1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Формулы (12,11 — 12) определяют связь между волновыми функциями в обоях представлениях. т) условный смысл этого равенства состоит в том, ~!то интеграл, стоящий в его левой стороне, обладает всеми свойствамн, присущими 6-фуннции. При и=О интеграл расходится, а при и40 — обращается в нуль нак интеграл от периодической знанопеременной функции. Проинтегрировав этот интеграл еще раз пода по интервалу от некоторо!о — Ь до т6 (вял!оча!ощему в себя точку и=О), получим а г. Ю м с ! Г Мпйх ! С мп-" ",~х с е!«л„= ~г ' Ет = ~ — ьий 2л,),) л,) х " л м — ь О 50 ВАкОны сОхРАнениЯ В кВАнтОВОЙ механике [Гл.
и В !3. Соотношения неопределенности Выведем правила коммутации между операторами импульса и координат. Поскольку результат последовательного дифференцирования по одной из переменных х, у, г и умножения на другую из них не зависит от порядка этих операций, то р у — ур„= О, р„г — гр„= О (13,1) и аналогично для р„, р,.
Для вывода правила коммутации р, с х пишем дф (р„х — хр„) ф — — Й вЂ” фхтр) -[- Йх — = — Ж ф. Мы видим, что результат воздействия оператора р х — хр„ сводится к умножению функции на — [га; то же самое относится, конечно, к коммутации р„с у и р, с г. Таким образом, имеем ') з р„х — хр„= — Ш, р у — ур = — [й, р,г — гр, = — [гг.
(13,2) Соотношения (13,1 — 2) показывают, что координата частицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям; координата же и компонента импульса вдоль одной и той же оси не существуют одновременно. В частности, частица не может находиться в определенной точке пространства и в то же время иметь определенный импульс р. Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка величины Ьх, Лу, Лг. Пусть, далее, среднее значение импульса частицы есть р,.
Математически это ОЗНаЧаЕт, ЧтО ВОЛНОВая фуНКцИя ИМЕЕТ Внд ф=и(Г)г'Рггт", где и(г) — функция, заметно отличная от нуля только в указанной области пространства. Разложим функцию ф по собственным функциям оператора импульса (т. е. в интеграл Фурье). Коэффициенты а(р) этого разложения определяются интегралами (12,12) от ') Эти соотношения, открытые в матричной форме Гегтзгнбергом в 1925 г., послужидн отправной точкой в создании современной нвантовой механики. й 14! момент импгльсл функций вида и(г)ечг †". Для тога чтобы такой интеграл был заметно отличен от нуля, периоды осциллирующего множителя ечэ -юо" должны быть не малыми по сравнению с размерами Лх, Лу, Лгобласти„в которой отлична от нуля функция и (г).
Зто значит, что а (р) будет заметно отличным от нуля лишь для значений р таких, что (р„— р )Лх4(1, ... Поскольку !и(р)!' определяет вероятность различных значений импульса, та интервалы значений р„, р„, р„в котарых а (р) отлично от нуля,— не что иное, как те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состоянии. Обозначая эти интервалы посредством Лр„, Лр„, Лр, имеем, таким образом, Лр„Лх $, Лр, Лу - Й, Лр, Лг — $.
(1З,З) Зти соотношения (так называемые соотношения неопределенности) были установлены Гейзенбергом (!927). Мы видим, что чем с большей точностью известна координата частицы (т. е, чем меньше Лх), тем больше неопределенность Лр„в значении компоненты импульса вдоль той же оси, и наоборот. В частности, если частица находится в некоторой строго определенной точке пространства (Лх= =Лу=Лг=О), то Лр„=Лрг — — Лр,=со. Зто значит, что все значения импульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет строго определенный импульс р, то равновероятны все ее положения в пространстве (зто видно и непосредственно из волновой функции (12,7), квадрат модуля которой не зависит вовсе от координат). й 14.
