1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Плотность потока в падающей волне пропорциональна я», в отраженной я,!ВР, а в прошедшей й,~АР. Определим коэффициент прохождения 1» как отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей: В=ф(А)'. (28,3) Аналогично »южно определить коэффициент отражения Я как отношение плотности отраженного потока к падающему; о ч свили о, что В = 1 — Вц Р =(В(» =-1 — '( А !» /г, (28,4) (это соотношение между А и В выполняется автоматически). Если частица движется слева направо с энергией Е (»«, то й» вЂ” мнимая величина, н волновая функция экспоиенциально затухает внутрь потенциальной стенки. Отраженный поток равен падающему, т. е.
частицы полностью отражаютсн от стенки, Е 28) коэь»ицнант пгохождення 1ОЗ Лналогичным образом рассматривается явление прохож. дения через потек«1иальный барьер — участок пространства, в котором потенциальная энергия превьппает полную энергию частицы (на рис, 5 изображен одномерный барьер). В з 22 было уже упомяну. то, что в квантовой меха- п«е нике падающая на барьер частица может с отличной от нуля вероятностью прой- 7, гу= 7Г ти «сквозь него». Проницае- ! мость барьера для падаю- Й э щих на него частиц можно характеризовать коэффициентом прохождения, снова определяемым как отношение плотности прошедшего через барьер потока к плотности падающего.
Зтот коэффициент можно оценить в общем виде для одномерного барьера, удовлетворяющего условию квазиклас. сичности. Напомним, что согласно этому условию (см. (26,12)) «классический импульс» частицы р (х), а с. ним и сама потенциальная энергия У(х) должны меняться с х достаточно медленно. Зто значит, что квазиклассический потенциальный барьер должен быть пологим, а тем самым и широким, и потому коэффициент прохождения в квази. классическом случае мал. Пусть частицы падают на барьер слева, из области 1 (рнс. 5). В «классически недоступной» области П волновая функция убывает слева направо по экспоненциальному закону ф ех𠆆~ (р1«(х , (р) =3/'2л»(У вЂ” Е) ~ г О (ср.
(26,11)); сравнительно медленно меняющиеся, не экспоненциальные множители здесь и ниже опускае»ь На другой границе барьера (в точке х=Ь) волновая функция будет, следовательно, ослаблена в отношении » А„ а 104 (гл. !н УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГРРА Задачи 1. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной стенки (рис. 6); энергия частицы Г) (Гз. Р е ш е н и е. Во всей области х>0 волновая функция имеет вид (28,1), а в области х<0 — (28,2). Постоянные А и В определяются из условия непрерывности ф и г(фгах при х=О: 1+В=А, Гг, (! — В)=зтА, 2Р, А= — —, Р,+йт ' откуда В =. (г1 — Ре Ггг таз Коэффициент отражения (28,4)') (яг Еа) (Рз Рз) ') В классическом предельном случае иоэффициент отражения должен обратиться в нуль.
Между тем полученное выражение вовсе не содержит квантовой постоянной. Это кажущееся противоречие разъясняется следующим образом, Классическому пределу соответств> ет случай, когда де-бройлевсиая длина волны частицы Х-Гьгр мала по сравнени|о с характеристическими размерами задачи, т. е. по сравнению с расстояниями, на иоторых заметно меняется поле (1(х). В рассматриваемом же схематическом примере это расстояние равно нулю (в точке х=О), так что предельный переход не может быть произведен. но сравнению с ее значением в падающей волне (в точке х а). Плотность потока пропорциональна квадрату модуля волновой функции (снова с точностью до медленно меняющихся множителей).
Поэтому отношение прошедшего через барьер потока к плотности падающего потока Р - ех р — — ~ ( р ! г(х 2 Г (28,5) й,) а Эта оценка для коэффициента прохождения через барьер остаегся справедливой н в тех (более реальных) случаях, когда барьер квазиклассичен не на всем, а лишь на большей части своего протяжения. Таковы случаи, когда кривая потенциальной энергии полога лишь с одной стороны барьера, а по другую сторону идет настолько круто, что квазиклассическое приближение неприменимо. Общее условие применимости формулы (28,5) состоит в том, что стояшан в экспоненте величина должна быть велика. 195 коэввицнент пгохождення Прн Е'.— —.
Уе (йэ=О) )7 обращается в единицу, а прн Еьвь стремится к нулю. как (Уа/4Е)а. 2: Определить коэффициент прохождения частипы через прямоугольный потенциальный барьер (рис, 7). Рис. 6. Рис. 7. Р е щ е н и е. Пусть Е> Уз и падающая частица движется слева направо, Тогда имеем для волновой функции в различных областях выражения вида: при х < 0 ф=ега'"+Ае при 0 < х < а ф = Вегащ+ В'е при х > а ф=-Сагам При Е<Уз й,— мнимая величина; соответствующее выражение ° ь ...,....
