1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Движение в кулоновом поле Рассмотрим движение электрона В атоме водорода или в водородоподобном ионе: электрон в поле ядра с зарядом +де. В предположении неподвижности ядра вопрос сводится к задаче о движении частицы в кулоновом поле притяжения Язз и= — —. с ' (31,1) ') Другими словами, это есть число способов, которыми л одинако. вых шаров могут быть разложены по трем ящикам.
ческаго построении. Корни уравнения вида ~з)п х=огх изображаются точками пересечении прямой у=ах кривыми р=~ Мп х, причем мы должны рассматривать только те точки пересечения, в которых с(е х<0; соответствующие участки кривых у=*а)п х изображены на рнс. 10 сплошной линией. При слишком больших и (малых (/з) таких точек пересечения вообще иет.
Первая такая точка появляегси, когда прямая учахзанимает указанное на рисунке положение, т. е. прим=2/я, и находится при х=я/2. Полагая а=а/1' 2шоз(/э, х=/га, получаем отсюда для минимальной глубины ямы, при которой появляегся первый отри- мл цательный уровень, У яз3з Пз т!и ашоз' зг 116 (гл, ш еелвненнв шгвдингвел Из изложенных в 2 22 общих соображений заранее очевидно, что спектр положительных собственных значений энергии Е будет непрерывным, а спектр отрицательных энергий— дискретным. Именно последний, отвечающий связанным состояниям электрона, н будет интересовать нас здесь.
В задачах, связанных с кулоновым полем, удобно пользоваться особыми единицами для измерения всех величин— так называемыми атомными единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выбираются соответственно т=911 10 'г, — =0,529 10 ' см, -э йэ — „=2,42 10 " сек (т — масса электрона); атомную единицу длины называют боровским радиусом. Все остальные единицы выводятсн отсюда; так, единицей энергии будет ') — =4,36 1О " эре=27 21 ее. ой йв Атомной единицей заряда является элементарный заряд е= 4,80 1О "С65Е. Переход в формулах к атомным единицам можно произвести, положив в них е=1, т=1, $=!. Уравнение (29,8) для радиальных функций имеет вид ДэК 2 ДЯ 1 (1+ 1) 2т /, хеэх — + — — — — Р+ — ( Е+ — ~Я=О, (31,2) Дгч г Дг гэ й(, или, в новых единицах, — + — — —, 0+2(Е+ — ) И=О.
(31,3) Два 2 сЯ 1(1-(- !) Г 2 Х Дгч г Дг гв Введем вместо параметра Е н переменной г новые величины (31,4) (при отрицательных Е величина и — вещественное положительное число). После этой подстановки уравнение (31,3) ') Половину этой величины ваэывэнн ридбергои (йу). 117 в 311. ДВИЖЕНИЕ В КУЛОИОВОМ ПОЛЕ принимает вид )7ы+-)7 1 ~ — +- —, 1)7=0 (31,5) 2, Г 1 и 1(1+1)1 р [ 4 р р0 откуда )7=еэр~', Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших р ведет себя как е 0!'. Ввиду этого естественно сделать подстановку )7=р'е 0~'ш(р), (31,6) после чего уравнение (31,5) приобретает вид Рв" + (21+ 2 — Р) гр'+ (а — 1 — 1) ш = О. (31,7) Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности не быстрее конечной степени р, а при р=0 должно быть конечным, Поступая в точности так, как это 'было сделано в 3 25, ищем решение в виде ряда ш= Х аер ° 5=0 (31,8) Подставив в (31,7), находим ~'„[а,з(з — 1)-1-(21-1-2)а,з) р' '-1- 0=Г + ~ [ — а,э+а,(а — 1 — 1)] р'=0 бы0 нли, заменив в первой сумме индекс суммирования э на 0+1, ы ~~.", [а,, (з.+ 1) (э+21+2)+а,(п — 1 — 1 — ВЦ р" =О.
