1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Упомянем еще случай величины, являющийся симметричным тензором второго ранга, А;„. Такой тензор имеет 6 различных компонент. Совокупность этих компонент не представляет, однако, единого целого с точки зрения ',их трансформационных свойств. Дело в том, что след тензора (т. е. сумма Ап = А„+ А„„+ А„) является скаляром; этот скаляр должен быть исключен из числа преобразующихся величин, т. е.

надо рассматривать тензор с равным нулю следом. Такой тензор называют непривадиыым; ои имеет 5 независимых компонент и ему можно приписать «момент» 1 =2 (21. + ! =5) '). О Примером такой физической величины может служить»лектрический квадруиольный момент системы.. 19] четиость состояния Подчеркнем, что хотя мы говорили здесь о матричных элементах для одной частицы, но в действительности все результаты являются следствием общих трансформационных свойств волновых функций, и потому в равной степени справедливы и для любой системы частиц с сохраняющимся моментом.

й !9. Четность состояния Наряду с параллельными переносами и поворотами системы координат (инвариантность по отношению к которым выражает соответственно однородность и изотропию пространства) существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным гамильтониан замкнутой системы. Это так называемое преобразование инверсии, заключаю.

щееся в одновременном изменении знака всех координат, т. е. изменении направлений всех осей на обратные; право- винтовая система координат переходит при этом в лево- винтовую, и наоборот. Инвариантность гамнльтониана по отношению к этому преобразованию выражает собой симметрию пространства по отношению к зеркальным отражениям '), В классической механике инвариаитность функции Гамильтона по отношению к инверсии не приводит к каким- либо новым законам сохранения. В квантовой же механике ситуация существенно иная. Введем символический «оператор инверсии» Р '), действие которого на волновую функцию тр(г) заключается в изменении знака координат: Ртр (г) = — ф ( — г).

(19,1) Легко найти собственные значения Р этого оператора, определяемые уравнением Рчр (г) =-. Рф (г). (19,2) Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора инверсии приводит к тождеству — аргументы функции вообще не меняются. Другими словами, имеем Р««)т= Ртф =~>, ') Инвариаитеи по отношению к инверсии также и гамнльтоииаи системы частиц, находящихся в центрально.симметричном поле (причем начало координат должно совпадать с центром поля).

а) Обозначение буквой Р— от английского слова рагИу †четкос. 70 злконы сохелнкння в квлнтовой мнхлннкн [гл: и т. е. Р' = 1, откуда (19,3) Р = ~ 1. Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе. цод его воздействием, либо меняют свой знак.

В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором — нечетной, Инвариантиость гамильтониана по отношению к инверсии (т. е; коммутатнвность операторов Р н Й) выражает собой, следовательно, закон сохранения четности: если состояние замкнутой системы обладает определенной четностью (т. е, если оно четно илн не четно), то эта четность сохраняется со временем х).

По отношению к инверсии инварнантен также и оператор момента: инверсия меняет знак как координат, так и операторов дифференцирования по ним, а потому операторы (14,3) остаются неизменными. Другими словами, оператор инверсии коммутэтивен с оператором момента, а это значит, что система может обладать определенной четностью одновременно с определенными значениями момента Ь и его проекции М. Для матричных элементов различных физических величии существуют определенные правила отбора по четности. Рассмотрим сначала скалярные величины.

При этом надо различать истинные скаляры — не меняющиеся вовсе при инверсии, и лсевдоскаляры — величины, меняющие знак при инверсии (псевдоскаляром является, например, скалярное произведение аксиального и полярного векторов), Легко видеть, что для истинно скалярной величины 1 могут быть отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов без изменения четности. Действительно, матричный элемент величины ) для перехода между состояниями различной четности есть интеграл 1.,=) КИ,й4 г) Во иабеигание недоразумений напомним, что речь идет о нерелятивистской теории. В ирироде существуют взаимодействия (относящиеся к области релятивистской теории), нарушающие сохранение четности — см. 4 90.

$19] четкость, состояния где функция ф четка, а ф, печатна. При изменении знака всех координат подынтегральное выражение меняет знак; с другой стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может измениться от изменения обозначения переменных интегрирования. Отсюда следует, что 1,е= — 1„е, т. е. 1, = О. Напротив, для псевдоскалярной величины отличий от нуля матричные элементы лишь для переходов между состояниями рззличной четности.

