1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 8
Текст из файла (страница 8)
как о магпричпом элементе, соответствующем переходу из состояния гп в состояние и '). Для матричных элементов 1, применяется также обо- значение 1!1 мхтеицы еизическик величия 43 или (сокращая с обеих сторон временнбй множитель е' ° ') для не зависящих от времени матричных элементов (1 )„„= (ь»„„1,„= — „(ń— Е„) 1„. В целях упрошения обозначений в формулах мы выводим ниже все соотношения для не зависящих от времени матричных элементов; в точности такие же соотношения имеют место и для зависящих от времени матриц. Для матричных элементов комплексно сопряженной с Г" величины ~* с учетом определения сопряженного оператора получим У'). =~ КГФ И=~Ф."ГФ 4)=~Ф )"Ф. "й) (1*).
=И .)' т. е. (П,9) Для вещественных физических величин, которые мы обычно только и рассматриваем, имеем, следовательно, 1. =1'. (11,10) (1' „стоит вместо () „)*). Такие матрицы, как и соответствующие им операторы, называют эрмитовыми, Матричные элементы с л=т называют диагональными.
Эти элементы вообще не зависят от времени, а из (11,10) ясно, что оии вещественны. Элемент г„„представляет собой среднее значение величины 1 в состоянии Ф„. Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого заметим предварительно, что имеет место формула И»=Х)..Ф.. (11,11) Это есть не что иное, как рззложеяие функции гф„по функциям Ф с коэффициентами, определяемыми согласно общему правилу (3,14). Имея в виду эту формулу, пишем для результата воздействия на функцию Ф„произведения двух операторов )й Ф»=1Х й»»Ф» =",й»„1 Ф» = Х й»А.»Ф Поскольку, с другой стороны, должно быть 1аФ„=- Х ((й)„»Ф 44 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИИ В КВАНТОНОЙ МЕХАНИКИ (ГЛ. Н то мы приходим к результату, что матричные элементы произведения )й определяются формулой ((й)..
=- )' (. а.. (11,12) Это правило совпадает с принятым в математике правилом перемножения матриц: строки первой в произведении матрицы перемножаются со столбцами второй. Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора. В частности, зздание матрицы дает, принципиально, возможность определить собственные значения данной физической величины и соответствующие им собственные функции.
Будем рассматривать значения всех величин в некоторый определенный момент времени и разложим произвольную волновую функцию Ч' (в этот момент времени) по собственным функциям гамильтониана, т. е. по не зависящим от времени волновым функциям ф стационарных состояний: (11,И) где коэффициенты разложения обозначены как с . Подставим это разложение в уравнение гЧ"=)Ч', определяющее собственные значения и собственные функции величины ). Имеем ~~'„, с ((1р ) = ( А., с фм . Умножим это уравнение с обеих сторон на ф„' и проинтегрируем по1й). Кюкдый из интегралов ~ 1р„')1р й) влевойстороне равенстваесть соответствующий матричный элемент ),„,. В правой же стороне все интегралы ~ ф„"ф„1(д с т~=п исчезают в силу ортогональности функций ф,„, а интегралы с т = и равны 1 в силу нормировки функпнй; таким образом, ~ )...„с,„= )с„ илн ~~'. (/'„— Я„„,) с,„= О.
(11,14) 111 матгнцы Физических Величин 45 Таким образом, мы получили систему алгебраических однородных уравнений первой степени (с неизвестными с ). Как известно, такая система обладает отличными от нуля решениями лишь при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов в уравнениях, т. е. при условии ))„— (6„! =О. Корни этого уравнения (в котором у рассматривается как неизвестное) и представляют собой возможные значения величины ). Совокупность же величин с, удовлетворяющих уравнениям (11,14) с 1, равным какому-либо из этих значений, определяетсоответствующую собственную функцию. Если в определении (11,6) матричных элементов величины ( взять в качестве ф„собственные функции этой же величины, то в силу уравнения )ЧР„=(„ф„будем иметь )-= ') тф.йу=-).()ф:ф.
и В силу ортогональности и нормировки функций ф это дает 1„=-0 при ИФлг и ( =-( . Таким образом, оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы, причем каждый из них равен соответствующему собственному значению величины 1; о матрице, у которой отличны от нуля эти элементы, говорят как о приведенной к диагональному виду. В частности, в обычном представлении (с волновыми функциями стационарных состояний в качестве функций ф ) диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других физических величин, которые имеют в стационарных состояниях определенные значения). Вообще, о матрице величины (, определенной с помощью собственных функций некоторого оператора д, говорят как о матрице( в представлении, в котором ддиагонально.
Везде, где это не оговорено особо, под матрицей физической величины мы будем в дальнейшем понимать матрицу в обычном представлении, в котором диагональна энергия. Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, относится, разумеется, только к этому обычному представлению '). г) Имея в виду диагональность матрицы анергнн, легко убедиться атом, что равенство (11,8) есть написанное в матричном виде операторное соотношение (9,2). 4!Т 3АкОны сОхРАнениЯ В кВАнтОВОЙ механике 1!'л. и 2 12. Импульс Рассмотрим замкнутую систему частиц. Поскольку все положения такой системы как целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтоннан системы не изменится при параллельном переносе системы на произвольное расстояние. достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смещения.
Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние бг означает преобразование, при котором радиус- векторы г, всех частиц (а — номер частицы) получают одинаковое приращение бг: г, г,+бг. Произвольная функция ф(г„ г„ ...) координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию ф (г, -1- бг, г, + бг, ...) = ф (г„г„...
) + бг „~~ у,ф = а = (1+ бг ~ 7 ) ф (г„г„... ) а (7,— оператор дифференцирования по г,). Выражение 1+ бг~~ру (12,1) а можно рассматривать как оператор бесконечно малого переноса, переводящий функцию ф(г„г„...) в функцию ф(гТ+бг, г,+бг, ...), Утверждение, что некоторое преобразование не меняет гамильтониана, означает, что если произвести это преобразование над функцией Йтр, то результат будет таким же, как если произвести его только над функцией ф и лишь затем применить к ней оператор Й.
Математически это может быть записано следующим образом. Пусть О есть оператор, производящий рассматриваемое преобразование. Тогда имеем 0 (Й!Г)= тт' (Оф), откуда ОЙ-~УО = б, (12,2) т. е. гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О. 12) 47 импульс В данном случае оператором О является оператор бесконечно малого переноса (12,1). Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще оператором, а постоянный множитель бг может быть вынесен из-под знака Й, то условие (12,2) сводится здесь к условию (Х р,~ Й вЂ” Й (~л~ ~р,) = О. (12,3) Как мы уже знаем, коммутатнвность оператора (не содержащего времени явно) с Н означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохраняется.
Но величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс системы (ср. 1 э 7). Таким образом, соотношение (12,3) выражает собой закон сохранения импульса в квантовой механике; оператор ~хр, должен соответствовать (с точностью до постоянного множителя) полному импульсу системы, а каждый из членов суммы у', — импульсу отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности между оператором импульса частицы р и оператором у может быть определен с помощью предельного перехода к классической механике. Написав р=сч и воспользовавшись предельным выражением (б,1) для волновой функции, имеем — 5 рЧ' = — сае" р5= с — Ч"р5, Х ь т.
е. в классическом приближении действие оператора р сводится к умножению на 1с75/Ь. Градиент 75 есть импульс р частицы (см. 1 2 31); поэтому должно быть с= — 1й. Таким образом, оператор импульса частицы р= — гйч или в компонентах д " . д " . д р — (п —, р = — 1Ь вЂ”, р = — 13 †. (12,4) х дх' У ду' х дх' Легко убедиться в там, что эти операторы, как и должно быть, эрмнтавы.
Действительно, для произвольных функций ф(х) и ф(х), обращающихся на бесконечности в нуль, 48 зАкОны сОхРАнения В кВАнтОВОЙ мехАнике (гл. и имеем ~фр„фбх= — Ж~~р — 'Их=а ~ф — ' (х= ~фр„срйх, Р„р — р р„=О, р„р,— р,р„=О, р„р,— р,р,= О, (12,5) Это значит, что все трн компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения. Найдем собственные функции и собственные значения операторов импульса.
Они определяются векторным урав- нением — (гг у ф = рф. (12,6) Его решения имеют внд — рг ф=СВ" (12,7) (С вЂ” постоянная). Одновременное задание всех трех компонент импульса полностью определяет, как мы видим, волновую функцию частицы. Другими словами, величины р„р„, р, составляют один из возможных полных наборов физических величин, Их собственные значения образуют непрерывный спектр„простираюгдийся от — ао до +оо, Согласно правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра (5„4) должно быть ) фртррЛг=-6(р' — р), (12,8) где интегрирование производится по всему пространству Ы)г=г(хт(ут(г), а 6(р' — р) — трехмерная 6-функция '). ') Напомннм, ято 6-функцня векторного аргумента определяется как произведение 6-функцнй от каждой нз его компонент.
что и является условием зрмитовости оператора. Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса коммутативны: 49 й 121 импульс Интегрирование осуществляется с помощью формулы ') — ) егия г(х = б (сс). ! 2л (12,9) Имеем г — (а' — а!'с()г =-С*(2пй)з б ( р' —.р).
фатуалЛУ=С') ей Отсюда видно, что должно быть Сз(2лгь)з=1. Таким образом, нормированная функция — вг фа = —,ей (12,)О) (2лв)ч' Разложение произвольной волновой функции частицы ф(г) по собственным функциям тр оператора ее импульса представляет собой не что иное, как разложение в интеграл Фурье: ф(г) =~а(р)фа(г) г(зр =,, ~ а(р)е г с(зр, (12,11) с(ар с(р а)р с(р Коэффициенты разложения а(р) равны, в соответствии с формулой (5,2), а(р) ~ф(г)фв(г) с(У=-, )ф(г)е " г()'. (12,12) (2лй) Г, З Функцию а(р) можно рассматривать (сл!. 25) как волновую функцию частицы в импульсном представлении; )а(р))тг(зр есть вероятность импульсу иметь значения в интервале г(зр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
