр(1озц1). В пределе, при сколь угодно медленном изменении приложенного возмущения, вероятность всякого перехода с изменением энергии (т.
е. с отличной от нуля частотой гоц) стремится к нулю. Таким образом, при достаточно медленном (адиабагпическодг) изменении возмущения систелш, находившаяся в некотором невырожденнолг стационарном состоянии, будет продолжать оставаться в том же состоянии. в 35. Переходы в непрерывном спектре ') Строго говоря, состояния дискретного спекгра системы, способной к распаду, являются не стационарными, а квазистационарными (см. нггже, 5 38); зто обстоятельство не существенно для излагаемого здесь рассмотрения, но мы еще вернемся к етому вопросу в 4 !02. Одним нз важнейших применений теории возмущений является вычисление вероятности перехода между состояниями непрерывного спектра под влиянием постоянного (не зависящего от времени) возмущения.
Сюда относятся различные процессы столкновений; при этом система в начальном и конечном состояниях представляет собой совокупность сталкивающихся частиц, а роль возмущения играет взаимодействие между ними. К категории явлений, обнимаемых излагаемым ниже методом, относятся также процессы, в которых система (находящаяся в некотором своем связанном состоянпи) распадается на свободно движущиеся части. Зля определенности будем сначала иметь в виду именно этот последний случай '). теОРия ЕОзмущеннй 132 Ч' = ~' а«(1) Ч$" + ) п«(1) Че~" дч (35 1) где сумма берется по всему дискретному, а интеграл— по непрерывному спектру; при этом [а„(~)[едч будет вероятностью нахождения системы (в момент времени () в состояниях в интервале между ч н ч+е[Р (ср.
$ 5). Итак, пусть в момент времени (=0 система находится в начальном состоянии, которое отметим индексом 1. Требуется найти вероятность ее перехода в состояние )', в котором величины ч имеют значения в интервале е[чп Изменив соответствующим образом обозначение индексов в (34,6) и произведя интегрирование (при не зависящем от времени [еп), получим Е Р,, 1 — е'"ГН а,=- — — ~ Ц;е""г' е[«=1' е (35,2) Нижний предел интегрирования выбран так, чтобы при 1=0 было а;=О, в соответствии с поставленным начальным условием.
Квадрат модуля выражения (35,2) равен (35,3) Легко видеть, что при больших е стоящая здесь функция пропорциональна й Обозначим символом ч совокупность величин, пробегающих непрерывный ряд значений, определяющих собой состояния непрерывного спектра. Под «Ь будем понимать. произведение дифференциалов этих величин. Невозмущенные волновые функции непрерывного спектра будем предполагать нормированными на б-функцню «по шкале величин тэ (так, величинами ч могут быть компоненты импульсов свободных частиц; их волновые функции должны быть тогда нормированы на б-функцию от импульса). С такой нормировкой разложение волновой функции будет иметь вид (вместо (34,2)) й 351 пеееходы в непеееыаном спектев 133 Лля этого замечаем, что имеет место следующая формула: !нп — '",, =6(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
