1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Спинором 2-го ранга называется, вообще, совокупность четырех величин ф", «р"., «р««, «р«', преобразующихся при поворотах системы координат как произведения соответствующих компонент двух спиноров 1-го ранга (но, конечно, отнюдь не обязательно фактически сводящихся к таким про- 150 [гл. и с.ппн изведениям) '). У симметричного спинора 2-го ранга ф" =- =фа', так что он имеет всего три независимые компоненты '). Их соответствие с компонентами волновой функции ф (а) устанавливается формулами: ф(1)=ф, ф(9)=)У2фгз, ф( — 1)=фза. (4[,й) Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена и как трехмерный вектор ф. Это очевидно уже из того, что трехмерный вектор есть совокупность того же числа (трех) величин, преобразующихся друт через друга при поворотах системы координат.
Соответствие между компонентами симметричного спинора 2-го ранга и компонентамн вектора устанавливается следующими фор. мулами: з)ы= — (Ф,— (ф ) Ф" =чР +(ф ф"=Ф, (41,9) Их смысл состоит в том, что стоящие в левых сторонах равенства компоненты спинора преобразуются по тому же закону, что и стоящие в правых сторонах комбинации компонент вектора. В правильности этого соответствия можно убедиться на примере поворота вокруг оси г, для которого закон преобразования спиноров получается из (41,1) ').
С другой стороны, из общеизвестного закона преобразования компонент вектора при произвольном повороте осей координат, сравнением по формулам (41,9), можно найти обгций закон преобразования спиноров (т. е. зависимость коэффициентов преобразования (41,3) от углов поворота); мы не будем останавливаться здесь на.этом.
') Подобно тому, как тензор второго ранга — совокупность величин, преобразующихся как произведения компонент вектора. ') Антисимметричный же спинор 2-го ранга содержит всего одну независимую компоненту (фгг=фза=б, фта= — фз'). Ее свойства совпадают са свойствами рассмотренной выше величины (41,4). Другими словами, антисимметричный спннор 2-го ранга сводится к скаляру. '") Согласно (41,1) и (41,2) имеем ф" =е1ч)зф' фе'= — е "озфз где ф', фз' — компоненты спинора в системе координат, повернутой относительно первоначальной системы на угол ю вокруг оси г.
Для компонент спииора 2-го ранга имеем поэтому фгг — а~о~)11 ф12' — фтз фам — з-гэйла Такими же формулами связаны друг с другом компоненты вектора Фл †)фг, ф„ ~ря-(-)фг в обоих системах координат. $42) ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 151 Наконец, в общем случае частицы с произвольным спином волновая функция представляет собой симметричный по всем своим индексам спинор ранга 2з. Легко видеть, что число независимых компонент такого спинора равно, как и должно быть, 2з+1. Действительно, поскольку порядок расположения индексов у симметричного спинора весуществен, то различными будут лишь компоненты среди индексов, которых имеется 2з единиц и О двоек, 2з — 1 единиц и 1 двойка, и т.
д. до О единиц и 2з двоек '). 4 42. Поляризация электронов Важное свойство, специфическое для частиц со спином '!, (будем говорить — электронов), состоит в том, что если состояние электрона описывается некоторой волновой функцией, то существует такое направление в пространстве, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение З,=Ч,. Это направление можно назвать направлением полярмзации электрона, а об электроне в таком состоянии говорят, что он полностью поляризовпн. Действительно, надлежащим выбором направления оси г всегда можно обратить в нуль одну из компонент (например / ю' трз) заданного спинора ар= ( ,х! — волновой функции ча(,р) стицы со спином гЧю Это очевидно уже из того, что направление в пространстве определяется двумя величинами (например, двумя углами сферической системы координат), т.
