1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(29,14) о о Заданием (допустимого) значения Е решение уравнения (29,10) с граничным условием (29,12) определяется полностью. Это значит, что при движении в центральном поле состояние полностью определяется значениями Е, 1, т: энергия, величина и проекция момента составляют вместе полный набор физических величин для такого движения. Сведение задачи о-движении в центральном поле к одномерной позволяет применить осцилляционную теорему ($ 22). Расположим собственные значения энергии (дискретного спектра) при заданном 1 в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами п„причем наиболее низкому уровню приписывается номер п,=О. Тогда и„ определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях «(не считая точки с=О), Число п„ называют радиальным квантовым числом. Число 1 при движении в центральном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а т — магнитным квантовым числом. Для обозначения состояний с различными значениями момента 1 частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием: 1=0! 234567...
в р д 1 л )« 1 й ... Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При малых г ищем Р(г) в виде Р=сопз( г". Подставив это в уравнение — ) г' — ) — 1(1+ 1) Р = О, л 7 вй1 Лг ) вг,) 1!0 (гл. ш ~еланские шевдянгкгл получающееся из (29,8) умножением последнего на г' и переходом к г — ~0 (с учетом (29,11)), найдем 5 (5+ 1) = 1(1+ 1).
Отсюда з=1 пли з= — 1 — 1. Решение с э= — 1 — 1 не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при г=0. Таким образом, остается решение с а=1, т. е. вблизи центра волновые функции состояний с заданными ! пропорциональны г'. Й сопз! Г . (29,!6) Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между г и г+дг определяется квадратом ~Ю!' и поэтому пропорциональна гм'"н . Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль при г О, чем больше значение Е 8 30.
Сферические волны Плоская волна (20,9) описывает стационарное состояние свободной частицы, в котором она имеет определенный импульс р (и энергию Е=р'!2ш). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния (сферические волны), в которых частица обладает, наряду с энергией, определенными значениями величины и проекции момента. Вместо энергии удобно при этом ввести величину волнового вектора й= — Р 2тЕ. Ф (30,1) Волновая функция состояния с моментом 1 и его проекцией т имеет вид ф„р. — )сд,(г) 1,. (8, ф), (30,2) где радиальная функция определяется уравнением Л;,+ —,Л;,+~й — —,, "!г„=о 2, .
Г д !(1-4-1)ч (30,3) (уравнение (29,8) без У(г)). Волновые функции фьа„, относящиеся к непрерывному (по й) спектру, удовлетворяют условиям нормировки и взаимной ортогональности: ) фагот фиа "~'=би бтлб Й' — й) Я 30) сеегические ВОлны Взаимная ортогональность при различных 1, 1' и ш, т' обеспечивается угловыми функциями.
Радиальные же функции должны быть нормированы условием и ~ гтйечйа,с(г=б(л' — й). (30,4) о Прн 1=0 уравнение (30,3) можно написать как „вЂ” "', (гЯ„)+А Я,„= О; (ЗО,Б) его решение, конечное при Г=О и нормированное услогием (30,4), есть г„, = у'-' — "",". (30,8) Для проверки правильности нормировки пишем: О О гтЯ, е)тает(г= — ~ з)п/гг з!пйг Ь' —.— 2 Г и о о — сон(л' — й) г с(г+ — ) соз(1г'+/г) г г(г. о о Согласно формуле и ~ созих г(х=пб(сх) (30,7) (30,8) первый интеграл в (30,7) дает требуемую Ь-функцию; второй же интеграл обращается в нуль, так как й+А'~0 '). При 1чьО функции )т'аг имеют более сложный вид. Но на больших расстояниях г онн могут отличаться от (ЗО,Б) лишь фазой тригонометрического множителя; это следует из того, что при г — «оо в уравнении (30,3) можно опустить член 1(1+1)lгт, и тогда оно не отличается от уравнения с 1=0 (поскольку, однако, такое уравнение будет относиться лишь к области больших г, отпадает возможность выбора одного из двух независимых решений по условию конечности при Г=О).
Фактически изменение фазы по сравнению ') Формула (ЗО,З) получаетси иа (12,9) отделением ве;дественноп части в обоих сторонах равенства и заменой интеграла в пределах от — со до со на удвоенный интстрал от О до со, 112 (гл. ш УРЛВИЕНИЕ ШРЕДИИГЕРЛ со случаем 1=0 оказывается равным п(!2, так что асимптотнческий вид сферической волны на больших расстояниях ') ы з»2»~ г( ж и » Аналогичное асимптотическое выражение для радиальной части волновой функции справедливо не только при свободном движении частицы, но и для движения (с положительной энергией) в любом поле, достаточно быстро убывающем при;-ьоо ').
На больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шредингера как полем, так и центробежной энеРгией, и мы снова полУчим ДлЯ )са, УРавнение вида (30,5). Общее решение итого уравнения Щ, ж 1у» — - з!п ((тг — — "+б,), (30,10) где 6, — постоянный фазовый сдвиг; член п(т2 в аргументе синуса прибавлен для того, чтобы в отсутствие поля было б,=О. Постоянная фаза 6, определяется граничным условием (конечность )сд, при Р=О), при котором должно решаться точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в общем виде. Фазы б, являются, конечно, функциями как от 1, так и от й и представляют собой существенную характеристику собственных функций непрерывного спектра.
