1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для произвольного оператора 7 можно указать, как говорят, транспонированиай с ним оператор ~, определяемый так, чтобы было ~Ф(~Ч')ад= ~Ч'дФ)ад, (3,9) где Ч'„Ф вЂ” две различные функции. Если выбрать в качестве функции Ф сопряженную с Ч' функцию Ч'~, то сравнение с (3,8) показывает, что должно быть (3, Рй) Ч 31 23 ОПЕРАТОРЫ Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрмитовыми. Таким образом, операторы, соотвегсгвуюшие в математическом аппарате квантовой механике вещественным физическим величинам, должны быть эрмитовыми. формально можно рассматривать также и комплексные физические величины, т. е.
величины, собственные значения которых комплексны. Пусть ) есть такая величина. Тогда можно ввести комплексно сопряженную с ней величину ГР, собственные значения которой комплексно сопряжены с собственными значениями (, Оператор, соответствуюший величине 1"', обозначим посредством 1, Его называют сопряженным оператору )' и его необходимо, вообше говоря, отличать от комплексно сопряженного оператора 1.=. Лействительно, по определению оператора 1' среднее значение величины г"* в некотором состоянии Ч' есть ~~ = ) Ч" Р (+Ч" 4). С другой стороны, имеем ()) = [~ Ч"*1Ч" гй)~ и = ~ Ч'(*Ч"а г(п = ~ Ч'~~~ Ч" г(Ф Приравняв оба выражения, найдем, что (3,! 1) откуда ясно видно, что )+, вообще говоря, не совпадает с ~*.
Условие (3,10) можно написать теперь в виде 1=-)", (3,12) т. е. Оператор вещественной физической величины совпадает со своим сопряженным (эрмитовы операторы называют поэтому также саиосопряженнььии). Пусть 1„1 — два различных собственных значения вещественной физической величины Г, а Ч'„, Ч' — соответствуюшие им собственные функции: ~Ч'„= г',Т„РГ„=-1 Ч' .
Умножив обе стороны первого из этих равенств на Ч"„", а равенство, комплексно сопряженное второму,— на Ч'„ и вычтя их почленно друг из друга, получим У;„)Ч'„— Ч'.) РЧ „', ==- ()„— (,„) Ч"„Ч';„. 24 ОСНОВНМВ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МВХАНИКИ (ГЛ. ! Проинтегрируем обе части этого равенства по й!. Поскольку 1*=~, то в силу (3,9) интеграл от левой части равенства обратится в нуль, так что получим ()„— 1„) 1 Ч„Ч." й)=О.
При ~АФ~ отсюда следует, что 1Ч„'Р„" (О=О, — различные собственные функции, как говорят, азаилто ортогональны. Вместе с условием нормировки этих функций этот результат можно записать в виде (3,13) где 6„„,=-1 прн а=т и Ь„=О при а~т. Таким образом, совокупность собственных функций Ч'„ Образует полную систему нормированных и ортогональных (или, как говорят для краткости, Ортонормированных) функций.
Легко определить теперь коэффициенты а„ разложения (3,2). Для этого достаточно умножить обе стороны (3,2) на Ч'" и проинтегрировать по ф. В силу (3,13) обратятся в нуль все члены суммы за исключением лишь члена с н=т, и мы найдем, что а„=) Ч'Ч'" гй), (3,!4) Мы все время говорим здесь только об одной физической величине ~, между тем как следовало бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеримых физических величин. Тогда мы нашли бы, что каждой из этих величин 1, а, ...
соответствует свой оператор ), д', ... Собственные функции Ч'„соответствуют состояниям, в которых все рассматриваемые величины имеют определенные значения, т. е. соответствуют определенным наборам собственных значений )'„, а„, ..., и являютси совместными решениями системы уравнений сложаииа и эмножкина опегатоэоа $4. Сложение и умножение операторов Если г и и — операторы, отвечающие двум физическим величинам ) и и, то сумме 1+й отвечает оператор ~+у. Смысл сложения различных физических величин в квантовой механике, однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы эти величины одновременно или нет.
Если величины 1 и д одновременно измеримы, то операторы ) и й имеют совместные собственные функции, которые являются в то же время и собственными функциями оператора ~+у, а собственные значения последнего оператора равны суммам ~„+й„. Если же величины Г и д не могу~ иметь одновременно определенных значений, то смысл их суммы )+д более ограничен. Можно лишь утверждать, что среднее значение этой величины в произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого из слагаемых в отдельности: (4,1) Что же касается собственных значений и функций оператора )+д, то здесь они не будут иметь, вообще говоря, никакого отношения к собственным значениям и функциям величин ) и д.
Очевидно, что если операторы )т н й — эрмитоаы, то эрмитовым будет и оператор ~+у, так что его собственные значения вещественны и представляют собой собственные значения определенной таким образом новой величины )+й. Пусть теперь снова 1 и д — одновременно измеримые величины. Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произведении как о величине, собственные значения которой равны произведениям собственных значений величин ) и и.
Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию сначала одного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается математически как произведение операторов Г" н й. Действительно, если Ч'„— общие собственные функции операторов )т и д, то имеем осноанвв понятия квантовой механики (гл. ~ (символ )д обозначает оператор, действие которого на функцию Ч' заключается в последовательном действии сначзла оператора д на функцию Ч", а затем оператора ) на функцию хттр).
