1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие частиц в квзнтовой механике: Н = — ~~~~ — '+ (7 (г„г„...). (20,4) а Первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, а второй — как оператор потенциальной энергии. Последний сводится к простому умножению на функцию (7, и из предельного перехода к классической механике следует, что эта функция должна совпадать с классической потенциальной энергией. В частности, гамильтониан одной частицы, находящейся во внешнем поле, рЗ й' Н= ~ +(7(~,у, )= — — Л+(7(~,у, ), (20,б) где (7(х, у, г) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Подстановка выражений (20,2 — б) в общее уравнение (8,1) дает волновые уравнения для соответствующих систем.
Выпишем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле: Й а — — — ~— ЛЧ'+(7(х, у, г) Ч'. (20,6) ач Ф Уравнение же (10,2), определяющее стационарные состояния, принимает вид Ь вЂ” Лф -(- [Š— (7 (х, у, г)) ф = О. (20,7) 6гц плотность потоки Уравнения (20,6 — 7) были установлены Эрвином Шрединеером в 1926 г. и называются уравнениями Шредингера. Для свободной частицы уравнение (20,7) имеет вид — ЛФ+Еф=О. (20,8) Оно имеет конечные во всем пространстве решения прн любом положительном значении знергии Е.
Для состояний с определенными направлениями движения зтими решениями являются собственные функции оператора импульса (12,5), причем Е= ре72т. Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состоянин имеют вид - — (Б!-рп 'У'=сопз1 е й (20,9) Каждая такая функция — плоская волна — описывает состояние, в котором частица обладает определенными знергией Е н импульсом р. Частота атой волны равна Е/Ь, а ее волновой вектор 1с=р4 (соответствующую длину волны Х = 2пйlр называют де-бройлевсной длиной волны частицы) ')'.
Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от 0 до +со. Каждое из зтих собственных значений (за исключением только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение — бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций (20,9), отличающихся направлениями вектора р при одинаковой его абсолютной величине.
9 21. Плотность потока В классической механике скорость частицы ч связана с ее импульсом соотношением р = ти. В квантовой механике такая же связь, как и следовало ожидать, имеет место между соответствующими операторами. В зтом легко убедиться, вычислив оператор т =г по общему правилу дифференцирования операторов по времени (9,2). Использовав е) Поивтие о волне. сввваиной с частицей, было впервые введено Луи ое Бройлел в !92Е г. (гл.
н~ 76 УРАВНЕНИЕ ШРЕДННГЕРЛ выражение (20,5) для гамильтониана, пишем $ 4 ч= — ( Нг — гН) = — — (Лг — гЛ). 2л Для определения стоящего здесь коммутатора подействуем им на произвольную функцию ф: Л (гф) — г (Ьф) = 2 (Чф). Но — (пЧ =р, так что Р ч=— /Н (21,1) Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между собственными значениями скорости н импульса и между их средними значениями в любом состоянии. Скорость, как и импульс частицы, не может иметь определенного значения одновременно с ее координатами. Но скорость, умноженная на бесконечно малый элемент времени Ш,'определяет смещение частицы за время е(г. Поэтому факт несуществования скорости одновременно с координатами означает, что если частица находится в определенной точке пространства в Некоторый момент времени, то она ие будет иметь определенного положения уже в следующий бесконечно близкий момент времени.
Далее, найдем оператор ускорения. Имеем ч= — ( Й» — ч Й) == — (Нр — рН) = — — (НЧ вЂ” ЧН). й ж$ Н1 И 'здесь для выяснения смысла получившегося оператора подействуем им на произвольную ф и (Чф) — Ч (иф) = — (Чи) ф. Поэтому находим тч = — ЧН. (21,2) Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с уравнением движения (уравнением Ньютона) классической механики. Интеграл ~ ~ Ч'(' Й', взятый по некоторому конечному объему Р'„представлнет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Вычислим производную от этой Ч 211 плотность потока величины по времени. Имеем — „'", ~~Ч) а =~(Ч "~*+Ч*Д)а~= = ' ('(ЧО Ч вЂ” т1 ЙеЧ')5'.
Подставив сюда ((=Й*= — ',Д+и(х, у,.) лэ 2л~ и использовав тождество Чтк — ЧуеДЧг = с(!ч (ЧгЧЧг* — Чг1 учг), получим — ~) Чг)аБ'= — ') п(ч1 г()', где ) обозначает вектор 4 1 ) = — (Ч'огас( Ч'" — Ч"е игам Ч') = — (ЧгечЧг+ЧгчеЧ"е). (21,8) 2ш 2 (21,4) Отсюда видно, что вектор 1 может быть назван вектором плотности потока вероятности илн просто плотности потока, Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность. Вектор 1 и плотность вероятности )Чг1а,удовлетворяют уравнению д)Ч' 1е — +6(ч)=0, рл (21,5) аналогичному классическому уравнению непрерывности (1Ч 55).
