1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, Й есть оператор, соответствующий в квантовой механике функции Гамильтона; его называют гамильтоновским оператором илн, короче, гамильтониаком системы. Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8,1) определяет волновые функции данной физической системы. Зто основное уравнение квантовой механики называют волновым уравнением. й 9. Дифференцирование операторов по времени Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой оно имеет в классической механике.
Действительно, определение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величиныв два близких, но различных момента времени. Но в квантовой механике величина, измеренная в некоторый момент времени, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения; подробнее об этом шла речь в 5 !.
й 91 диьеагаяцигоалние опегхтогов по атамана 37 Поэтому понитие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом, Естественно определить производную 1 от величины Г как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения 7. Таким образом, имеем, по определению, (9,1) Исходя из этого определения, нетрудно получить выражение для квантовомеханического оператора Г, соответствующего величине г. Пишем Здесь д)уд1 есть оператор, получающийся дифференцированием оператора ) по времени, от которого ) может зависеть, как от параметра.
Подставляя для производных дЧ"1д1, дЧ"!д1 их выражения согласно (8,1), получим — „'тб9+е ~( ) 1~~9 — е ) 1(~~)~). Поскольку оператор Н вЂ” эрмитов, то ()(Й*Ч*) 6'Р) Ц= ()Ч*Й")Ч а9; таким образом, имеем Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, ) = ) Ч" гЧ'Йд, тоотсюда видно, г что выражение, стоящее в скобках под интегралом, представляет собой искомый оператор: д1 Ф (9,2) 38 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ГЛ. 11 Если оператор Г не зависит от времени явно, то Г сводится (с точностью до множителя) к коммутатору оператора ( с гамильтонианом. Очень важную категорию физических величин составляют те, операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того, коммутативны с гамильтонианом, так что ~=0.
Такие величины называют сокраняю1цимися. Для них ~=~=0, т. е. ~=соней Другими словами, среднее значение величины остаегся постоянным во времени. Можно также утверждать, что если в данном состоянии величина Г имеет определенное значение (т. е. волновая функция является собственной функцией оператора Й, то и в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное — то же самое — значение.
8 10. Стационарные состояния Гамильтониаи замкнутой системы (а также системы, находящейся в постоянном — но не в переменном— внешнем поле) ие может содержать времени явно. Это следует из того, что по отношению к такой физической системе все моменты времени эквивалентны. Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, конечно, коммутативен сам ссобой,томы приходимквыводу, что у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией (см. ! э 6). Смысл закона сохранения энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени. Состояния, в которых энергия имеет определенные значения, называются стационарными состояниями системы. Они описываются волновыми функциями Ч'„, являющимися собственными функциями оператора Гамильтона, т.
е. удовлетворяющими уравнению ЙЧГ„=Е„ТР„где ń— собственные значения энергии, Соответственно этому волновое уравнение (8,1) для функции Ч'„ УУЧи ЕАЧ и 39 Ч 10) стАциОИАРные сОстОяния может быть непосредственно проинтегрировано по времени и дает — — ем Ч'„= е ~ ф„(д), (10,1) где ф„— функция только от координат. Этим определяется зависимость волновых функций стационарных состояний от времени.
Малой буквой ф мы будем обозначать волновые функции стационарных состояний без временнбго множителя. Зти функции, а также сами собственные значения энергии Определяются уравнением йф = Еф. (10,2) Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значением энергии называется нормальным или осноенын соса~оянием системы.
Разложение произвольной волновой функции Ч' по волновым функциям стационарных состояний имеет вид ! Ч'=чти„е " ф (ч) (10,З) й Квадраты )а„)А коэффициентов разложения, как обычно, определяют вероятности различных значений энергии системы. Распределение вероятностей для координат в стационарном состоянии определяется квадратом (ч'„Р=)ф„'г; оно не зависит от времени. То же самое относится и к средним значениям 1 = ') 'Р:Л. с(У = ~ Ю1. ((Ч всякой физической величины 1" (оператор которой не зависит от нремени явно), Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины коммутативен с гамильтонианом, Зто значит, что всякая сохраняющаяся физическая величина можег быль измерена одновременно с энергией.
.' Среди различных стационарных состояний могут быть такие, которые соответствуют одному и тому же собственному значению энергии (или, как говорят, энергетическому уроеню системы), отличаясь значениями каких-либо других 40 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. и физических величин. О таких уровнях,которым соответствует по нескольку различных стационарных состояний, говорят как о вырожденных. Физически возможность существования вырожденных уровней связана с тем, что энергия, вообще говоря, ие составляет сама по себе полной системы физических величин.
