1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вместо четырех указанных величин в качестве полной системы можно выбрать четыре величины !.1, Ц, !.з, 1„. Тогда каждое состояние будет характеризоваться значениями чисел 1О, 1.„1., М (соответствующие волновые функции обозначим как «РА и). При заданных 1., и 1., должно быть, разумеется, по-прежнему (21.,+ !) (21.,+ !) различныхх состояний, т. е. при заданных 1,1 и 1,, пара чисел 1., М может пробегать (21.,+ !)(21.«+!) пар значений. Эти значения можно определить с помощью следующих рассуждений.
Складывая друг с другом различные допустимые значения М, и М„мы получим соответствующие значения М, ') И ряд других величин, которые вместес четырьмя указанными образуют волную сястему. Зтн остальные величины не играют роли в дальнейших рассуждениях, и для краткости выражений мы о них ие говорим вовсе, называя услонно Волной систему четырех указанных величин. 63 Ф 17! СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ таблице: М Е,+Е, в следующей М, как это представлено М, 1., Е, 1.,' — 1 1.,— 1 1.,' 1.,— 2 1.;+Е,— 1 1., (- 1., — 2 Мы видим, что наибольшее возможное значение М есть М=Е,+Е„причем ему Отвечает одно состояние ~р (одна пара значений М„М,).
Поэтому и наибольшее возможное значение М в состояниях $, а следовательно, и наибольшее Е есть М,+М,. Далее, имеется два состояния фс М=Е,+Е,— — 1. Следовательно, должно быть и два состояния ф с этим значением М; одно из ннх есть состояние с Е=Е,+Е, (и М=Š— 1), а другое — с Е=Е,-!-Е,— 1 (причем М=Е), Для значения М=Е,+Е,— 2 есть три различных состояния ~р.
Зто значит, что, наряду со значениями Е=1,+Е„Е,+ 1.,— 1, возможно также и значение Е=Е,+Е,— 2, Зги рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока при уменьшении М на 1 увеличивается на 1 число состояний с заданным значением М. Легко сообразить, что это будет иметь место до тех пор, пока М не достигнет значения !1.,— Е,~. При дальнейшем уменьшении М число состояний перестает возрастать, оставаясь равным 2Е,+1 (если Е,(Е,). Зто значит, что ~Е,— Е,! есть наименьшее возможное значение Таким образом, мы приходим к результату, что при заданных Е, и Е, число Е может пробегать значения Е = Е, -(- Ем Е, + Е, — 1..., ! Е, — Е, ~, (17,2) всего 2Е,+1 (Е,(Е,) различных значений. Легко проверить, что получается действительно (2Е,+1) (2Е,+1) различных значений пары чисел Е, М.
При этом существенно, что (если Отвлечься от 2Е+1 различных значений М при заданном 1.) каждому из возможных значений(17,2) соответствует всего по одному состоянию. Этот результат можно наглядно изобразить с помощью так называемой векторной модели. Если ввести два вектора 64 злконы сохглнкння а квлнтовой мехлннка 1гл. и Е, и Е, с длинами Е, и Е„ то значения Е изобразятся как целочисленные длины векторов Е, получающихся в результате векторного сложения Е, и Е,; наибольшее (Е,+Е,) значение Е получается при параллельных, а наименьшее ()Е,— Е,)) — при аитипараллельиых Е, и Е,. В состояниях с определенными значениями моментов Е„Е, и полного момента Е имеют определенные значения также и скалярные произведения Е,Е„ЕЕо ЕЕ, Легко найти эти значения. Для вычисления 1.,Е, пишем Е=Е,+$., или, возводя в квадрат и перенося члены, 21.,1., — Р— 1.,— Е',. Заменяя операторы в правой стороне равенства их собственными значениями, получим собственное значение оператора в левой стороне равенства: Е,Е, = ,' (Е (Е+ 1) — Е,(Е, + 1) — Е.,(Е, + 1)).