'1 Каи всегда, элемент поверкностн слопределаетси иаи вектор, равный по величине площади л) элемента н направленный по внешней нормали и нему, Интеграл ат г(1ч 1 может быть преобразован, согласно теореме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности о, окружающей объем р' '): (гл. ш эглвииняе шгедянгинл Волновая функция свободного движения — плоская волна (20,9) — может быть пронормирована так, чтобы она описывала поток частиц с равной 1 плотностью (поток, в котором через единичную площадку его поперечного сечения проходит в среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция: 1 — (ег-в«) Ч'==с (21,6) где о — скорость частицы. Действительно, подставив ее в (21,3), получим ) =р!ти, т. а.
единичный вектор в направлении движения. 9 22. Общие свойства решений уравнения Шредингера Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция (вместе со своими первыми производными) должна быть однозначной и непрерывной во..всем пространстве. Условие непрерывности производных выражает собой требование непрерывности плотности потока.
Если поле (У (х,у,г) нигде не,обращается в бесконечность, то н волновая функция тоже должна быть конечной во всем пространстве. Это условие должно соблюдаться и в тех слу'чаях, когда 0 обращается в некоторой точке в — оо, но не слишком быстро '). Пусть [I м — минимальное значение функции (у(х,у,г). Поскольку гамильтониан есть сумма двух членов— операторов кинетической (Т) и потенциальной энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Е=Т+(У.
Но все собственные значения оператора Т (совпадающего с гамильтонианом свободной частицы) положительны; поэтому и среднее значение Т~«0. Имея также в виду очевидное неравенство у:»(у „, найдем, что и Е=»(у ы. Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния,'.то ясно, что оно справедливо и для ' ') Именно, медленнее, чем — !/г«, где г — расстояние до точки. Можно показать, что если ГУ обращается в — «о быстрее, чем — 1/г«, то «нормвльип«в состояние будет соответствовать чястяце, нзходящейся в самой точке г=о, т.
е. происходит «ведение«частицы в зту точку. $221 овщик свойства гкшвннй эгхвнения шгкдннгкгх 79 всех собственных значений энергии: Е„> и.,„. (22, 1) Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезающем на бесконечности; функцию У (х, у, г), как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е .0 являются связанными. Действительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих инфииитному движению, частица находится на бесконечности (см. з 10).
Но на достаточно больших расстояниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы может рассматриваться как свободное; при свободном же движении энергия может быть только положительной. Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению; при Е=ьб уравнение Шредингера, вообще говоря, не имеет (в рассматриваемом лоле).решений, для которых бы интеграл ~ ~ф)'~Л~ сходился. В квантовой механике при финитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е(У; вероятность пр1' нахождения частицы хотя и стремится: быстро к нулю с увеличением расстояния в глубь такой области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля, В этом отношении имеется принципиальное отличие от классической механики, в которой частица вообще нв может проникнуть в область, где У)Е.
В классической механике невозможность проникновения в эту область связана с тем, что при Е(У кинетическая энергия былй бы отрицательной, т. е. скорость — мнимой, что не. лепо. В квантовой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее мы не приходим здесь к противоречию, так как если процессом измерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого же процесса состояние частицы нарушается таким образом, что она вообще перестает обладать какой-либо определенной кинетической энергией.
[гл. ш эглвнение шгедиигегл Проиллюстрируем сказанное примерами одномерного движения.. Под таковым подразумевается движение в поле У(х), зависящем только от одной координаты. Движение в направлениях у и г является тогда свободным, а движение вдоль оси х определяется одномерным уравнением Шре- дингера Д+ — '(Š— У (х)] ф = О, (22,2) В «потенциальной яме» изображенного на рис. 1, а типа движение с энергией Е(0 финитно, и соответствующий а) Рис. и спектр уровней энергии дискретен.
Энергии же Е)0 образуют непрерывный спектр, и движение инфиннтно. Определим асимптотическнй вид волновых функций на больших расстояниях х в этих двух случаях. Поскольку Ог — 0 при х- ~ос, то на больших расстояниях можно пренебречь в уравнении (22,2) полем У по сравнению с Е, и тогда (22,3) Б~' Г!ри Е>0 это есть уравнение одномерного. свободного дви- жения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
