1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поскольку направление оси г заранее ничем не выделено, то ясно, что тот же результат получится для 1.„, 1.з и вообще для составляющей момента па любому направлению, — все они могут принимать лишь целые значения. Этот результат может показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно если применить его к двум бесконечно близким направлениям. В действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная общая собственная функция операторов 1.„, Ав, Ь, соответствует одновременным значениям 1.„== Г., = Г., = О; в этом случае вектор момента, а поэтому и его проекция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно из собственных значений 1.„, 7.а, Ь, отлично от нуля, то т) Общепринятое обозначение собственных значений проекции момента буквой и — той же, которой обозначается масса частицы, — фактичесКи не может привести к недоразуменинм. 57 й 151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНЯЧЕНИЯ МОМЕНТА общих собственных функций у соответствующих операторов нет.
Другими словами, ие существует такого состояния, в котором две или три составляющие момента по различным направлениям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля) значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности одной из них. Стационарные состояния системы, отличающиеся только значением М, обладают одинаковой энергией — это следует уже из общих соображений, связанных с тем, что направление оси г заранее ничем ие выделено, Таким образом, энергетические уровни системы с сохраняющимся (отличным от нуля) моментом Во всяком случае вырождены '). Перейдем теперь к отысканию собственных значений квадрата момента и покажем, каким образом можно найти эти значения, исходя из одних только правил коммутации (14,7). Обозначим посредством фм волновые функции стационарных состояний с одинаковым значением квад.
рата (.а, относящихся к одному вырожденному уровню энергии. Прежде всего заметим, что поскольку оба направления оси г физически эквивалентны, то для каждого возможного положительного значения М=+!М) существует такое же отрицательное: М вЂ” — — !М~. Обозначим посредством 5 (целое положительное число) наибольшее возможное значение !М1 Применив оператор Е,(, к собственной функции тРЫ оператора Е, и воспользовавшись правилом коммутации (!4,11), получим (.
(.=тйх! = Сл(.атх! СЕ (.~тРа! = (М ~ 1)(-лтум. Отсюда видно, что функция рефат есть (с точностью до нормировочной псстояннои) собственная функция, соответствующая значению М-ь1 величины й„мы можем написать фхт, -— -- сопз1 (.,„трат, фм, — — сопз1.1, Фм. (!5,6) Если в первом из этих равенств положить М=(„то должно быть тождественно Е,ф,=(), (15,7) т) Это обстоятельство является частным случаем укаваииой в $ !О общей теоремы о вырви!денни уровней при наличии, по крайней мере, двух сохраинющихся величии с иеноммутирующими операторами. Здесь такими величинами являются компоненты момента.
58 зхконы сохглнения В кВАнтОВОЙ мехАнике (ГВ. 1! поскольку состояний с М Е, по определению, иет. При. меняя к этому равенству оператор Е и воспользовавшись равенством (14,12), получим — Е,)ф,=б, Но поскольку фм — общие собственные функции операторов !.» и Е„то Е'фг = Е'Ф, Е*'»р« = Е'Ф, Е.ф = Еф, так что полученное уравнение дает Е»=Е,(Е+1). (1 5,8) Втой формулой определяются искомые собственные значения квадрата момента; число Е пробегает все целые положительные значения, включая значение нуль. При заданном значении числа Е компонента момента Е,=М может иметь значения М=Е,Š— 1, ..., — 1, (15,9) т. е. всего 2Е+1 различных значений.
Уровень энергии, соответствующий моменту Е, таким образом, (2Е+1)-кратно вырожден; об этом вырождении обычно говорят как о Вырождении по направления»Г момента. Состояние с равным нулю моментом, Е= 0 (при этом и все его три компоненты равны нулю), не вырождено. Отметим, что волновая функция такого состояния сферически симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением (АР, обращается в данном случае в нуль.
Мы будем часто говорить для краткости, как это принято, о «моменте Е» системы, подразумевая при этом момент с квадратом, равным Е (Е+1); момент одной частицы будем обозначать строчной буквой 1. О г-компоненте же момента говорят обычно просто как о «проекции момента». Вычислим матричные элементы величин Е„, Е„ для переходов между состояниями с одинаковыми энергией и моментом Е, но различными значениями проекции моментаМ.
Из формул (!5,6) видно, что в матрице оператора Е отличны от нуля только элементы, соответствующие переходам М-»М+ 1, а в матрице оператора Е= элементы 6 16! совстаениые Функции моментл 59 с М-эМ вЂ” 1. Учитывая это, находим диагональные матричные элементы (для переходов Е, М вЂ” 1 1, М вЂ” 1) в обеих сторонах равенства (!4,12) и получаем ~ ((- + 1) =' (ь -) М - с М (е е ) М, М -1+ М Замечая, что, в силу эрмитовости операторов 1.„, ()-' )м-ь и= — (1 е)м. и-ы переписываем это равенство в виде !((.„)и,,!'=~((.+1) — М(М вЂ” 1) =(~ — М+1) ((.+М), откуда <М((,)М вЂ” 1>=<М вЂ” 1)1, !М>= =1 (1.+М)(й — М+!) (!5,10) (использован способ обозначения (11,3)). Для отличных от нуля матричных элементов самих величин 1., и (.у отсюда имеем <М)7.„(М вЂ” 1> =<М вЂ” 1 (1, (М> = 2 + + <М (У.,(М-1>= -<М=1) 1.,(М>= = — —,' )У'(1. 1 М) (~.— М+ 1).