С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора Ц оператор д~, отличающийся ог первого порядком множителей. Очевидно, что результат воздействия обоих этих операторов на функции Ч'„будет одинаковым. Но поскольку всякая волновая функция Ч' может быть представлена в виде линейной комбинации функций Ч'„„то отсюда следует, что одинаковым будет результат воздеяствия операторов Я и д~ и на произвольную функцию. Этот факт может быть записан а виде символического равенства (д=й) или 1в И=0.
(4,3) О таких двух операторах ( и д говорят как о комдгутативно~х друг с другом '). Таким образом, мы приходим к важному результату: если две величины ( и д могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны. Может быть доказана и обратная теорема: если операторы ( и д коммутатнвны, то у них асе собственные функции можно выбрать общими, что физически означаетодновременную измеримость соответствующих физических величин. Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин. Если же величины ) и гт не измеримы одновременно, то понятие их произведения не имеет указанного выше прямого смысла.
Это проявляется уже в том, что оператор )й в этом случае не будет эрмитов, а потому не может соответствовать какой-либо физической величине. Действительно, по определению транспонированного оператора, пишем () Ч') аО бц = ')(асср) ((кЧ') бЧ. Здесь оператор ) действует только на функцию Чп, а опера') Саму же разность )о — от' называют кохсвуиааором двух операторов. 27 з б! непРЯРНВныЙ спектР тор д — на Ф. Применив еще раз определение транспони- рованного оператора, пишем ) Ч")аФгй) = ~ (Ь)(аФ) бЧ= ')ФИЧ"М. Таким образом, мы получили интеграл, в котором по сравнению с первоначальным функции Ч' и Ф поменялись местами, Другими словами, оператор д~ есть оператор, транспонированный с Ц, и мы можем написать 1а=И, — оператор, транспонированный с произведением ~д, есть произведение транспонированных множителей, написанных в обратном порядке.
Взяв комплексно сопряженноеот обеих сгорон равенства (4,4), найдем, что (~й).~- — д+ 7+ (4,5) Если каждый из операторов ~ и д — эрмитов, то (~д)+ =ф. Отсюда следует, что оператор Я будет эрмитов, только если множители 7 и й коммутативны. й 5. Непрерывный спектр Все введенные в Я 3 и 4 соотношения, описывающие свойства собственных функций дискретного спектра, без труда могут быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных значений.
Мы перечислим их здесь, не повторяя заново всех соответствующих рассуждений, Пусть г — физическая величина, обладающая непрерывным спектром. Ее собственные значения мы будем обозначать просто той же буквой Г без индекса, а соответствующие собственные функции будем писать как Ч'и Подобно тому как произвольная волновая функция Ч" может быть разложена в ряд (3,2) по собственным функциям величины с дискретным спектром, она может быть разложена — на этот раз в интеграл — и по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.
Такое разложение имеет вид Ч (Ч) = ) п,Ч, (4) ((. (5,1) 28 ОснОВныи понятия кВАнтОВОЙ а1ехлникн [Гл. ! Коэффициенты разложения а = ~ Чт (д) Ч'," (д) с(4. (5,2) Поскольку ( может принимать непрерывный ряд значений, надо говорить теперь ие о вероятности того или иного одного значения, а о вероятности величине иметь значения В бесконечно малом интервале между )' и (+т().
Эта вероятность дается выражением (аг(вф, подобно тому как в случае дискретного спектра квадрат !а„ р дает вероятность собственного значения („. Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений ( должна быть равна 1, то имеем ) (а (в 4=1 (5,3) (аналогично соотношению (3,3) для дискретного спектра). Написанные формулы предполагают определенную нормировку собственных функций Чти Именно, они должны быть нормированы правилом )~ 'р) Ч',е(4=-б(à — й, где справа стоит б-функция (ее определение и свойства были даны в 1Ч 54) ').
Лействительно, подставив (5,1) в (5,.2), получим равенство а = ~ а,,( ~ ЧтпЧт",е(т)) 4', т) Дельта-функция была введена в теоретическую фиаииу дираком. которое должно выполняться тождественно. При условии (5,4) зто требование действительно выполняется, так как по свойствам б-функции ~ О~ б (à — 1) е((' = ау. Правило нормировки (5,4) заменяет собой условие (3,13) дискретного спектра. Мы видим, что функции Чте и Чт~ с )~)' по-прежнему взаимно ортогональны. Интегралы жв Ог квадратов (тРГ~'-' собственных функций непрерывного спектра обращаются в бесконечность. К вопросу о происхождении и смысле атой расходимости леы вернемся в конце з 1О.
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР Если подставить (5,2) в (5,!), то получим Ч'(Ч) = ~ Ч'И)(~Ч'; ЮЧ',(Фй),'! И, откуда заключаем, что должно быть ') 1 Ч'г М) Ч'г р(! Е() = б(г( — В'). (5,5) Сравнив пару формул (5,!), (5,4) с парой (5,2), (5,5), мы видим, что, с одной стороны, функции Чгг(а) осуществляют разложение произвольной функции Чг(г)) с коэффициентами разложения ап а, с другой стороны, формулу (5,2) можно рассматривать как совершенно аналогичное разложение функции ат=а()) по функциям Чг! (д), причем роль коэффи- циентов разложения играет Чг(а). Функция а((), как и Чг(а), вполне определяет состояние системы; о ней говорят как о волновой функции в (-гтредстаолении (а о функции Ч' (а)— как о волновой функции в координатном или Фпредстав- лении). Подобно тому как !Ч'(д)!в определяет вероятность системе иметь координаты в заданном интервале дд, так )а (() !т определяет вероятность значений величины ) в задан- ном интервале г((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
