1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Сама вероятность Ч'"'Ч" различных значений координат тоже является выражением такого вида. С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым, в принципе, определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется уравнениями, которые будут выведены в дальнейшем, Сумма вероятностей всех чозможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования (Ч" Р по всему конфигурационному пространству был равен единице: 18 основныг понятия квантовой мехлннки (гл. ~ имеют вид (2,1), в котором Ч' входит умноженным иа Ч", то ясно, что нормированная волновая фуикция определена лишь с точностью до постоянного 4азового множителя вида е'", где я — любое вещественное число.
Зта иеодиозиачиость — принципиальная и ие может быть устранена; однако опа несущественна, так как ие отражается ии иа каких физических результатах, В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функция, заключающихся в следующем. Пусть в состоянии с волновой функцией Чгз (д) некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату 1, а в состоянии Чг;(д) — к результату 2. Тогда утверждается, что всякая линейная комбинация Ч', и Ч"„ т. е.
всякая функция вида с,Ч',+сеЧг, (с„с,— постоянные) описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2, Кроме того, можно утверждать, что если иам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функциейЧг,(д, 1), а для другого — Ч', (д, 1), то любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени. Зги утверждения составляют содержание так называемого принципа суперпоэиции состояний. Из вето, в частности, следует, что уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предположим, что состояние этой системы задано так, что каждая из частей описана полным образом '). Тогда можно утверждать, что вероятности координат и, первой части независимы от вероятностей координат да второй части, и потому распределение вероятностей для системы в целом должно быть равно произведению вероятностей для ее частей.
Зто значит, что волновал функция Чг„(д„ д,) системы может быть представлена в виде произведения волновых функций Ч',(д,) и Чг,(д,) ее частей: Ч,а(д„ц,) =Ч,(у,) та(Ч,). (2,3) ') Тем самым, конечно, дано н полное описание состояния системы в целом. Подчеркнем, однако, что обратное утверждение отнюдь не справедливо: полное описание состояния системы как целого еще не определяет, вообще говоря, полным образом состояний ее отдельных частей (мы вернемся еще к этому вопросу в $ 7). ОПЕРАТОРЫ Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое соотношение между волновыми функциями системы и ее частей сохранится и в будущие моменты времени: Чг 1ч1 Чз Г) = Чг 1ч 1) Ч" 1ч Г)' 12 4) 5 3.
Операторы ~ ~ Чг и дч (3,1) Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией Ч', то произведенное иад Рассмотрим некоторую физическую величину ~, характеризующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в нижеследующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной величине, а сразу о полном их наборе.
Однако все рассуждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости н простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической величине. Значения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как оспектре собственных значений данной величины. В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений. В квантовои механике тоже существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд; в таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений, Наряду с такими величинами в квантовой механике существуют, однако, и другие, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.
Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая величина ) обладает дискретным спектром; случай непрерывного спектра рассматривается в 5 5. Собственные значении величины ) обозначим как ~„, где индекс п пробегает значения О, 1, 2, 3, ... Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина 1 имеет значение ~„, посредством Ч"„. Волновые функции Ч"„называют собственными фунщиями данной физической величины ). Каждан из этих функций предполагается нормированной, так что основные понятия квлнтовой мкхляикк [гл. < нею измерение величины ) даст в результате одно из собственных значений [„. В соответствии с принципом суперпозицпн можно утверждать, что волновая функция Ч' должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций Ч'„, которые соответствуют значениям )„ могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии.
Поэтому в общем случае произвольного состояния функция Ч" может быть представлена в виде ряда Ч' = ~ а„Ч'„, (3,2) е где суммирование производится по всем и, а а, — некоторые постоянные коэффициенты. Таким образом,мы приходим к выводу, что всякая волновая функция может быть, как говорят, разложена по собственным функциям любой физической величины. О системе функций, по которым можно произвести такое разложение, говорят как о полной системе функций. Разложение (3,2) дает возможность определить вероятность обнаружения (путем измерения) у системы в состоянии с волновой функцией Ч' того или иного значения ) величины ). Действительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, эти вероятности должны определяться некоторыми билинейными по Ч' и Ч'* выражениями и потому должны быть билинейными по а„и а„'.
