1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это свойство, однако, специфично именно для одномерного случая и не имеет места в более реальном случае трехмерной Мы не станем останавливаться здесь на определении уроаией энергии в яме произвольной глубины (7« (см. задачу 2) и разберем до конца только предельный случай бесконечно высоких стенок. При (7;».аа функция (24,3) обращается тождественно в нуль: естественно, что частица вообще не может проникнуть в область, где потенциальная энергия бесконечна. Таким образом„надо найти решение уравнения (22,1) с граничным условием ф=О при х=О, а. [гл. ш УРАВНПНИВ ШРИДННГВРЛ потенциальной ямы; если глубина [()! такой ямы )()! < — „.
.. йз (24,9) (где а — порядок величины линейных размеров ямы), то в ией нет ни одного дискретного уровня энергии. Другнмн словами, если яма недостаточно глубока, то в ней нег связанных состояний — частица не может «захватитьсяз ямой. Подчеркнем, что это свойство имеет чисто квантовый характер, в классической механике частица может совершать финитное движение в любой потенциальной яме.
Происхождение этого свойства будет' пояснено в $32 (а в задаче [ 2 30 оно будет показано путем прямого расчета для частного случая сферически-симметричной ямы). Задачи !. Определить распределение вероятностей различных значений импульса для нормального состояния одномерного движения частицы. находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Р еш е ни е. Вероятность значений импульса р в интервале р(р есть [а(р)[рар, где а (р) дается, в одномерном случае, выражением р 1 à — зх а(р)= .— ) тр (х) " ах — — ) р о (ср.
(!2, !2)). Подставив сюда тур(х) из (24,8) и вычислив интеграл, получим искомое распределение вероятностей: 4лйза, ра 2. Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной на рис. 2. Р е ш е н и е. Условие (24,4) на границах ямы дает уравнения Л Сгй Ь = — й С1я (ай+ а) = И м Зà — ()р / 2гл или з!и 6 = — з! и (да + а) = йл 2 24) потннцнлльнля яма Исключив б, получим трансцендентное уравнение Ю Аа=(а+1) л — 2 агсып р'2аи, (где а=О, 1, 2,..., а значения агсз!и берутся между 0 и л/2). Корни этого уравнения определяют уровни энергии Е=ВФ/2т. Значения и нумеруют уровни в порядке их возрастания.
Число уровней (при конечном (7«) конечно. Уравнение (1) можно написать в более удобном виде, введя переменнун) ч и параметр у согласно Да 7! / 2 $= —. у= — у —. ж(/о При четном и получим уравнение созй=~ 7$, (2) причем должны браться те его корни, для которых 1я в~О. При нечетном и получим уравнение 81п » = *уч, (3) причем надо брать корни, для которых 1я 4(0. В частности, для неглубокой ямы, в которой (/о((а»/та», имеем у>)1, и уравнение (3) ие имеет корней вовсе. Уравнение же (2) имеет один корень (при знаке + в правой части), равный 1( 1) Таким образом, в этом случае в яме имеется всего один уровень .
2$Ф та» й = — и,— — (,» о та» 2$» о» расположенный вблизи ее «верха». 3. Определить уровни энергии частицы, движущейся в прямоугольном «потенциальном ящике» с длинами ребер а. Ь, с: (1=0 внутри этой области и (1=оо вне ее. Р е ш е н и е. Свободное движение частицы внутри ящика происходит независимо в трех направлениях. Поэтому уровни энергии даются просто суммами трех выражений вида (24,7)! а», п„п»=!, 2, Интервалы между уровнями стремятся к нулю при увеличении размеров ящика. Волновые функции стационарных состояний тг 8 .
лигх . лп,у, лл,х 3!а — 5!и — 3!и — ' з(м а Ь с где оси х, у, х направлены вдоль трех ребер ящика, (гл, ш ггавиеипе шеедиигегл й 25. Линейный осциллятор Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые колебания (так называемый линейный ос<(идлятор). Потенциальная энергия такой частицы равна пыл<ха!2, где <и— в классической механике собственная частота колебаний (сл<. 1 2 53). Соответственно этому гал<нльтониан осцилля- тора р <вы<ха Н= — + —. 2т 2 (25,!) Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при х- ~со, то частица может совершать лишь финитное движение. Б соответствии с этим весь спектр собственных значений энергии будет дискретным. Определим уровни энергии осцнллятора матричным методом ').