В частности, уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины Г и я, операторы которых не коммутативны, Действительно, пусть ф есть волновая функция стационарного состояния, в котором, наряду с энергией, имеет определенное значение величина г. Тогда можно утверждать, что функция дФ не совпадает (с точностью до постоянного множителя) с ф; противное означало бы, что имеет определенное значение также и величина д, что невозможно, так как Г и д ие могут быть измерены одновременно. С другой стороны, функции аф есть собственная функция гамильтониана, соответствующая тому же значению Е энергии, чтоиф: и Йф) = йоф = Е (аф) Таким образом, мы видим, что энергии Е соответствует более чем одна собственная функция, т.
е. уровень вырожден. Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций, соответствующих одному и тому же вырожденному уровню энергии, есть тоже собственная функция того же значения энергии. Другими словами, выбор собственных функций вырожденного значения энергии неоднозначен. Произвольно выбранные собственные функции вырожденного уровня, вообще говоря, не взаимно ортогональны.
Надлежащим подбором их линейных комбинаций можно, однако, всегда получить набор взаимно ортогональных (и нормированных) собственных функций. Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и непрерывным. Стационарное состояние дискретного спектра всегда соответствует финитному движению системы, т. е. движению, при котором система или какая-либо ее часть не уходит на бесконечность. Действительно„ для собственных функций дискретного спектра интеграл ) ( Ч'~'г(д, взятый по всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат 1Ч')т достаточно й 111 МАТРИЦЫ ФИЗИЧЕСКИ.".
ВЕЛИЧИН 4! быстро убывает, обращаясь на бесконечности в нуль. Другими словами, вероятность бесконечных значений координат равна нул!о, т. е. система совершает финнтное движение или, как говорят, находится в связанном состоянии. Для волновых функций непрерывного спектра интеграл ) ( Ч')' тй! расходится. Квадрат волновой функции Щз не определяет здесь непосредственно вероятности различных значений координат и должен рассматриваться лишь как величина, пропорциональная этой вероятности.
Расходимость интеграла ) ~ %'(' Й~ всегда бывает связана с тем, что (Ч'~з не обращается на бесконечности в нуль(или обращается в нуль недостаточно быстро). Поэтому мох;но утверждать, что интеграл ~ 1Ч'('Йд, взятый по области и остранства, внешней по отношению к любой сколь угодно большой но конечной замкнутой поверхности, будет все же расходиться. Это значит, что в рассматриваемом состоянии система (илн какая-либо ее часть) находится на бесконечности. Таким образом, стационарные состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению системы. $11.
Матрицы физических величии Предположим для удобства, что рассматриваемая система обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на случай непрерывного спектра). Пусть Ч'=~а„Ч'„есть разложение произвольной волновой функции по волновым функциям стационарных состояний. Если подставить это разложение в определение (3,5) среднего значении некоторой величины ), то получим (1 1,1) где 1„„(Т) обозначают интегралы (11,2) совокупность величин г"„(1) со всеми возможными л, т называют матрицей величины Г, а о каждой из них говорят 42 зАконы сОхРАнения В кВАнтОВОЙ мехАиике [Гл. н (и [) [пг>, (1[,З) в особенности удобное, когда каждый из индексов надо писать в виде совокупности нескольких букв.
Символ (11,3) иногда рассматривают как «составленный» из обозначения величины 1 и символов [т) и Г',и[, обозначающих соответственно начальное и конечное состояния (обозначения Дпрака). Зависимость матричных эЛементов от времени определяется (если оператор Г не содержит 1 явно) зависимостью от времени функций Ч'„. Подставляя для них выражения (10,1), найдем, что (г) = 1„„ева (11,4) где ń— Ем им (11,5) есть, как говорят, частота перехода между состояниями и и и, а величины Г. =~ф.1ф «[4 (1 1,б) составляют не зависящую от времени матрицу величины 1, которой обычно и приходится пользоваться.
Матричные элементы производной Г получаются дифференцированием повремени матричных элементов величины )'; это следует непосредственно из того, что среднее значение Г = 1 = ~ ~~'., а„"а 1„(Г). Ввиду (11,4) имеем, таким образом, для матричных элементов Г 1.. (1) = (щ..).. ((). (11,7) ') Матричное представление физических величин было введено Ггйзгнбгргон (1925) еще до открытия Бр«бинг«роя волнового уравнения. «Матричная механика» была затем развита Берлом, Гейзенбергом и Иорданом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