ь, — т Бгс —. е): 4й~~ивэ (йз -Ь иза)" зпэ ан, + 4Д1иэ по формуле (28,5) коэффициент прохождения через барьер, изображенный на рис. 8: У (х)=-0 прн х<0. пря х>0. е. Простое вычисление приводит к результату 3. Оценить потенциальный и (х)= ив — Ех Решени 4$' 2ач )) ехР ~ — — (Уе — Е) ат' ~. Звг" (со стороны х) и должна быть только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении осн х).
Постоянные А, В, В', С определяются из условий непрерывности 1р и оф)дх в точках х=О, а. Коэффициент прохождения определяется как () — Д,~с!э)Д,— ~Е~з При вычислении получается следующий результат: 4йгйе (йг — йэ)' з) нз олэ+ 4йгйэ 106 (гл. ш зилвнинив шивдингкил 4. Оценить вероятность выхода частицы (с равным нулю момеитолй яз центрально.симметричной потенциальной ямы: (г'(г)= — Уе прн г<ге, а при г>ге — кулоноао отталкивание: У (г)=а)г (рис.
9). Рис. 9. Рис. 8. Р е ю е н н е. Согласно (28,5) имеем 1) ше " -„Гзц ( г),] гг н иычнслеиие интеграла дает ю ехР ( — — ~ '~/ — агссоа ~гг — '" — ~гг и' (1 — — "') ~ ~ В предельном случае ге-го эта форлгула переходит н ехр ( рг у ) =ехр ( — — ) Зги формулы применимы, когда показатель велик, т.
е. и4е~) и й 29. Движение в центрально-симметричном поле Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, — аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике (1 й 11). ') Здесь используется то обстоятельство, что задача о дииженин настины (с равным нулю моментом) и центральном поле сводится к задаче об одномерном диижеиия с той же потенциальной энергией — см. В ЗО. $291 движение в цквтклльно-симмктгичном полк 10? (29, 2) гк аг 1 г лг 1+ — 2'Ф1+ У(г)ф=Ет.
(29,6) Гамильтониан двух частиц (с массами ж„л4), взаимодействующих по закону (Г(г) (г — расстояние между частицами), имеет вид Ц = — — Л, — — Л, -(- У (г), (29,1) где Л„Л, — операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо г, и г, новые переменные К и г: т,г,+т,г, г=г,— г„К= т,+т, (г — вектор взаимного расстояния, а К вЂ” радиус-вектор центра инерции частиц). Простое вычисление приводит к результату Й = — Лл — — й + У (г) (29,3) М й2 (Ая и о — операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов К и г; т,+т, — полная масса системы, гп=т,т,!(ш,+ж,) — приведенная масса), Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей.
Соответственно этому можно искать ф(г„г ) в виде произведения ф(К)ф(г), где функция ср(К) описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой т,+гп,), аф(г) описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы и в центральном поле У(г)), Уравнение Шредингера для движения частицы в центральном поле имеет вид оф+ т(Š— (1(г)) ф = О. (29,4) Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, .пишем + —, [Š— 0 (г)1 ф = О. (29,5) Если ввести сюда оператор (14,15) квадрата момента Р, то мы получим (гл.
и! эелвнениа шгелингаел При движении в центральном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента 1 и его проекции гп. Заданием значений 1 и га определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому ищем решения уравнения (29,6) в виде ф = )~ (г) 1' (О.
Ч). (29,7) Вспомнив, что собственная функция момента удовлетворяет уравнению 1«У~ — — 1(1+1) У1, получим для «радиальной функцииэ )г(г) следующее уравнение: — — ~г — ~ — К+ — [И вЂ” и(г))К=О. (29,8) 1 Д / 3 дн~ 1(!+1) 2п! г. Пг ~ ' Лг ) г« Й« Заметим, что это уравнение не содержит вовсе значения (,=и, что соответствует известному уже нам (21+1)-кратному вырождению уровней по направлениям момента. Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой )т(г)=— Х (г) (29,9) уравнение (29,8) приводится к виду — „, + ~„—,( — и) — —,~ )(=О. (29,10) РХ Г2ж 1(1+ 1)'1 Будем считать, что потенциальная энергия (7(г) если и обращается в бесконечность при г-«-0, то медленнее, чем 1/г', т.
е. г«(7(г) 0 при г- О. (29,11) Зтим исключается возможность «падения» частицы в центр (в поле, в котором (7-+ — оо при г- 0), о чем уже упоминалось в примечании на стр. 78. Тогда волновая функция (а с нею и плотность вероятности )ф Р) остается конечной во всем пространстве, включая точку г=О. Функция же Х=гй должна, следовательно, обращаться при г=О в нуль: х(о) =о.
(29,12) Уравнение (29,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной й 291 ланжкник в пкнтглльио-сяммктгичиом полк 109 энергией 17,(.) = и (.) + , — „, и«1(~+!) (29, 13) второй член здесь можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центральном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие т=О при «=-0), «Одномерный характер> имеет также и условие нормировки для функций т, определяющееся интегралом ~ ) Р )' г«Ж = ~ ) т (««(г = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
