1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. должен оборваться при некотором конечном з. Из (25,!2) видно, что для этого п должно быть целым положительным числом: тогда ряд оборвется на члене степени з=и, т. е. сведется к полиному (гл. !и УРЛЕИЕННЕ ШРЕДИНГЕРА степени п. Тем самым мы возвращаемся к уже известному нам результату (25,5) для собственных значений энергии. Выпишем в явном виде волновую функцию лишьдля основного состояния осциллятора. При п=О полином сво дится к константе.
Определив ее так, чтобы волновая функция удовлетворяла условию нормировки з! фе (х) г(х получим (25,13) Как и следовало, эта функция не имеет нулей при конеч- ных х. Задача Определить распределение аероятностей различных значений им* пульса а нормальном состоянии осниллятора. Р е ш е н и е. Аналогично задаче ! $24, вычисляем интеграл а (р) = — ~ зре (х) е " 0х.
Подсганоиной х+(р(тм=х он приаоднтся и интегралу Пуассона и получаем ! l рт ) а (р) ) я =-. ехр ~- — ~ ' Уп. ~ -й.) й 2й, Квазиклассическая волновая функция Если де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами, определяющими условия данной задачи, то свойства системы близки классическим. В $ 6 уже был указан общий вид, который имеют волновые функции в таких каазиклассических случаях, а в Я 12 и И этот вид был использован для установления квантовомеханических операторов основных физических величин. Проследим теперь более подробно, каким образом происходит в уравнении Шредингера предельный переход к квазиклассическому случаю. $ 26) килзикллссичискли иолнаиля агнкции 93 — 5 Ч'=ае" (26,1) (в котором величины а и 5 предполагаются не зависящими от й) — как начало разложения волновой функции по степеням этого параметра.
Если представить выражение (26,1) в виде ехр ((15+Ь)па)/й), то мы увидим, что оно соответствует двум первым членам разложения экспоненты. Поэтому н в последующих вычислениях надо сохранять лишь члены первых двух степеней по Ь. Будем говорить, для простоты, об одной частице во внешнем поле. Подставив (26,1) в уравнение Шредингера (20,6) произведя дифференцирования и сохранив лишь члены первых двух степеней по Ь, получим ад, — Й д,+ —,(Ч5)» — 2тай5 — — Ч5Ча+(/а=О. (262) Члены нулевой и первой степени по г» должны обращаться в нуль по отдельности.
Отсюда находим два уравнения: "+ — '(Ч5) +(/=О, (26,3) — + — Л5+ — Ч5Ча=О. да а 1 дг 2м и (26,4) Первое из них есть, как и следовало, уравнение Гамильтона — Якоби для действия частицы 5 (см. 1 $ 31). Уравнение же (26,4) после умножения на 2а может быть переписано в виде да» . и Ч5~ — +п(ч (໠— ) =О. дг (26,6) Это уравнение имеет наглядный физический смысл. Квадрат (Ч'В=а» есть плотность вероятности нахождения частицы в пространстве; 75/т=р/т есть классическая скорость часпщы ч.
Поэтому уравнение (26,6) есть ие что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности «перемещается» но законам классической механики с классической скоростью ч в каждой точке, В 2 6 было отмечено, что предельный переход от квантовой к классической механике есть, с формальной точки зрения, переход к пределу Й-»О. В квазнклассическом случае, следовательно, можно рассматривать Ф как малый пара-.
метр, а выражение эглвн«ниа шгалингегл (гл. ш Для стационарных состояний, т. е. прн заданной энергии Е, действие Я= — Е1+3«(х, у, г), (26,6) где 3« — функция координат (так называемое «укороченное действие»), удовлетворяющая уравнению «вЂ” (75«)» + У = Е, 2»» Лмплитуда же волновой функции а стационарных состояний не зависит от времени и удовлетворяет уравнению п(ч (а»р5) = О. (26,8) Выпишем квазиклассическую функцию стационарных состояний в раскрытом виде для случая одномерного движения частицы в поле У(х). В уравнении (26,У) имеем тогда (Ю«)» (дЗ,Ях)», и его решение 5, = ~ ) р дх, р (х) = ~' 2т (Š— Ю).