(17,З) Аналогичным образом найдем ЕЕ,= — — (Е(Е+1)+Е,(Е,+1) — Е,(Е,+1)). (174) Если фс~',~м, и ям, — волновые функции двух частей системы, то волновая функция системы в целом (спова при условии пренебрежения взаимодействи м частей) есть произведение [и нн ~эс,с,м,м, =-фс,м,Ф.,м,. (17,5) Эти состояния обладают определенными значениями М, и М, (помимо Е„Е,). Состояния же с определенными значениями Е, М являются суперпозициями состояний (17,5) с различными значениями пар чисел М„М„совместными с заданным значением М=М,+М,. Их волновые функции— линейные комбинации с,с,см Ф Фм= Х С Ы~,м р, м,н (176) с определенными коэффициентами С, зависяшими от значений всех перечисленных в их индексах квантовых чисел.' Зги коэффициенты называют коэффициентами векторного сложения или козффпциенгпами Клебша — Горданш % 18! ПРЕВИЛЬ ОТБОРЪ ПО МОМЕНТУ й 18. Правила отбора по моменту Мы видели, что и в классической, и в квантовой механике закон сохранения момента возникает как результат нзотропии пространства по отношению к замкнутой системе.
Уже в этом проявляется связь момента со свойствами симметрии по отношению к вращениям. Но в квантовой механике эта связь делается в особенности глубокой и становится по существу основным содержанием понятия о моменте, тем более что классическое определение момента частицы как произведения (гр! теряет здесь свой непосредственный смысл ввиду одновременной неизмеримости векторов момента и импульса. Мы видели в 5 16, что задание значений ( и гп определяет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем самым — все ее свойства симметрии по отношению к вращениям. В наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к указанию закона преобразования волновых функций при поворотах системы координат. Неизменной ') волноваи фУнкцнЯ фсм системы частиц (с заданными значениями 1, и М) остается лишь прн повороте системы координат вокруг оси г.
Всякий же поворот, меняющий направление оси г, приводит к тому, что проекция момента на новую ось г уже не будет иметь определенного значения. Это значит, что в новых координатных осях волновая функция превратится, вообще говоря, в супер- позицию (линейную комбинацию) 2Б,+! функций, отвечающих возможным (при заданном г'.) значениям М. Можно сказать, что при поворотах системы координат 2(.+! функций фхм преобразуются друг через друга '). Закон этого преобразования (т. е.
коэффициенты суперпозиции как функции углов поворота координатных осей) полностью определяется заданием значения с.. Таким образом, момент с, приобретает смысл квантового числа, класснфицирующего состояния системы по их трансформационным свойствам по '1 С точностью до несущественного фазового множителя. э) По математической терминологии говорят, что эти функции осуществляют собой так называемые нвприввдинмв представления еруппы враичвниа. Число преобразующихся друг через друга функций взвывают размерностью представлеиия, причем предполагается, что это число ие может быть умеиьщеио Никаким выбором каких-либо другихлииейиых комбинаций этих фуяиций.
66 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХЛНИКЕ (ГЛ. П отношению к вращениям системы координат. Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенности существен в связи с тем, что он не связан непосредственно с явной зависимостью волновых функций от углов; закон нх преобразования друг через друга может быть сформулирован сам по себе, без ссылки на эту зависимость.
Покажем, каким образом, с изложенной точки зрения, можно находить правила оп«бора (по моменту) для матричных элементов различных величин, т. е. правила, устанавливающие, для каких переходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Для этого заметим предварительно, что в чисто условном, математическом смысле понятие о моменте как о классификационном признаке может быть применено не только к волновым функциям, но н к другим физическим величинам. Например, всякой скалярной величине (т. е, величине, вообще не меняющейся при преобразовании координат) «соответствует момент А=О», в том смысле, что при 1.=0 имеем 2(.+1=1, т. е.