Будем исходить нз «уравнений движенияа в форме (21,2); в данном случае онн дают х+ <вах:= О. (25,2) (<в„'„— е<') х „=О, Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы х„„„за исключением тех, для которых <й„,„=~<о. Пронумеруем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты ~<в соответствовали переходам п-<.п+-1, т. е. <оа,я<=~<в. Тогда отличными от нуля матричными элемсйтами будут лишь х„,„,, Будем предполагать, что волновые функции фв выбраны вещественными.
Поскольку х есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы х„.. Условие эрмнтовости (11,10) приводит теперь к равенству х„в=х„, т. е. матрица х „симметрична. О это было сделано гейаенбереии (! 925) еще до открытия шредиигерси волнового урввиеиия.
В матричном виде это уравнение гласит (х) „-( <ввх „=О. Для матричных элементов ускорения имеем, согласно (11,8), (х) л» =<<выл (х)та = <еивхви. Поэтому получаем $251 линейный осциллятог Для вычисления отличных от нуля матричных элементов координаты воспользуемся правилом коммутации . Ь хх — хх= — (в е ' написав его в матричном виде: (хх) „— (хх) „= — — '6,„„. С помощью правила умножения матриц (11,12) имеем отсюда для т=п . А 1~я ,'(ы„,хечх„,— хим„,х,„) = 21~ меих'„~ = — 1 —.
В этой сумме отличны от нуля только члены с 1=и~1, так что получаем (х„+, „)' — (х„„,)* =— й (25,3) Из этого равенства заключаем, что величины (х„„„)' образуют арифметическую прогрессию, не ограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содержаться только положительные члены. Поскольку мы пока установили только относительное расположение номеров состояний и, но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно выбрать значение п, соответствующее первому — нормальному — состоянию осциллятора. Положим его равным нулю.
Соответственно этому х„ надо считать тождественно равным нулю, и последовательное применение уравнений (25,3) с п=0, 1, 2,... приводит к результату Таким образом, окончательно получаем следующее'выражение для отличных от нуля матричных элементов координаты: ./.а (25,4) Матрица опсратора Й диагональна и матричные элементы Н,„представляют собой искомые собственные значения йо (гл. ш УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА энергии Е„ осциллятора. Для их вычисления пишем Н„„= Е.„=- — 1(хн)В„+ ы' (х')„,1 = В сумме по 1 отличны от нуля только члены с 1=а.+1; подставляя (25,4), получаем Е„=(п+ — )без, и=О, 1,2, ... (255) 1х Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы Ьсо.
Энергия нормального состояния (а=О) равна йм!2; подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля. Результат (25,5) можно получить и путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид — ~+ — (Š— ' ) ф=О. (25,6) Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную переменную $ согласно соотношению $'= ~/ — х. (25,7) Тогда получим уравнение (25,8) (здесь штрих означает дифференцирование по $). При больших $ можно опустить 2ЕЬа по сравнению с ее; уравнение ф"=$-'ф имеет асимптотические интегралы Ф=еэече (дифференцирование этой функции действительно дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по $, ф"=$'ф).
Г!оскольку волновая функция ф должна оставаться при ~=~со конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать $251 линейный осциллятое в уравнении (25,8) подстановку ф=е нг')(($). Для функции )(($) получаем уравнение )(" — 2$)('+ 2а)( = О, (25,9) (25,10) где обозначено — — 1=2п. 2Е Йв Функция т ($) должна быть конечной при всех конечных $, а при $-О-~ОО может обращаться в бесконечность не быстрее конечной степени $ (так, чтобы функция ф обращалась в нуль). Будем искать решение уравнения (25,10) в виде ряда Х= ~ а,й*. (25,11) в=О Подставив его в уравнение, получим Р й Ф ~~.", ал (з — 1) с'-' — 2,'~,' а,4'+2п ~ аД' = О. О=О з=О я=О В первой сумме произведем переобозначение индекса суммирования, заменив з на э+2.
Тогда Ф ,~', (а,+, (э+ 1) (е + 2) + 2 (п — э) а,] ~' = О. Для тождественного выполнения этого равенства должны обращаться в нуль коэффициенты при каждой из степеней $. Отсюда находим рекуррентное соотношение 2 (Л вЂ” 5) о~+ Π— (О + 1) (О+ 2) п~' (25,12) связывающее коэффициенты последовательных членов в ряде (25,11). Мы видим, прежде всего, что ряд содержит степени $ одинаковой четности. Для того чтобы выполнялось поставленное выше условие, этот ряд должен содержать лишь члены конечных степеней, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
