1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Его общее решение имеет внд й= — „Р 2тЕ, ф- а,ег""+ а,е-"", (22,4) т. е. представляет собой суперпозицяю двух плоских воли, отвечающих движению вправо или влево вдоль оси х. Каждый уровень энергии здесь двукратно вырожден, соотвгчственно двум возможностям движения в противоположных направлениях, й 22] ОБщие ОВОйстВА Рен1ений УРАВнениЯ ш»едингеРА 81 Для энергий же Е(0 из двух независимых решений дифференциального уравнения второго порядка (22,2) оказывается допустимым лишь одно, удовлетворяющее граничным условиям: при х- ~О« волновая функция финнтного движения должна стремиться к нулю. На больших расстояниях мы снова приходим к уравнению (22,3), но его решение имеет асимптотическнй внд: ф=--соп»1 е"-"* прн х ~ Оо (н= — )' 2т~ Е~), (22,5) б ) ф* ( Р1 — Е) ф й) = О. (22,6) Ввиду комплексности ф варьирование по ф и ф«можно т.
е. экспоненцнально затухает вглубь классически недоступной области (второе же решение уравнения (22,3) неограниченно возрастает при х — »~-ао), Если говорить лишь о фнннтном или инфннитном характере движения, то для поля рассмотренного типа (рис. 1, а)- обе возможности осуществляются в классической н квантовой механике в одинаковых случаях (соответственно при Е(0 и Е)0). Это, однако, будет уже не так в поле, изображенном на рнс, !, б, где потенциальная яма окружена еще «потенцнальным барьером» конечной высоты (у,.
Движение при Е(0 будет здесь по-прежнему финитным. В классической механике оно было бы финитным для движения внутри ямы также и для энергий 0(Е((1,. В квантовой же механике движение будет ннфннитным при всех энергиях Е=.Π— как выше, так и ниже высоты потепциальиога барьера, Частица (с Е)0), находящаяся в некоторый момепт времени «внутри ямы», может в дальнейшем «пройти сквозь барьер» и оказаться вне пределов ямы. Таким образом, квантовая механика допускает инфинитное движение частиц в условиях, когда в классической механике оно было бы исключено. Природа этого явления прохождения через барьер (которое будет еще рассмотрено подробнее в 6 28) связана с упомянутым выше обстоятельством, что волновая функция не обращается строго в нуль внутри классически недоступных областей движения. Уравнение Шредингера в общем виде Йф--Е«р мажет быть получено нз вариационного ппинпипа [гл.
ш уелэнениа шгадингаел производить независимо. Варьируя по ф~, имеем ) бфР(Й вЂ” Е) ф Од =О, откуда, ввиду произвольности бф', получаем искомое уравнение Нф=Еф. Варьирование по ф не дает ничего нового: оно приведет лишь к комплексно сопряженному уравнению Й*ф* = Еф*. Методами вариационного исчисления может быть доказан ряд важных теорем об общих свойствах волновых функций стационарных состояний частицы.
Волновая функция ф, ноомального состояния не обращается в нуль (или, как говорят, не имеет узлов) ни при каких конечных значениях координат. Другими словами, она имеет одинаковый знак во всем пространстве. Отсюда следует, что волновые функции ф„(п)0) других стационарных состояний, ортогональные к $„непременно имеют узловые точки (если ф„— тоже постоянного знака, то интеграл ) ф,ф„~йг не может обратиться в нуль).
Далее из факта отсутствия узлов у ф, следует, что нормальный энергетический уровень не может быть вырожденным. Действительно, предположим противное„и пусть ф„Ф; — две различные собственные функции, соответствующие уровню Е,. Всякая линейная комбинация сфр+с'ф; тоже будет собственной функцией„по, выбирая соответствующим образом постоянные с, с', всегда можно добиться обращения этой функции в нуль в любой заданной точке пространства, т. е.
получить собственную функцию с узлами. Для одномерного движения справедлива н более далеко идущая так называемая оецилляционная пморема: волновая функция ф„(х) дискретного спектра, соответствующая (и+1)-му цо величине собственному значению Е„, обращается в нуль (при конечных значениях х) п раз. й 23. Обращение времени Уравнение Шредингера для волновых функций стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия — вещественны. Поэтому его решения ф всегда могут быть выбраны вещественными. При этом собственные функции невырожденных уровней энергии оказываются 83 $ 231 .ОВРЛ$ЦЕННЕ ВРЕМЕНИ вещественными (с точностью до несущественного фазового множителя) автоматически. В самом деле, фв удовлетворяют тому же уравнению, что н ф, н потому тоже есть собственная функция дзя того же значения энергии; поэтому, если это значение не вырождено, то ф и ф' должны быть по существу одинаковы, т.