(15,1!) Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в матрицах величин ~.„, (.„. Поскольку диагональный матричный элемент дает среднее значение величины в соответствующем состоянии, то это значит, что в состояниях с определенными значениями 1., средние значения 1„= =ХЕ=О. Таким образом, если имеет определенное значение проекция момента на какое-либо направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и весь вектор 1. 9 16. Собственные функции момента Заданием значений 1 и и волновая функция частицы не определяется полностью.
Это видно уже из того, что выражения для операторов этих величии в сферических координатах содержат только углы 6 и Ч~, так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий 60 ВАкОны сохРАиеиня В кВАНГОВОЙ мехАнике (гл. и от г множитель. !Р)ы будем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волновой функции. Обозначим ее как У, (О, ф) и нормнруем условием 1!У,.! (о=! (Г(о=з(п 8!(ОГйр — элемент телесного угла). Функции У! с разлнчнымн 1 или и, как собственные функции для различных собственных значений операторов момента, автоматически оказываются взаимно артогональными; вместе с условием нормировки это значит, что ~ $ У;,т, У!,„Е1п О Г(8 йр = бп б„. (16,1) о о Наиболее прямой способ вычисления искомых функций состоит в непосредственном решении задачи оботысканни собственных функций оператора 1', написанного в сферических координатах.
Уравнение 1'ф =1(1+ 1) ф принимает вид ! д /. даат, ! деф — — (з)пΠ— )-к —,— +1(! ' 1)ф=.0. (16,2) е!п Нда (, дв ) в!п'-'Оде' Это уравнение допускает разделение переменных; его решения можно искать в виде Ум = Ф (сР) !О „„(8), (16,3) где Ф вЂ” функции (15,3). Подставив (16,3) в (16,2), получим для функции КР! уравнение —, — „, (', 1 Π— „и',1 —.,'„Е,.
+1(1+ 1) Е,„= О. (16,4) Это уравнение хороша известно из теории шаровых функций. Оио имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности прн целых положительных значениях 1~!!и), в согласии с полученными выше матричным методом собственными значениями момента. Соответствующие решения представляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежандра Р, (созО). 6! й!71 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Таким образом, угловые волновые функции У,„(О, ф) = сопз1 Р! (соз О) е!лт, (16,6) т. е., с математической точки зрения, представляют собой определенным образом нормированные шаровые функции. Мы не будем выписывать здесь общего выражения для нор- мировочной постоянной, но приведем явные формулы для нескольких первых (1=-0, 1, 2) нормированных шаровых ф)нкций: ! 1' 4л У,„= 1/ 4 — созО, У,,=!- ) — з!и О.ее!~, (16,6) '' з / з У„, = ~/ — (Зсоз'Π— 1), !Вл !5 У,, =т- ~1 — „созОВ!пО е 'н, У = у —, З!и'0 Е='лт.
!ь У Зал При т=0 присоединенные полиномы Лежандра называются просто полиномами Лежандра Р, (соз О). Соответствующие нормированные шаровые функции '= 1/ — "." .(ОО ) (16,7) При 1=0 (так что и пт=О) функция (16,7) сводится к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний частицы с моментом 1=0 зависят только от г, т. е, обладают полной шаровой симметрией — в соответствии со сделанным в З 16 общим утверждением. Отметим также, что если в (16,1) одна из шаровых функций есть Умн то для другой ~ У, т(О=О (1ФО). (16,8) 5 17.
Сложение моментов Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей. При полном пренебрежении взаимодействием для каждой из них справедлив закон сохранения момента импульса, а полный момент 1 всей системы можно 62 ВАконы сОКРАнениЯ В кВАнтОВОЙ миханикк (гл.
и рассматривать как сумму моментов !., и !.з ее частей. В следующем приближении при учете слабого взаимодействия законы сохранения Е, и !., уже не выполняются строго, но определяющие их квадраты числа 1., и 1., остаются «хорошими» квантовыми числами, пригодными для приближенного описания состояния системы. В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о законе сложения моментов.
Каковы возможные значения 1. при заданных значениях 1,, и 1,,? Что касается закона сложения для проекций момента, то он очевиден: из того, что 1,,=-1ч„+ 1,„, следует М = М, + М,. Для операторов же квадратов моментов такого простого соотношения нет, и для вывода их «закона сложению рассуждаем следуихцим образом. Если выбрать в качестве полной системы физических величин величины !.«ы !.з, 1.„, 1,„'), то каждое состояние будет определяться значениями чисел 1,ы 1.„МО Ме. При заданных 1., и 1,, числа М„М, пробегают соответственно по 21.,+1 и 21,«+1 значений, так что всего имеется (21,г+ !) (21,,+ !) различных состояний с одинаковыми 1.„1, Волновые функции состояний в атом описании обозначим как гре,е,м,м,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