Момент импульса В й 12 при выводе закона сохранения импульса мы воспользовались однородностью пространства по отношению к замкнутой системе частиц. Наряду с однородностью пространство обладает также и свойством изатропии — все направления в нем эквивалентны. Поэтому гамильтониан замкнутой системы должен не меняться при повороте всей системы как целого на произвольный угол вокруг произвольной оси. Ластаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого поворота. Пусть б~р есть вектор бесконечно малага поворота, равный по величине углу б~р поворота и направленный по оси, вокруг которой производится поворот.
Изменения бг„ 52 злконы сОхРАнениЯ В кВАнтОВОЙ меххнике [Гл, и (радиус-векторов частиц г,) прн таком повороте равны бг,= [йр г,] (см. 199). Произвольная функция ф(г„га, ...) при этом преобразовании переходит в функцию Ф (г, + бг, г, +бг, ...) = ф (г„г,„...) +Р~бг 7 аР = а — 1+б~р,~~[г, р,]) ф(г„г,„...).
( а Выражение 1+6ГрХ [г, Р,] (14,1) а, можно рассматривать как «оператор бесконечно малого поворота». Тот факт, что бесконечно малый поворот не меняет гамильтониан системы, выражается коммутативностью Оператора поворота с оператором Й. Поскольку 6Гр есть постоянный вектор, то это условие сводится к соотношению (Х [Га па] ) О Н (Х [тапа]) = [1' (14,2) выражающему собой некоторый закон сохранения.
Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства изотропни пространства, есть момент импульса системы (ср. 15 9). Таким образом, оператор ~ч~ [г, 7,] должен соответствовать (с точностью до постоянного множителя) полному моменту импульса движения системы, а каждый из членов суммы [г,7,! — моменту отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности должен быть положен равным — [й; тогда выражение для оператора момента частицы — [л[гй=[гр! будет в точности соответствовать обычному классическому выражению [гр!.
В дальнейшем мы будем всегда пользоваться моментом, измеренным в единицах Ь. Оператор определенного таким образом момента отдельной частицы мы будем обозначать посредством 1, а момента всей системы — посредством [.. Таким образом, оператор момента частицы й[=[ТР] = — [й[гр] нли в компонентах Й„=ур, †дарг, $1, = гр„ — хр~ л[а=хр„ — ур„. (14,3) % 141 МОМЕНТ НМПУЛЪСА Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импульса в общем случае ие сохраняется. Однако сохранение момента все же может иметь место при определенной симметрии поля. Так, если система находится в центрально- симметричном поле, то все направления в пространстве, исходящие из центра, зхвивалентны, и потому будет сохраняться момент количества движения относительно зтого центра.
Аналогично в аксиально-симметричном поле сохраняется составляющая момента вдоль оси симметрии. Все зти законы сохранения, имеющие место в классической механике, остаются в силе и в квантовой механике. Выясним правила коммутации операторов момента с операторами координат и импульсов. Имеем, например, Е Е 1ху — у1 = — (ур,— гр ) у — — у(ур,— гр„)хх Е = — — г(р„у — ур„)= Ег. Таким же образом находим другие соотношения: 1хх — хХ, = О, Е„у — у1„= Ег, 1кг — гХ„= — Еу, (14,4) и еще две тройки таких равенств, получающихся из написанных циклической перестановкой координат (и индексов) х, у, г. Легко убедиться, что такие же правила имеют место для операторов момента и импульса: ЕМРх — Рх( =О, Е,Р— РУХ„=ЕР„ С помощью зтих формул легко найти правила коммутации для операторов 1„, 1у, Е, друг с другом.
Имеем Й(Х„ХУ вЂ” ХУЕ ) =1х(грх — хр,) — (грх — хр„) 1ххх = (Ххг г(х) Рк х (Хкрк Рк(к) = ЕУРх+ ЕхРу = Ей"'Ек Таким образом, ХУЕ,— Хк(у — — ЕЕх Хк(к — Ех(к= ЕХ ~ ЕкŠ— Ху(х= ЕХк. (14~6) В точности такие же соотношения имеют место и для операто- ров Х„Х.у, Е, полного момента системы. Действительно, 54 законы сохглнания в квантовой иахлняке [гл. и поскольку операторы моментов различных частиц комму- тативны, то, например, ,Д, ~(„— Х1„~~,'„1„=~~'., (1, 1„,— („1 „) = (~~Р~(,„. О Таким образом, ЕаЕР— ЕАЦ= 8ЕХ, ЕАК вЂ” ЕМУ вЂ” — 8Е», ЕХЕР— ЕНЕХ= ~ЕЕ. (14,7) Соотношения (14,?) показывают, что три компоненты момента ие могут одновременно иметь определенные зна- чения (эа исключением только случая, когда все три ком- поненты одновременно равны нулю — см.
