1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Зто же исследование показывает, что число нулей волновой функции на конечиыз расстояниях во всей области движения в то ~ности совпадает с л. где интеграл взят по полному периоду классического движения частицы (от а к Ь и обратно). Это и есть условие, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу кванптвания Бора — Зоммер(йельда старой квантовой теории. Поскольку в квазиклассическом приближении Гз играет роль малого параметра, то выражение в левой стороне равенства (27,2) — большая величина. То же самое относится, следовательно, и к целому числу п. Фаза волновой функции (27,1) меняется от О в точке хс а до пл в точке х=Ь, так что внутри этого интервала синус обращается в нуль а — 1=и раз.
Таким образом, целое число и определяет число нулей волновой функции. Согласно осцилляционной теореме (2 22) оно тем самым играет роль квантового числа, нумерующего последовательные квантовые уровни энергии '). (гл. п1 УРЛВНЕННЕ ШРЕДИНГЕРЛ Но для классического движения производная дЕ/др есть скорость частицы и, так что ф ~ дх=$ — =Т, Поэтому получаем т я ~">' (27,4) Таким образом, расстояние между двумя соседними уровнями оказывается равным ТРы. Для целого ряда соседних уровней (разность номеров а которых мала по сравнению с самими а) соответствующие частоты Р» можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно через одинаковые интервалы Фо.
Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты а, Интересно проследить, во что переходят в классическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины 7. Для этого исходим из того, что среднее значение 7 в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти Тот факт, что квазиклассическому приближению отвечает большое значение квантового числа и, имеет простое наглядное происхождение. Очевидно, что расстояние между соседними нулями волновой функции совпадает по порядку величины с де-бройлевской длиной волны.
При больших л это расстояние мало ( (Ь вЂ” а)lп), так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения. Исходя вз правил квантования (27,3), можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть ЛЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отлнчакнцимися на единицу квантовыми числами п. Поскольку ЛЕ мало (при больших п) по сравнению с самой энергйей уровней, то на основании (27,3) можно написать Ь Е Ь ~.
Р(х =- 2лй. ~' дд й 271 пелаило квзнтоалния БОРА — зочмееаельдА 99 просто в классическое значение этой величины, если только само состояние в пределе дает движение частицы по определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой пакет (см. 2 6), получающийся суперпозицией ряда стационарных состояний с близкими значениями энергии.
Волновая функция такого состояния имеет вид Ч' = ~я~а„Ч„, П где коэффициенты а„заметно отличны от нуля только в некотором интервале Лп значений квантового числа п, таком, что 1<~бпЯп; числа и предполагаются большими соответственно квазиклассичности стационарных состояний. Среднее значение 7 равно, по определению, г' = ~ Ч~" ~Ч' дх = ~~Р~ ~Р а„"а„~,е'"' а т или, заменив суммирование по и, т суммированием по п и разности е=т — и, г = ~ч'„~ч'„а„"+,а~„+, „е'"'", где написано ы „=ее в соответствии с (27,4).
Матричные элементы 7 „, вычисленные с помощью квазиклассических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности т — п, являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа л (при заданном и — и). Ввиду этого приближенно можно написать ~р,,'~ а„'а„~ е""" = ~я~~ ) а„)е ~ 7,е'"", где введено обозначение ~г = Ь+ь тп а й есть некоторое среднее значение квантового числа в интервале Лп. Но ~я~)а„~'=1; поэтому л ~ч,ч еева (27,5) з Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Поскольку 7' должно в пределе совпадать с классической [гл. ш УРЛВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРЛ величиной ((г), то мы приходим к результату, чтоматричные элементы 7„„в пределе переходят в компоненты 7 разложения классической функции 7(«) в ряд Фурье.
Соотношение (27,3) можно истолковать еще и другим образом. Интеграл фр «(х есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плоскости !т, х — фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью 2пг» каждая, мы получим всего и клеток. Но и есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мьгможем сказать, что в квази- классическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом п!Ространетве площадью в 2пй. Иначе, число состояний, отнесенное к элементу объема Лр Лх фазового пространства, есть (27,6) 2пй Если ввести вместо импульса волновой вектор й=р4, то это число напишется как «зйбх/2п.
Оно совпадаег, как и следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (см. ! й 76). Важное понятие о «клетках» в фазовом пространстве относится не только к одномерному движению, которое мы рассматривали здесь, но и ко всякому квазиклассическому движению вообще. Это ясно из отмеченной его связи с числом собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства.
В общем случае системы с з степенями свободы на элемент объема фазового пространства приходится бд,...бд,бр,...бр, (27,7) (2з4)« квантовых состояний. В частности, всегда квазиклассично свободное движение в достаточно большом объеме пространства ь! '). Число квантовых состояний такого движения ') Везде, где понадобится вводить «нормировочный объем», мы будем обозначать его буквой»«. Это — фиктивная величина, всегда выпадающая нз окончательиык физических результатов и вводимая только для удобства рассуждений. й 281 козэрнцнянт прохождения 191 с компонентами импульса в заданных интервалах Лр„, Лрр, Лр, равно Р« Ру Р« ИЬ Л Л (27,8) (за я) з Представлением о частице, движущейся в большой, но ограниченной области пространства Й, иногда пользуются для того, чтобы заменить рассмотрение непрерывного спектра состояний рассмотрением дискретного спектра, чем достигается упрощение записи формул (мы воспользуемся таким способом во второй части этой книги).
Для движения в ограниченном объеме собственные значения компонент импульса пробегают дискретный ряд (причем интервалы между соседними значениями обратно пропорциональны линейным размерам области и стремятся к нулю при их увеличении). Плотность распределения этих значений в ряду (плотность числа состояний) определяется выражением (27,8). Нормированные волновые функции (плоские волны) стационарных состояний такого дискретного спектра имеют вид ф (г) = — е'Рг 1 Уа (27,9) (как говорят, нормировка «на 1 частицу в объеме Й»).
й 28. Коэффициент прохождения Рассмотрим одномерное движение частицы в поле изображенного на рис. 4 типа: У(х) монотонно возрастает от одного постоянного предела (0=-0 при х-+ — со) до дру- (и=и. при х+-). Соласно классической механике, ПФ частица с энергией Е<;О„дви- Ф жущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциальной стенки, отражается от нее, начиная двигаться в обратном направлении; если же Е)0„ то частица продолжает двигаться Рнс 4. в прежнем направлении с уменьшенной скоростью.
В квантовой механике возникает новое явление — даже при Е)У, частица может отразиться от 102 (гл. ш »ел«наняв ш»вдингв»л потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться, в принципе, следующим образом. Пусть частица движется слева направо. При больших положительных значениях х волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и движущуюся н положительном направлении оси х, т.
е, должна иметь следующий асимптотический вид; при х-»оо ф Ае~»а» й, = )х2т (Е У,) (28,1) Й (А — постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при х — » — оо; оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет внд при х- — оо еи,»+ Ве-'»,» й, = — Ь 2тЕ. (28,2) й Первый член соответствует падающей на «стенку» частице (предполагаем ф нормированной таким образом, чтобы коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от «стенки» частицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