е. могут отличаться лишь постоянным фазовым множителем. Волновые же функции, отвечающие одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем надлежащего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций. Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ч' определяются уравнением, в коэффициенты которого входит 1. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить 1на — 1и одновременно перейти к комплексно сопряженному. Поэтому можно всегда выбрать функции Ч' такими, чтобы Ч' и Ч'* отличались только знаком у времени — результат, известный нам уже из формул (10, 1), (10, 3). Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т, е. при изменении его анака. В квантовой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака 1 и одновременной замене Ч' на Ч'".
Подчеркнем, однако, что эта симметрия относится здесь только к волновому уравнению. Она не относится к самому процессу измерения, играющему в квантовой механике фундаментальную роль. Этот процесс имеет в квантовой механике «двуликий» характер — его роли по отношению к прошлому и будущему различны. По отношению к прошлому он подтверждает вероятности различных возможных результатов, предсказываемых по состоянию, созданному предыдущим измерением. По отношению же к будущему он создает новое состояние (мы вернемся еще к этому в 3 37).
В самой природе квантовомеханического процесса измерения заложена, таким образом, глубокая необратимость. Эта необратимость имеет важное принципиальное значение. Хотя основные уравнения квантовой механики сами по себе обладают симметрией по отношению к изменению знака времени (в этом отношении квантовая механика не (гл. ш гелвнвнив шевдннгвгл отличается от классической), но необратимость процесса измерения вносит в квантовые явления физическую неэквивалентность обоих направлений времени, т.
е. приводит к появлению различия между будущим и прошедшим. $24. Потенциальная яма В качестве простого примера одномерного движения рассмотрим движение в прямоугольной потенциальной яме, изображенной на рис. 2 (здесь будет удобнее отсчитывать энергию от дна ямы, а не от значения потенциальной энер- гии на бесконечности). Нас гчв1 будут интересовать состояния финитного движения, относящиеся к дискретному спектру энергий 0(Е(У,. В области 0(х(а имеем уравнение Шредингера ф+Аф О, (24,1) Рвс. 2.
1 И= — 7 2тЕ й (штрих означает дифференцирование по х), а в области вне ямы ф" — х'ф = О, х = — У2т (У вЂ” Е). (24,2) й о 1)ри х=О и х — а решения этих уравнений должны быть асшиты» друг с другом так, чтобы были непрерывны ф и ф'. Обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (24,2) есть (24,3) '(знаки — и + в показателе относятся соответственно к областям х)а и х(0). Вместо непрерывности ф и ф' на границах ямы удобно потребовать непрерывность ф и логарифмической производной ф'!ф. Учитывая (24,3), получим граничное условие в виде — = -1- х.
(24, 4) '85 $ 24) потенцнлльнля ямх (24,5) Ищем такое решение в виде «стоячей волны» ф=сз!п(йх+б). (24,6) Условие ф=О при х=О дает 6=0, после чего условие прн х=-а дает з(ила=О, откуда ла=п(п+ 1), где п=О, 1, 2,... Таким образом, уровни энергии частицы в яме п«а» Е„= — '»(я+1)', п=О, 1,2, ... (24,7) В частности, энергия основного состояния: Е«=яЮ2та».
Отметим, что этот результат находится в соответствии с соотношением неопределенности: при неопределенности координаты -а неопределенность импульса, а с нею и порядок величины самого импульса -Й/а; соответствующая энергия (Ыа)»(т. Нормированные волновые функции стационарных со- стояний / 2 . н(и+1)х ф= », — з)п «)' а а (24,81 В соответствии с осцилляционной теоремой функция ф,(х) обращается в нуль внутри 'области движения л раз (сами границы этой области — в данном случае точки х=О и х=а — прн применении осцилляционной теоремы из подсчета числа нулей исключаются). В одномерной потенциальной яме любой формы всегда имеется по крайней мере один уровень энергии, — даже если глубина ямы очень мала (см., например, задачу 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