ниже). В этом отношении момент существенно отличается от импульса, у которого три компоненты одновременно измеримы. Из операторов Е„, Е„, Е, составим оператор квадрата абсолютной величины вектора момента: Е'=.1.„'+ Е;+ Е*.. каждым из операторов Е„ Этот оператор коммутативен с Е„, Е,: Е'ń— Е,$. =О, 1.'Е, — Е, (,ЗЕР— Еу).В = О, Е'=О. (14,9) Лействнтельио, используя (!4,7), имеем, например Е„Е, — Е, Ц =Е„(Е„Е,— Е, Е„) + +(Е Е„Е,Е,)Е„= — ((Е„Е,+Е,Е„), Складывая этн равенства, получим последнее из соотношений (14,9). Физически соотношения (14,9) означают, что квадрат момента (т.
е. его абсолютная величина) мажет иметь определенное значение одновременно с одной из его составляюшнх. Вместо операторов Е„Ет часто бывает удобнее пользаваться их комплексными комбинациями Е+ — Е„+. (Е, Е =(,— (Е,. (14,1О) $ 151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕННЯ МОМЕНТА Легко убедиться прямым вычислением с полшщью (14 У), что для этих комбинаций справедливы следующие правила коммутации: (.,(. — 1. (.~ = 25„ [..Й вЂ” 1.,1.,=(.м (.,1. — ЙЛ,,= — 5 . (14,11) Нетрудно также проверить, что 1.' =(.Л, +А;+А,.
(14, 12) Наконец, выпишем часто используемые выражения для оператора момента отдельной частицы в сферических координатах. Вводя последние согласно обычным соотношениям хе гз(пбсозя~, у=гз)п8з)пя~, гн гсозй, получим после простого вычисления следующие выражения: 1,= — 1 —, (14,13) 1.=е нн ~~ — +(стаей — ), д, дт д9 де ) ' (14,14) Подставив их в (14,!2), получим оператор квадрата момента частицы в виде Г 1 д1 1 д г. 9~1 1*= — ~ —. — + —.
— ~з!п 6 —.)1. (14,15) 1янА6 дее ана да ( 66)1" Обратим внимание на то, что это есть (с точностью до мно. жителя) угловая часть оператора Лапласа. й 15. Собственные значения момента Для определения собственных значений проекции момента импульса частицы на некоторое направление удобно воспользоваться выражением для ее оператора в сферических координатах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления.
Согласно формуле (14,13) уравнение (,ф=1,ф запишется в виде да г (15,1) Его решение ф=)'(г,й) еч т, 56 злкоиы сохвлнеипи В квлнтопой механики [Гч. и где 1(г, 6) — произвольная функция от г и О. Для того чтобы функция яр была однозначной, необходимо, чтобы она была периодична по ер с периодом 2я. Отсюда находим ') [,=т, пт=-0, ~ 1, ~2, ...
(15,2) Таким образом, собственные значения [, равны положительным и отрицательным целым числам, включая нуль. Зависящий От тр множитель, характерный для собственных функций оператора [„обозначим посредством Ф (р) = и'"'. Эти функции нормированы так, что зп ~ Ф" (ср) Ф (чз) с[тр = б (! 5,4) о Собственные значения г-компоненты полного момента системы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным целым числам: Ь,=М, М =-О, ~ 1, ~ 2, ... (!5,5) (это следует из того, что оператор Е, есть сумма коммутативных друг с другом операторов [„для отдельных частиц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
