1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид Й=Й,+У, где У представляет собой малую поправку (возмущение) к «невозмущенному» оператору Й,. В этом и следующем параграфах мы будем рассматривать возмущения, не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении Н»). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор У как «малый» по сравнению с оператором Й„будут выяснены ниже.
Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции»Р'„" и собственные 122 (гл. м теоеия ВозмуШеяий Требуется найти приближенные решения уравнения йф =-(Й,+Цф=Еф, (32,2) т. е. приближенные выражения для собственных функций ф„и значений Е„возмущенного оператора Й. В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственные значения оператора Й, не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать, что имеется только дискретный спектр уровней энергии.
Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию ф по функциям ф'„": (32,3) ф=~ч",с фи'. Подставляя это разложение в (32,2), получим ~я~~ ~с,„(Е„",' + Р) ф'„" ='Я с,„Е~„'",, а умножив это равенство с обеих сторон на ф»м и интегрируя, найдем (Š— Е(м)с„='ЯУ» с . (32,4) Здесь введена матрица У оператора возмущения, определенная с помощью невозмущенных функций ф)„": = ) Фам*рфй'Ф (32,5) Будем искать значения коэффициентов с и энергии Е в виде рядов Е Есэ+Ео~+Е~м+ с со~+со~ ( со~+ где величины Е"', с'и — того же порядка малости, что и значения Е'„" дискретного спектра невозмущенного оператора Н, известны, т.
е. известны точные решения уравнения Н,ча> Ее~фи> (32,1) Й 321 ВОзмущения, не зАВисящие От Вгемени 123 возмущение Р, величины Е">, см' — второго порядка малости и т. д. Определим поправки к а-му собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем с'„"=1, с""=0 (гпмнп). Для отыскания первого приближения подставим в уравнение (32,4) Е=Е'„"'+Е„'", сь — — с(И+с~"., сохранив только члены первого порядка.
Уравнение с А=и дает Е(М ~7 ') фМ~И ьф<М г(4 (32,8) Таким образом, поправка первого приближения ксобственному значению Е1м равна среднему значению возмущения в состоянии К". Уравнение (32,4) с А~и дает (32,Т) а сн1 остается произвольным и должно быть выбрано так, чтобы функция ф„=фм'+К' была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно. Для этого надо сн'=О. Дей т о, фу ц (32,8) т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии. Определим еще поправку второго приближения к собственному значению Енн.
Для этого подставим в (32,4) Е=Е7+Е"„'+Е7, СЕ==с),"+ф'+СД' и рассмотрим члены (штрих у знака суммы означает, что при суммировании по пе надо опустить член с гл=и) ортогональна к ф'„', а поэтому интеграл от !ф'„'+чг'„"1з отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости. Формула (32,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода.
Именно, должно иметь место неравенство (~/ ((() Е(0) Енм ) 124 (гл. 1у ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ второго порядка малости. Уравнение с А=п дает Е„'"с„'" = ~" ,хллс)О, я откуда ЕВЯ =„'~ ~.Ж л Ри гл (32,10) (мы подставили с",Д из (32,7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора У 'Р' „=)'"„). Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна.
Действительно, если Енн соответствует наименьшему значению, то все члены в сумме (32,10) отрицательны. Полученные результаты непосредственно обобщаюгся на случай наличия у оператора О, также и непрерывного спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру. Для состояний же непрерывного спектра вопрос об изменении уровней энергии, очевидно, вообще не возникает, и речь может идти лишь о вычислении поправок к собственным функциям.
Упомянем в этой связи случай, когда роль возмущения играет потенциальная энергия частицы, находящейся в слабом внешнем поле — в достаточно неглубокой потенциальной яме. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда просто уравнение свободного движения частицы, а уровни энергии положительны и образуют непрерывный спектр. В конце 5 24 было упомянуто, что в такой яме не существует связанных состояний, т. е. нет отрицательных уровней энергии. Действительно, при энергии Е=О невозмущенная волновая функция свободного движения сводится к постоянной: фм=сопз(. Поскольку поправками ф~"', то ясно, что возмущенная волновая функния движения в ямеф=фнн+фи> нигде не обращается в нуль.
Собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоянию (5 22). Другими словами, Е=О остается наименьшим возможным значением энергии частицы, 5 32) возмщцннин, ин зависящих от Вгемени !25 Условие применимости теории возмущений к этому случаю состоит в требовании, чтобы глубина ямы 1(г') была мала по сравнению со средней кинетической энергией, которой обладала бы частица, заключенная в объеме ямы. Согласно соотношению неопределенности, импульс такой частицы был бы р-Ь/а (где а — линейные размеры ямы); отсюда получается указанное в 3 24 условие )(г')((В'lлиз '). Задача Определить уровни энергии ангармонического линейного осцилля. тора с гамильтонианом р тюэхэ Н = — + — + ихэ+ ахи 2гл 2 Р е ш е н и е.
Матричные элементы от х' и ха можно получить непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выражение (25,4) для матричных элементов от х. Для отличных от нуля матричных элементов от хэ найдем г $ тэм (х )„-з „=(хэ) ~- = ( — ) Ргл(л — 1) (л — 2), у й т згэ Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена сект в гамильтониане (рассматриваемого как возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует.
Поправка же второго приближения от этого члена — того же порядка, что и по. правка первого приближения от члена ))ха. Диагональные матричные элементы от ха (х )п,и= ( — ) (2н'+2н+1). С помощью формул (32,6) и (32,10) находим в результате следующее приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора: Ее=Вы(л+ — ) — — — ( — ) (лэ+л+.— )+ т) Одно- или двумерной яме (в которой поле есть функция только одной илн двух координат) отвечают бесконечные в двух или в одном направлении размеры, и потому зто условие не может выполняться. С этим обстоятельством связана неприменимость теории возмущений к движению (с малой энергией) в таких ямах, а потому и неприменимость заключения об отсутствии связанных состояний.
126 теогия возмлцаний [гл. ~т $33. Секулярное уравнение Обратимся теперь к случаю, когда невозмущенный оператор Н, имеет вырожденныесобственныезначениа. Будем обозначать посредством чг"„', чг'"„"1 собственные функции, относящиеся к одному и тому же собственному значению энергии Е'„". Выбор этих функций, как мы знаем, не однозначен — вместо них можно выбрать любые з (з — кратность вырождения уровня Е7) независимых линейных комбинаций этих же функций.
Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым. Пока что будем подразумевать под ф7,ф7„... некоторые произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения— линейные комбинации вида с„"'~4" +с„"Рф„'р + ... Коэффициенты в этих комбинациях определяются (вместе с поправками первого приближения к собственным значениям) следующим образом. Выпишем уравнения (32,4) с л=п, и',..., подставив в них в первом приближении Е=Е"„>+Е7, причем для величин сд достаточно ограничиться нулевыми значениями с„=с7, с„=с'01, .:, с =О при оп, и',... Тогда получим Е~»с~м ~ р,се> л .~~ вл' л' и или Х(1/„„.— Еи>6„„.)с(о) =О, (33, 1) где л, п',...
пробегают все значения, нумерующие состояния, относящиеся к данному невозмущенному собственному значению Е"„'. Зта система однородных линейных уравнений для величин с'м имеет отличные от нуля решения прн условии обращения з нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение '17„„— Еи'6„„! = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