Рассмотрим свободную частицу, движущуюся с определенным импульсом р=так в положительном направлении оси г. Волновая функция такой частицы есть плоская волна: ф = СОП5( ° Ета» = СОП51 ° г'"» се» а. (30,11) Разложим ее по волновым функциям фа а„свободного движения с определенными орбитальными моментами.
Поскольку функция (30,11) обладает аксиальной симметрией вокруг оси г, то в ее разложение могут войти только фупк- ') Рещение уравнения (30,3), конечное при»=0, выражается через функцию Бесселя полуцелого порядка; Рм = г„ , (а»У )та». Известное асимптотическое выражение функций Бессели приводит к (30,9~. ) Именно, поле ()(») должно убывать быстрее, чем !/о й 301 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ции, ие зависящие от угла ер, т. е. функции с т=0. Эти функции фем сопв1 Р,(совй))!!е! и, таким образом, искомое разложение должно иметь вид е""' ~ ае)е„! (Р) Р, (сов 8), !=о где а, — постоянные коэффициенты. Для определения этих коэффициентов умножим равенство (30,12) на Р, (сов 8) в!и О и проинтегрируем его по е(8.
Имея в виду взаимную ортогональность полиномов Р, с различными 1 и значение нормировочного интеграла ~ Р', (соз 8) в!п 8 е(8 = — — -Г, (30,13) о получим еаы '" е Р, (сов 8) в!пО е(8 = а, +, Рм (г). 2 (30,14) Интеграл в левой стороне равенства легко вычисляется в области больших г, где можно пренебречь всеми членами высших порядков по 1/». Интегрируя по частям по переменной (!=сов О, получим, с этой точностью, ! емч'и еее» вЂ” ( — !1'е и» еге'РР, ((е) е((е ж Р, (р) —,, ~ — 1 (здесь использованы также известные значения Р,(1)=1, Р,( — 1)=( — 1)'). Это выражение можно записать в виде зи .: л!'! — в(п! Аг — —,), Е» (, 2)' после чего равенство (30,14) с )ее! из (30,9) дает и, =-.
)»» — ' — (2(+ 1), (30,15) С этими коэффициентами разложение (30,12) принимает на больших расстояниях г следующую асимптотическую 1!4 [гл. ш УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА фора!у аа ага' ян — ~, Р (21+ 1) Р, (сое 0) ейп ( [гг — — ). (30,16) Это разложение понадобится иам в дальнейшем, в теории рассеяния частиц. Задачи 1.
Определить уровни энергии для движения частицы с моментом 1=0 в центрально-симметричной потенциальной яме: 0 (г»= — (!а при г<0, (! (г)=0 прн г>а. Р еще н и е. При 1=0 волновые функции зависят только от г. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид ! си 1 — — «ф)+лаф=о. л= — )г 2ш(иа — 1к 1). гсга ь Решение, конечное при г=О: з(п Лг ф=А —.
с Прн г)а имеем уравнение ! а(а 1 — — (гф) — хаф=О, х= — 3Г2ш [ Е [. г ига =Ь Решение, обращающееся в нуль на бесконечности: , е-"" ф=А' —, г или а! п йо = ~ да 1 2таЧ/а [2) Зтим уравнением определяются, неявным образом, искомые уровни энергии (должны быть взяты те корни уравнении, для которых с!и да<0, как это следует нз (1)). Первый из этих уровней (уровней с 1=0) является в то же время самым глубоким из всех вообще уровней энергии, т. е.
соответствует нормальному состоянию частицы. При слишком малой глубине (Га потенциальной ямы'уровни отрицательной энергии вообще отсутствуют, частица не может «удержаться» ямой, Зто легко видеть из уравнения (2) с помощью следующего графн- условна непрерывности логарифмической производной от гф при г=а дает 2ш(Га а Лс1я йа= — х= — 1гг — — йа, (1) Ьз ф 311 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 115 (3) Эта величина тем больше, чем меньше радиус имы а. Величина перво.
го уровня в момент его появ- Рис. 10. пения определяется из йач в/2 и равна нулю, как и естественно было ожидать. По мере дальнейшего увеличении глубины ямы нормальныйй уровень тоже понижается. 2. Определить уровни энергии пространственного осциллятора (частица в поле (/='/ тызга) и кратности их вырождения. Р е ш е н и е.
Уравнение Шредингера лля частицы в поле (Г= ='/заказ(ха+уз+аз) допускает разделение переменных, приводящее к трем уравнениим типа линейного осциллятора. Поэтому уровни энергии Е=йы (л +л,+лэ+ — ) =вы (л+ — ) . Кратность вырождения л-го уровня равна числу способов, которыми лмажет быть представлено ввидесуммытрехцелых (включан значение О) положительных чисел '); оно равно — (л+! ) (л+ 2). 1 2 ф 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