Аналогичным образом можно получить правила отбора для векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, плярньм, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальиые векторы при этом преобразовании не меняются (таков, например, вектор момента — векторное произведение двух полярных векторов р и г). Учтя это, найдем, что для полярного вектора отличны от нуля матричные элементы для переходов с изменением четности, а для аксиального вектора — без изменения четности. Определим четкость состояния одной частицы с моментом 1.

Преобразованиеинверсии (х — х, у в — у, г- — г) состоит (для сферических координат) в преобразовании г — г, Π— и — О, ~р ~р+ и. (19,4) Зависимость волновой функции частицы от углов задается собственной функцией момента г'„„(16,5). При.замене у на ~р+и множитель е'"'ч умножаегся на ( — 1)", а при замене 8 на и — О РT(созО) переходит в Р",( — соз8)= =( — !)' " РГ(соэО).

Таким образом, вся функция умножается на число ( — 1)', т. е. четность состояния с данным значением 1 есть Р=( — 1)'. (19,5) а]ы видим, что все состояния с четным 1 — четны, а с нечетным 1 — цечетны. Четкость состояния зависит только от 1, но не от т. Выясним теперь правило сложемия четноспеи. Волновая функция Ч' системы, состоящей из двух независимых частей, представляет собой произведение волновых функций Ч', и Ч', этих частей. Ясно поэтому, что если обе последние обладают одинаковой четностью (т. е. обе меняют или обе не меняют свой знак при изменении знака всех координат), то волновая функция всей системы будет четной.

Напротив, если Ч', и Ч", обладают различной четкостью, то законы сох»лиання в квлнтоаой механика (гл. и функция Ч' будет нечетной. Это утверждение можно выразить равенством Р=Р,Р„ (19,6) где Р— четкость системы в целом, а Р„Р, — четности ее частей. Это правило, разумеется, непосредственно обобщается на случай системы, состоящей из произвольного числа невзаимодействующих частей. В частности, если речь идет о системе частиц, находящихся в центрально-симметричном, поле (причем взаимодействие частиц друг с другом можно считать слабым), то четность состояния системы в целом Р ( 1)п'и»...

(19,7) Подчеркнем, что здесь в показателе стоит алгебраическая сумма моментов частиц, вообще говоря, отличная от нх «векторной суммы», т. е. момента й системы. Если замкнутая система распадается на части (под влиянием действующих в ней самой сил), то ее полные момент и четность должны сохраняться. Это обстоятельство может сделать невозлюжным распад системы, даже если он возможен в энергетическом отношении. Рассмотрим, например, атом, находящийся в четном состоянии с моментом (.

=О, причем энергетически он мог бы распасться на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с тем же люментом (. = О. Легко видеть, что фактически такой распад не может произойти (будет, как говорят, запрегпен). Действительно, в силу закона сохранения момента, свободный электрон должен был бы тоже обладать равным нулю моментом и потому находиться в четном состоянии (Р= ( — 1)" = 1), но в этом случае состояние системы «нов+ свободный электрон» было бы нечетным, между тем как первоначальное состояние атома было четным. Глава тО УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 20. Уравнение Шредингера Вид волнового уравнения физической системы опреде'ляется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.

Вид гамнльтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относнтедьности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р'/2т, где постоянная т называется массой частицы (см. ! З 4). В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса — одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е =р'от имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов: = — (Р* + Р» + Р~ ) (20,() Подставив сюда (12,4), получим гамильтониан свободно движущейся частицы в аиде фй (20,2) д~ д~ д' где Ь = — г+-г+ — — оператор Лапласа. дх ду даз 74 (гл. ш ггавнвник шгедингегл Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов каждой из них: Ьз ! Н= — — ~ — Л„ (20,3) И1~ а где индекс а нумерует частицы; Л, — оператор Лапласа, в котором дифференцирование производится по координатам а- й частицы. В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается аддитивным членом в гамильтониане — потенциальной энергией взаимодействия У (г„г„...), являкхцейся функцией координат частиц.

Характеристики

Список файлов книги