Далее, эти выражения, разумеется, должны быть положительными. Наконец, вероятность значения )„должна обращаться в единицу, если система находится в состоянии с волновой функцией Ч'=:Ч'„и должна обращаться в нуль, если в разлогкенни (3,2) отсутствует член с данной Ч"„, Единственной существенно положительной величиной, удовлетворяющей этому условию, является квадрат модуля коэффициента а.. Таким образом, мы приходим к результату, что квадрат модуля |а„!ь каждого из коэффициентов разложения (3,2) определяет вероятность соответствующего значения )„ величины ) в состоянии с волновой функцией Ч'. Сумма вероятностей всех возможных зь<аченнй [„ должна быть равна единице; другими словами, должно быть ~)а„!2 =- !.
(3,3) е оппглтогы Введем понятие о среднем значении 7 величины ( в данном состоянии. Соответственно обычному определению средних значений, определим ( как сумму всех собственных значений („ данной величины, умноженных на соответствующие вероятности ~а„)л: 7= ~, ~„( а„(з. (3,4) ч Напишем 7 в виде выражения, которое бы содержало не коэффициенты разложения функции Ч', а саму эту функцию. Поскольку в (3,4) входят произведения а",а„, то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по Ч'* и Ч'.
Введем некоторый математический оператор, который мы обозначим как ) ') и определим следующим образом. Пусть ()чР) обозначает результат воздействия оператора 7 на функцию Ч'. Определение 7 состоит в том, что интеграл от произведения (7чг) на комплексно сопряженную функцию Ч'* дает среднее значение ~: 7= ~ ч'*(7Ч') с(а. (3,5) Билинейность выражения (3,5) по Ч"* и Ч' означает, что сам оператор 7 должен быть, как говорят, линейныж. Так называют операторы, обладающие свойствами '): 1 (Ч', + Ч',) = — 7чг, + )Чг„1 (ачг) = а7лр, где Ч'„Ч",— произвольные функции, а а — произвольная постоянная. Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике прчводится в соответствие определенный линейный оператор.
Если функцией Ч' является одна из собственных функций Ч'„, то среднее значение 7должно совпадать с определенным значением Г„, которое величина Г имеет в этом состоянии: 7= ~ чг„")чг„с(д=)„. ') Мы условимся обозначать везде операторы буквамн со шляпной. ') Ниже мы будем обычно, ногда зто не может привести к иедора. зуменню, опускать скобки в выражении (7Р), причем оператор предполагается действующим на написанное вслед за ним выражение.
22 основные понятия квантовой механики (гл. ~ Очевидно, что для этого должно быть 1Ч'„= 1„Ч"„, (3,6) т. е. в результате воздействия оператора 7 собственная функция Ч'. просто умножается на соответствующее собственное значение ).. Таким образом, собственные функции данной физической величины являются решениями уравнения г'Ч' = 7Чт, (3,7) где ) — постоянная, а собственные значения — это те значения постоянной, при которых написанное уравнение имеет решения, удовлетворяющие требуемым условиям, Как мы увидим ниже, вид операторов для различных физических величин может быть установлен нз прямых физических соображений, и тогда указанное свойство операторов дает возможность находить собственные функции и собственные значения путем решения уравнений (3,7).
Как собственные значения вещественной физической величины, так и ее средние значения во всяком состоянии— вещественны. Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на свойства соответствующих операторов. Приравняв выражение (3,6) комплексно ему сопряженному, голучим соотношение ~ Ч" (~Ч") й) = ) Ч'(~*Ч") й~, (3,8) где )' обозначает оператор, комплексно сопряженный с 7". Для произвольного линейного оператора такое соотношение, вообще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