имеется всего одна «преобразующаяся сама через себя» величина '). Аналогично векторной величине можно приписать «момеит 1. 1» (21+1=3) в соответствии с тем, что при поворотах системы координат преобразуются друг через друга три независимые компоненты вектора. Если выразить компоненты вектора через сферические углы О, !р, определяющие его направление, то получим А = — А„+!А,=Аз!пбегт А = =А„— (А = А з)п 0 е 'ч А,= Асозб Сравнив эти выражения с функциями (16,6) мы видим, что компоненте А, соответствует «проекция момента М=О», а комплексным комбинациям А и А — соответственно М=1 и М= — 1. Для упрощения и большей наглядности рассуждений будем говорить о величинах, характеризующих состояния одной частицы (свободной или во внешнем центрально-сим- !) Во избежание неясностей подчеркнем, что в рассматриваемом аспекте волновые функции фгм (с Е~1) не являются «сквлярзми»; все 2)+! функций фгм с рззлич ными М надо рассматривать (с этой точки зрения) квк «состзвляющие» одной многокомпонентной величины.
181 а»лввлл отав»а по моменть 67 м«трнчном поле). Пусть 1 — какая-либо скалярная физическая величина. Рассмотрим ее матричные элементы по отношению к состояниям с определенными значениями 1и и;. <и!т' ~ !! л!т>= )ф..Яф,„Н~, (18,2) гае в, а' — остальные (помимо 1, и) индексы, определяющие состояния частицы, ТРем множителам в подынтегРальном выРажении (фн .. 1 и ф, ) можно сопоставить соответственно пары значений «момента и его проекциим (1', — т'), (О,О), (1, т) (комплексное сопряжение функции меняет знак в показателе множителя«' '» в(16,6), т. е.
какбыменяет знак проекции момента). Сложим эти «моменты» всеми возможными способами в суммарный «момент» и его проекцию (обозначим их через Л и р). Тем самым мы выясним трансформационные свойства тех функций, в линейную комбинацию которых может, быть, в принципе, разложено подынтегральное выражение в (18,2): »Р!,„,Й~Р,„=,Я ал»фа О« = и — и'), (18,3) к где ໄ— постоянные, а ф« — функции, которые по своим трансформационным свойствам совпадают с собственными функциями момента.
Для решения поставленного вопроса о правилах отбора нет, однако, необходимости в фактическом проведении этого разложения. Достаточно заметить, что при интегрировании по углам обратятся в нуль (в силу свойства (16,8)) все члены суммы, за исключением члена с Л=(»=О, Поэтому матричный элемент (18,2) может быть отличен от нуля, только если значения Л Р=О действительно будут присутствовать в разложении (18,3). Но при сложении двух моментов 1 и 1' может получиться значение Л =О, только если 1'=1. Таким образом, мы приходим к заключению, что матричные элементы скалярной величины могут быть отличны от нуля лишь для переходов без изменения момента и его п оекцни: Р т' =гл. (18,4) Более того, поскольку задание числа т определяет лишь ориентацию системы по отношению к координатным асям, а значение скалярной величины 1 от ориентации вообще 68 злконы сох»лнения в квантовой мехлинке [гд, и не зависит, то можно утверждать, что матричные элементы !и'!т[[[п!т) не зависят от значения пт.
Аналогичным образом можно найти правила отбора для матричных элементов (и'1'т' ~А[п1т) векторной величины А. Последней приписывается «момент», равный !. Складывая его с моментом 1, получим значения 1+[, 1, 1 — ! (если 1~0; при 1=0 в результате сложения может получиться лишь одно значение !). Последующее же сложение с моментом 1', должно привести к суммарному «моменту» А=О, если мы хотим, чтобы интеграл был отличен от нуля. Для этого 1' должно совпадать с одним из результатов предыдущего сложения, т. е. допустимы зпачения 1'=1,1~ [, ([8,5) причем дополнительно запрещены матричные элементы для переходов между состояниями с 1' =1=0. Правила же отбора по проекциям момента т различны для разных компонент вектора.
Учитывая ([8,!), легко найти следующие правила: для А, =А»+!Ау. М =М+! для А =А„— 1А„: М'=М вЂ” [, ([8,5) для А,: М'=М. Матричные элементы векторной величины от значений М зависят. Можно показать (на чем мы здесь останавливаться не будем), что и эта зависимость имеет универсальный характер, являясь однозначным следствием трансформационных свойств собственных функций момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