(26,9) Подынтегральное выражение р(х) представляет собой не что нное, как классический импульс частицы, выраженный в функции от координаты. Из (26,8) имеем теперь « «Х — (а»р) = О, а«р = сопз(, так что а=сонэ(1Р р. Таким образом, получаем общее решение уравнения Шредингера в виде с, —,, ~(»«' с, «р= — «е« ~ + — «а «з «(26,10) где Сп С, — постоянные коэффициенты. Наличие множителя 14~ р в волновой функции допускает простое истолкование. Вероятность нахождения частицы в точках с координатами между х и х+«(х определяется )ф~», т.
е. в основном пропорциональна 1/р. Это как раз то, что и следовало ожидать для «квазиклассической частицы», поскольку при классическом движении время, проводимое частицей на отрезке «(х, обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы. В «классически недоступных» участках пространства, где Е(1)(х), функция р(х) — чисто мнимая, так что по- В 27! пглвнло квлнтозлннн вогл — зоммкнанльдл 95 казатели вещественны.
Волновую функцию в этих областях напишем в виде ! ! с,' --~(! !" с,' = — е "" + —.'. ал" . (26,)!) )/)р! г')р! Выясним более точно условие применимости полученных результатов. Именно, в уравнении (26,2) члены, содержащие Й, должны быть действительно малы по сравнению с членами без $. Сравним, например, члены !Ла !аа уя !Йа др — ЛЯ = — — = — —. 2т 2тах! 2т ах' Условие малости второго по сравнению с первым: (Ьр'))/рЫхК-! или ~Й(< (26,!2) где Х=)/2л, а ). (х)=2пй/р (х) — де-бройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от х с помощью классической функции р(х). Таким образом, мы получили количественное условие квазиклассичности — длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой.
Выведенные здесь формулы становятся неприменимыми в тех областях пространства, где это условие не выполняется. Квазиклассическое приближение заведомо неприменимо вблизи и!очек повороп!а, т. е. вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении.
Эти точки определяются равенством р(х)=0. При р-+О де-бройлевская длина волны стремится к бесконечности и во всяком случае не может считаться малой. й 27. Правило квантования Вора — Зоммерфельда Полученные в предыдущем параграфе формулы позволяют вывести условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае.
Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной [гл. ш нглвнкник штгдингьал яме; классически доступная область а(х .Ь ограничена двумя точками поворота (рис. 3) '). Граничные условия для волновой функции состоят в требовании, чтобы она затухала вглубь каждой из двух классически недоступных областей 1 и 1!1, обращаясь в нуль прн х-ь~оо. Мы знаем Фг/ также, что в этих областях общее решение уравнения Шредингера имеет шщ (26,11), а в области П— вид (26,10). Из этих условий можно было бы опресг Б делить постоянные коэфрн. з фициенты в этих решениях для каждой из областей 1 — П1, производя их «сшивку» друг с другом на границах — в точках х=а и х=Ь.
Но непосредственное осуществление такой «сшнвки» невозможно в связи с тем, что как раз вблизи этих точек квазиклассическое приближение (в котором вычислены функции (26,10 — 1!)) становится неприменимым. Это затруднение отпадает, если ограничиться первым, наиболее грубым приближением. Она состоит в том, что граничные условия обращения волновой функции в нуль на бесконечности заменяются условием обращения в нуль уже в точках х=а и х=Ь.
В классическом пределе этн точки являются абсолютными границами движения, и частица вообще не проникает за них. В квазнкласснческом приближении, хотя частица и может проникнуть в классически недоступные области, но волновые функции затухают в ннх очень быстро; это обстоятельство н является основанием для указанной замены граничных условий. ') В классической механике в таком поле частица совершала бы периодическое движение с периодом движения от точки а до Ь и обратно: Т = 2 ) — =- 2ш )— !и — снорость частицы).
й 271 отлипло квантования ноев †зоммкпвкль 97 Граничное условиеф=О при хг а приводит для волновой функции в области П к выражению Л С тр= — з)п — 1 рз(х. 1'р л) (27,1) Но таким же образом, поставив условие ф=О в точке х=Ь, мы получили бы с' . )г тз= — з)п — 1 рз(х. й,) Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей об- ласти, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от гм ) г — ~ рс(х.= ггл й,) а (27,2) (причем С=( — !)" С). Иначе можно написать ф рс)х= 2пйп, (27,3) ') Более точное исследование, нспользуюпее точиые (пе квазпклассическне) резнения уравнения Шредингера вблизи точек поворота, приводит к замене целого числа и в (27,2 — 3) на л+ '„'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
