1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Функции же Чгг(а) являются, с одной с~проны, собственными функциями величины ) в а-представ- лении и, с другой стороны, их комплексно сопряженные функции Чг! (а) представляют собой собственные функции координаты д в )-представлении. Существуют такие физические величины, которые об- ладают в некоторой области своих значений дискретным спек~ром, а в другой — непрерывным. Для собственных функций такой величины, разумеется, имеют место все те же соотношения, которые были выведены в этом и предыдуших параграфах.
Надо только отметить, что полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложение произвольной вол- новой функции по собственным функциям такой величины имеет вид Чг (а) = ~ч" „а„')г„(д) —, ~ а Ч' (Ч) с((, (5,6) ') Анвлогнчное соотношение может быть, конечно, выведено и длн дискретного спектра, где оно имеет внд ~'р„(Ч') р„(Е)=б(» — д). (з,зв) ВО ОСНОННЫИ ПОНЯТИЯ КВЛИТОНОй МЕХАНИКИ [ГЛ.
! где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непрерывному спектру. Примером величины, обладающей непрерывным спектром, является сама коордннатад. Легко видеть, что соответствующим ей оператором является простое умножение на д. Действительно, поскольку вероятность различных значений координаты определяется квадратом ~Ч'(д)Р, то ее среднее значение д=(ч) Ч~)-йд= ~ Ч~*ОЧГНЧ. Сравнив это выражение с определением операторов согласно (3,5), мы видим, что ') ° (5,7) Собственные функции этого оператора должны определяться, согласно общему привилу, уравнением ЧЧГ =д»Чт»,, где посредством д, временно обозначены конкретные значения координаты, в отличие ог переменной О. Поскольку это равенство может удовлетворяться либо при Ч"» =О, либо при д=дю то ясно, что удовлетворяющие условйю нормировки волновые функции Ч'„= б (д — д,).
(5,8) В 6. Предельный переход ') В дальнейшем мы условимся для простоты обозначений писать операторы, сводящиеся к умножению на некоторую величину, просто в виде самой этой величины, без шляпки над буквой, Квантовая механика содержит в себе классическую в качестве предельного случая. Возникает вопрос о том, каким образом осуществляется этот предельный переход. В квантовой механике электрон описывается волновой функцией, определяющей различные значения его координаты; об этой функции нам известно пока лишь, что она является решением некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных. В классической же механике электрон рассматривается как материальная частица, движущаяся по траектории, вполне определяющейся уравнениями движения.
Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное взаимоотношению между квантовой и классической механикой, имеет место в электродинамгке ннедельный пенеход между волновой и геометрической оптикой. В волновой оптике электромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетворяющими определенной системе линейных дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике рассматривается распространение света по определенным траекториям — лучам. Подобная аналогия позволяет заключить, что предельный переход от квантовой механики к классической происходит аналогично переходу от волновой к геометрической оптике.
Напомним, каким образом математически осуществляется этот последний переход (см. 1$ 74). Пусть и — какая-нибудь из кампонент поля в электромагнитной волне. Ее можно написать в виде и=не'е с вещественными амплитудой а и фазой ф (последнюю называют в геометрической оптике эйконалом). Предельный случай геометрической оптики соответствует малым длинам волн, что математически выражается большой величиной изменения ср на малых расстояниях; это означает, в частности, что фазу можно считать большой по своей абсолютной величине.
Соответственно этому исходим из предположения, что предельному случаю классическон механики соответствуют в квантовой механике волновые функции вида Ч'=ае", где а — медленно меняющаяся функция, а тр принимает большие значения. Как известно, в механике траектория частиц может быть определена из вариационного принципа, согласно которому так называемое действие 5 механической системы должно быть минимальным (принцип наименьшего действия). В геометрической же оптике ход лучей определяется так называемым принципом Ферма, согласно которому должна быть минимальной «оптическая длина пути» луча, т.
е. разность его фаз в конце и в начале пути. Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза волновой функции в классическом предельном случае должна быть пропорциональна механическому действию 5 рассматриваемой физической системы, т. е. должно быть З=сопз1 «р. Коэффициент пропорциональности называется постоянной Планка и обозначается буквой тз '). Она имеет ') Она была введена в физику Максом Цлалколв )900 т. Постоян. ная Г». которой мы пользуемся везде в этой кинге, есть, собственно говоря, постоянная Планка Ь, деленнаи на 2к (обозначение Дирака). осиовныг понятия квлк«овод икххники (гл.
и размерность дейстяня (поскольку Ч~ безразмерно) и равна г» =-1,054 1О " зрг сек. Таким образом, волновая функция «почти классической» (или, как говорят, квазиклассической) физической системы имеет аид — 5 Ч"=-ае" (6,1) Постоянная Планка играет фундаментальную роль ао всех квантовых явлениях. Ее относительная величина (по сравнению с другими велйчинами той же размерности) определяет «степень квантовостн» той и пи иной физической системы.
Переход от квантовой к классической механике, соответствуя большой фазе может быть формально описан как переход к пределу г» 0 (подобно тому как переход от волновой к геометрической оптике соответствует переходу к пределу равной нулю длины волны, ) 0). Мы выяснили предельный вид волновой функции, но еще остается вопрос о том, каким образом она связана с классическим движением по трехгорки. В общем случае движение, описываемое волновой функцией, отнюдь не переходит в движение по определенной траектории.
