1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(35,4) и! й" Действительно, при аФО написанный предел равен нулю, а прн а=О имеем з(п'а(~аЧ=1, так что предел равен бес- конечности. Интегрируя же по йа в пределах от — со до оо (с подстановкой аг'=-с), получим Таким образом, функция в левой стороне равенства (35,4) действительно обладает всеми свойствами б-функции.
Соответственна этой формуле мы можем написать при больших ( ! а; 1' =- — „, ( )'~; ~' п(6 Я или (учитывая, что 6(их)=-6(х)йх) , „1=- — '„"(Р,(6(Е,— Е,)1. (35,5) Выражение ~ан~'дт~ есть вероятность перехода из первоначального состояния в состояния в интервале йъп Мы видим, что при больших г' оно оказывается пропорциональным истекшему с момента (=О промежутку времени. Без множителя же г это выражение дает вероятность перехода где, отнесенную к единице времени (эта величина имеет размерность !йвк, в противоположность безразмерной вероятности (34,7)): сЫ.—.— '" )~'т, )'6(Š— Е;)гйт.
(35,5) Эта вероятность отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Е,=Е; — как и следовало в согласии с законом сохранения энергии. Наличие в (35,6) 6-функции, выражаюшей этот закон, не означает, конечно, обрашения вероятности в бесконечность при Е,=-Ео что было бы бессмысленным; в действительности 6-функпия устраняется интегрированием по конечному интервалу состояний. Так, если состояния непрерывного спектра не вырождены, 134 теОРия возмущении 1гл, и то под Лч~ можно понимать значения одной только энергии.
Тогда интегрирование (35,6) по дч~ — — дЕ~ приведет к следующему значению вероятности перехода: ш = — !)7а !'. (35,7) Формула (35,6) применима и в тех случаях, когда к непрерывному спектру относится также и начальное состояние системы (как это имеет место в задаче о столкновениях; пример такого применения будет дан в 3 67). Необходимо отметить, однако, что в таких случаях определяемая формулой (35,6) величина йг нв является непосредственно вероятностью перехода; она даже не обладает соответствующей размерностью (1!сек). Выражение (35,6) пропорционально числу переходов в единицу, но его размерность и буквальный смысл зависят от способа нормировки начальных волновых функций непрерывного спектра (так, е(в может оказаться сечением столкновений — см.
пример в 3 67). й 36. Промежуточные состояния Может оказаться, что матричный элемент уп для рассматриваемого перехода обращается в нуль. Тогда формула (35,6) не дает ответа на поставленный вопрос и для определения вероятности перехода надо обратиться к следующему приближению теории возмущений. Вместе с $'н обращается в нуль также и поправка а')>. Для поправки же второго порядка а'~р уравнения (34,3) дают ~й) Й н =~~)7ме"ч~ а,1, (36,1) где суммирование производится по состояниям, для которых матричные элементы переходов й- 7' отличны от нуля. Поправки же первого порядкаа'К определяются уравнениями ~о (ср. (34,4)), откуда аоо = — — "' (енм ' — 1).
/У" — — й мы В 37) соотношение ахопееделанностн для энзегяя 135 Подставив это выражение в (36,1) и проинтегрировав, получим ч "ген'е г а7 = — „, ~ — ) (е' гн — е'"Р') М. ) — й,Л вЂ” „. В интеграле надо сохранить только первый член, который будет содержать малый знаменатель ып. Таким образом, С Ь'ГеК ' е гн — 1 аг" = ймел лоан Это выражение отличается от (35,2) лишь заменой матричного элемента $'и на заключенную в скобки сумму. Соответственно вместо (35,6) получим — д 5 (Ег — Е;) атп (36,2) й ~Е; — де О состояниях й, для которых матричные элементы $'ш и $'ь, отличны от нуля, говорят в этой связи как о промежуточньи для перехода 1- 7.
Наглядно, можно сказать, что этот переход осуществляется как бы в два этапа: 1-+/г и А — ~-7' (разумеется, однако, такому описанию не следует придавать буквального смысла). 3 37. Соотношение неопределенности для энергии Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей. Предположим, что в некоторый момент времени известно, что эти части обладают определенными значениями энергии, которые мы обозначим соответственно как Е и е, Пусть через некоторый интервал времени 57 производится снова измерение энергии; оно даст некоторые значения Е', е', вообще говоря, отличные от Е, е. Легко определить, каков порядок величины наиболее вероятного значения разности Е'-ь' — Š— з, которая будет обнаружена в результате измерения.