ыо (штрихи означают дифференцирование по р). При малых р решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально р' (см. (29,16)). Для выяснения аснмптотического поведения )7 при больших р опускаем в (31,5) члены с 1/р и 1/р' и получаем уравнение 4 118 (гл. гп УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Приравняв нулю коэффициенты разложения, находим ре- куррентное соотношение п — 1 — 1 — з з (з+1) (з+2!+2)' Отсюда заключаем, что ряд (31,8) сведется к полиному (степени и — 1 — 1), если и=1+1, 1+2,...
Таким образом, число и должно бьгть целым положительным, причем при заданном 1 и )~ 1+ 1. (31,10) Вспоминая определение 131,4) параметра а, находим Е= — —,, и=1, 2, ... (31,11) Этим решается задача об определении уровней энергии дискретного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем Е,= — 112 и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением и; уровни сгущаются по мере приближения к значению Е=О, при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным.
В обычных единицах формула (31,11) имеет следующий вид '): (31,12) Целое число и называется главным кван!Новым числолг. Радиальное же квантовое число, определенное в 2 29, равно и =и — 1 — 1. г При заданном значении главного квантового числа число 1 может принимать значения 1=0,1, ...,и — 1, (31,13) всего п различных значений. В выражение (31,11) для энергии входит только число п.
Поэтому все состояния с различными 1, но одинаковыми и обладают одинаковой энергией. ') Формула (31,12) была .получена впервые Бором в 1913 г. до создания квантовой механики. В квантовой механике она была выведена Ловли (1926) матричным методом, а через несколько месяцев — Шредингером с помощью волнового уравнения.
119 двийднии в кзлоновом полк ВЗП Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу лт (как при всяком движении в центрально.симметричном поле), но и по числу(, Это последнее вырождение (о нем говорят как о случайном или кулоновозг) специфично именно для кулонового поли. Каждому данному значению 1 соотвегствуег, как мы знаем, 21+1 различных значений ги. Поэтому кратность вырождения и-го уровня энергии равна ч-! 2:,' (21+ 1) = пз. 1=о (31, 14) Мы не будем выписывать общего выражения для волновых функций электрона, а ограничимся лишь волновой функцией его основного состояния.
При а=1, 1=0 ряд (31,8) сводится к постоянной; то же самое относится н к угловой функции Г«е. Поэтому волновая функция аз!» Ф= — е л". (31,15) Она нормирована обычным условием Ю ) ) тр )з г()г = 4н ) г* ) р 1» г(г = 1. е «Размеры» атома характеризуются тем расстоянием г, на котором происходит существенное падение электронной плотности )ф)з. Для атома водорода (3=1) порядок величины этих расстояний дается как раз атомной единицей длины, как это видно из (31,15). В обычных единицах это есть боровский радиус аа —— вз/лгез. Порядок величины скорости электрона в атоме ойределяется соотношением неопределенности: гпп-Ыан, откуда о-ез)пз. Задачи а (р). =.
~ ф(г) е гз'Н)г= ~ ~«-г-гг сч«Е псоза г»Нг, ' ' (2п)«Г» и У2 о-! 1. Определить распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии атома водорода (в= 1). Р е пг е н и е. Волновая функция в р-представлении получается из (31,15) как интеграл (!2,12). Интеграл вычисляется путем перехода к сферическим координатам с пслярной осью вдоль р: м 1 120 [гл. Рм УРАВИЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В результате получим 2Р'2 1 а(р)=— л (1+ р»)а' а плотность вероятности в р-пространстве есть[а (р)['.
2. Определить средний потенциал поля, создаваемого ядром и электроном в основном состоянии атома водорода. Р е ш е н и е. Средний потевциал ~р«, создаваемый «электронны»« облаком» в произвольной точке г, проще всего определяется как сферячески-симметричное решение уравнения Пуассона с плотностью заряда р= !ф!а. ,(г — —, (гс»«) — — — — 4лр = 4е- ". г «1г' Интегрируя это уравнение, выбнра)» постоянные так, чтобы ф (О) было конечным, а»р«(о»)=0, н прибавляя потенциал поля ядра, получим ! у! = — +р,()=~ — +!) --.
г «[,г При г(<! имеем ф 1!г (поле ядра), а при г))1 потенциал»э е-э' (экраннровэнне ядра электроном). Глава !У ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ й 32. Возмущения, не зависящие от времени Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом.
Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