Ее связь с классическим движением заключается в том, что если в некоторый начальныи момент волновая функция, а с нею и распределение вероятностей координат заданы, то в дальнейшем это распределение будет «перемещаться» так, как это полагается по законам классической механики (см. об этом подробнее в й 26). Для того чтобы получить движение по определенной траектории, надо исходить из волновой функции особого вида, заметно отличной от нуля лишь в очень малом участке пространства (так называемый волновой пакет); размеры этого участка можно стремить к нулю вместе с г».
Тогда можно утверждать, что в квазиклассическом случае волновой пакет будет перемещаться в пространстве по классической траектории частицы. Наконец, каантовомеханические операторы в пределе должны сводиться просто к умножению на соответствующую физическую величину. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ й 7.
Матрица плотности Описание системы с помощью волновой функции соответствует наиболее полному возможному в квантовой механике описанию — в смысле, указанном в конце З 1. С состояниями, не допускающими такого описания, мы столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некоторой ббльшей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая система в целом находится в некотором состоянии. описываемом волновой функцией Ч'(д, х), где х обозначает совокупность координат рассматриваемой системы, а д— остальные координаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, отнюдь не распадается на произведение функций только от х и только от и, так что система не обла дает своей волновой функцией.
Пусть 7 есть некоторая физическая величина, относящаяся к нашей системе. Ее оператор действует поэтому только на координаты х, но не на д. Среднее значение этой величины в рассматриваемом состоянии есть Г = ) ) Ч" (д, х) 7 Ч' (и, х) йд дх. (7,! ) Введем функцию р(х', х), определяемую посредством р (х', х) = ~ Ч'ч (д, х') Чт(д, х) Й), (7,2) где интегрирование производится только по координатам д; се называюг матрицей плотности системы. Положив в ней х=х', получим функцию р (х,х) = ~ / Чг" (Ч х) /~г(п (7,2) ) =- ) [ г р (х',х) 1,, г(х. (7,4) Здесь 7 действует в функции р (х', х) только на переменные х; после вычисления результата воздействия надо положить х'=х. Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно определяющую, очевидно, распределение вероятности для координат системы.
С помощью матрицы плотности среднее значение можно написать в виде 34 основнык понятия квантовой икханнкн (гп. ~ .вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Отсюда следует, что с помощью р(х', х) можно определить также и вероятности различных значений физических величин системы. Таким образом, мы приходим к выводу, что состояние системы, не обладающей волновой функцией, может быть описано посредством матрицы плотности ').
Матрица плотности не содержит координат д, не относящихся к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от состояния замкнутой системы в целом. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания систем. Описание же с помощью волновой функции является частным случаем, отвечающим матрице плотности вида Р (х', х) = Ч'* (х' ) Ч' (х). Между этим частным случаем и общим случаем имеется следующее важное различие. Для состояния, обладающего волновой функцией (такое состояние называют иногда киспгым), всегда существует такая полная система измерительных процессов, которые приводят с достоверностью к определенным результатам.
Для состояний же, обладающих лишь матрицей плотности (их называют смеианмыми), не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам. ') Способ квантовомеканнческого описания такнх состояний был впервые введен неаавнснмо Л. Д.
Ландау н гр. Блохом (1927). Глава И ЗАКОНЪ| СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 1й — = ЙЧ' д~ (8,1) где Й вЂ” некоторый линейный оператор; множитель 1й введен здесь с целью, которая выяснится ниже. Поскольку интеграл ) Ч'"Ч'дд есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем и,')~~~™ дЧ и "ч+;) а| Ч "и Подставив сюда (8,1) и применив во втором интеграле определение транспонированного оператора, пишем (опустив й 8, Гамильтониан Волновая функция Ч" полностью определяет состояние физической системы в квантовой механике. Это значит, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени — конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще допускается квантовой механикой. Математически это обстоятельство выражается тем, что значение производной дЧ'/д( от волновой функции по времени в каждый данный момент времени должно определяться значением самой функции Ч' в тот же момент, причем зависимость эта должна быть, согласно принципу суперпозиции, линейной.
В наиболее общем виде можно написать 36 зьконы сокгьнзння в квьнтовой мвкьннкв [гл. и общий множитель [Нй) ~ Ч~~ЙЧ«й~ — ~(ЧгйьЧга д(=~Ч ьйЧ дЧ вЂ” ~ Ч~вй~ Рд[= ==~Ч'"(Й вЂ” Й ) Рд[-6. Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции Ч", то отсюда следует, что должно быть тождественно Й.=Й', т. е. оператор Й эрмитов. Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся предельным выражением (6,1) волновой функции и напишем дч' ~, д5 — = — ' — Ч' д~ й дг (медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференцировать). Сравнивая это равенство с определением (8,1), мы видим, что в предельном случае оператор Й сводится к простому умножению на величину — дЗ/д1. Это значит, что последняя и есть та физическая величина, в которую переходит эрмитов оператор Й. Но производная — дЗУд1 есть не что иное, как функция Гамильтона Н механической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