Согласно формуле (35,3) вероятность перехода системы (за время г) под влиянием не зависящего от времени возмущения из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е' 136 [гл. щ ткоеия Возмущений пропорциональна 1, 2Е' — Š—, з1пз (е' — п)2 2й Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности Е' — Е порядка величины ЬЙ. Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю (возмущением является взаимодействие между частями системы), мы получим соотношение ( Е+ е — Е' — е' ! Лг -Ф. (37,1) Таким образом, чем меньше ицтервал времени М, тем большее изменение энергии будет обнаружено.
Существенно, что его порядок величины ЬЛг не зависит от величвны возмущения. Определяемое соотношением (37,1) изменение энергии будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка 6!М, где Лг — интервал времени между измерениями. О соотношении (37,1) часто говорят как о соотношении неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл существенно отличается от смысла соотношения неопределенности для координаты н импульса, В последнем Лр и Лх — неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же момент; соотношение ЛрЛх-л показывает, что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго определенных значений.
Энергии же Е и е, напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина (Е+е) — (Е'+е') в (37,1) есть разность двух точно измеренных значений энергии Е+е в два различных момента времени, а отнюдь не неопределенность в значении энергии в определенный момент времени. Если рассматривать Е как энергию некоторой системы, а е — как энергию хизмерительного прибора», то мы можем сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть учтена лишь с точностью до В/Лг. Обозначим посредством ЛЕ, Ле, ...
погрешности в измерениях соответствующих величин. В благоприятном случае, когда е, е' й 37! соотношение нхопееделянности для энаггни !37 нзвестны точно (Ле=Ле'-О), имеем Л (Š— Е') Ф Лг ' (37,2) Из этого соотношения можно вывести важные следствия относительно измерения импульса. Процесс измерения импульса частицы (будем говорить для определенности об электроне) включает в себя столкновение электрона с некоторой другой («измернтельной») частицей, импульсы которой до н после столкновения могут считаться известными точно. К этому процессу надо применить закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Последний, однако, может быть применен как мы видели, лишь с точностью до величины порядка йУЛЕ где Л«' — время между началом и концом рассматриваемого процесса. Лля упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмотреть идеализированный мысленный эксперимент, в котором «измернтельной частицей» является идеально отражающее плоское зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса — перпендикулярная к плоскости зеркала.
Для определения импульса Р частицы законы сохранения нмпульса н энергии дают уравнения Р+Р— Р— Р=0, (37,3) /е'+Е' — е — Е! А лг (37,4) ЛР = ЛР', ЛЕ' — ЛЕ Й аг ' Но ЛЕ=(дЕ(дР) ЛР=оЛР, где о — скорость электрона (до столкновения), н аналогично ЛЕ'=о'ЛР' о'ЛР. Поэтому получаем (о,' — и„) ЛР А (37 б) (Р, Š— импульс н энергия частицы, р, е — то же для зеркала; величины без и со штрихами относятся соответственно к моментам до и после столкновения). Величины р, Р', е, е', относящиеся к «измерительной частице», могут рассматриваться как известные точно, т.
е. нх погрешности равны нулю. Тогда для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных уравнений 138 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. Ра Мы приписали здесь индексы к у скоростей и импульса с целью подчеркнуть, что это соотношение относится к каждой нз их компонент в отдельности. Это н есть искомое соотношение. Оно показывает, что измерение импульса электрона (при заданной степени точности ЬР) неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого импульса). Это изменение тем больше, чем короче длится са»и процесс измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угодно малым лишь при Лт- оо; но измерения импульса, длящиеся в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь для свободной частицы.
Здесь в особенности арко проявляется неповторимости измерения импульса через короткие промежутки времени, н «двуликая» природа измерения в квантовой механике — необходимость различать измеряемые знацения величины н значения, создаваемые в результате процесса измерения '). 5 38. Квазнстацнонарные состояння .К произведенному в начале предыдущего параграфа выводу можно подойти н с другой точки зрения, применив его к распаду системы, происходящему под влиянием какого- либо возмущения. Пусть Е, — некоторый уровень энергии системы, вычнсленный прн полном пренебрежения возможностью ее распада.
Посредством т обозначим продолжитедьносоть жизни этого состояния системы, т. е. величину,обратную вероятности го распада в единицу времени: т=- —. 1 (38,1) Тогда тем же способом найдем, что [Е,— Š— в! Ф где Е, е — энергия обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме Е+а можно судить об энергии системы до распада. Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы может быть определена лишь с точностью до величины порядка Ыт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