е. число имеющихся в нашем распоряжении параметров как раз равно числу величин (вещественная и мнимая части комплексного т)'), которые мы хотим обратить в нуль. Равенство же ф'==О означает обращение в нуль вероятности собственного значения з,= — 'Ч,. Отметим, что для частицы со спином з)Ч, обратить тем же способом все, кроме одной, компоненты волновой функции в нуль было бы невозможно — их число слишком велико.
') По математической терминологии говорят, что симметричные спиноры рангов 1, 2, 3,... осуществляют собой все неприводимые представления группы вращений (ср. примечание на стр. 55), Размерность этих представлений равна 2з+1 и пробегает все значення 1, 2, 3, когда з=о,",„1,... Представления, осуществляемые собствениымн функциями орбитального момента чрса! (о которых шла речь в 4 18),— частный случай, отвечающий размерностям 1, 3, 5...
152 [гл. ч сппи Пусть ось г выбрана в направлении поляризации электрона. Вдоль нее же будет, очевидно, направлен и средний вектор спина з, причем по величине он равен '/,. Определим вероятности го~ значений з;=~Ч, проекции спина на другое направление (ось г'), наклоненное под углом 0 к оси г. Проецируя я на ось г', найдем, что среднее значение спина вдоль этой оси есть з, =«1«созй. С другойстороны, по определению вероятностей пг имеем ! з»' (и» ти ) 2 Учитывая также, что и++«и '=1, найдем ,0 .,0 пг, =-соз' —, ги =з!п' —. 2' 2' (42, 1) где суммирование по спиновой переменной о представлено в виде суммирования по компонентам спинора; буквами а, р мы обозначаем в этом параграфе спвнорные индексы, пробегающие значения ! и 2.
Обозначим также жирной буквой и «матричный вектор», компоненты которого — матрицы Пау- ') Напомним, что в этом параграфе (как и в Я 40, 41) мы ие иитересуемся координатной зависимостью волновых функций и потому в (42,2) ие пишем иигегрироваиия по простраистау. Спииор ф предполагается при этом иормироваииым условием 1ф' Г+1ф«1« =1 Наряду с п«пакостью поляризованным, существуют и такие состояния электрона, которые можно назвать частично поляризованными. Эти состояния описываются (в отношении своих спиновых свойств) не волновыми функциями, а лишь матрицами плотности, т. е, они являются смешанными (по спину) состояниями (аналогичные понятия для состояний орбитального движения частиц были введены в 5 7).
Мы придем естественным образом к способу описания таких состояний, рассмотрев сначала определение среднего вектора спина в чистом состоянии (состояние полной поляризации). По определению операторов физических величин, для состояния с волновой функцией ф имеем ') з = ~~' ф* (зф'), 3 42) ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 153 ли о„, огн о,. Согласно (40,!) действие оператора спина з=«),а означает преобразование — з««~ и" гг)г« в где и'з — элементы матриц.
Поэтому можно записать вы- ражение (42,2) в виде — ~~~' ра«,у«В, 2 В, З (42,3) где (42,4) рз«г).,зг)г«« Очевидно, что (р'В)' = рз", (42,5) а в силу условия нормировки волновых функций рм„) рм 1 (42,6) р«а (Р Р ) удовлетворяющей условиям (42,5 — 6) и определяющей з согласно (42,3); в отличие от чистого состояния, однако, элементы этой матрицы не распадаются на произведения (42,4). Абсолютная величина вектора з может иметь значения от 0 до ', Значение 'г', отвечает полной поляризации, а значение 0 — обратному случаю неполяризованного состояния. Четыре комплексные величины р«з эквивалентны восьми вешественным параметрам, но в силу пяти соотношений (42,5 — 6) лишь три из них независимы.
Столько же величин (компонент) содержит и вещественный вектор з. Ясно поэтому, что те и другие определяют друг друга взаимно однозначным образом. Лругими словами, поляризационное состояние частицы со спином г/, полностью определяется заданием среднего вектора спина. В общем же случае частичной поляризации состояние электрона описывается поляризиг)ионной лгатрицей плот- НОСПги 154 (гл. ч спин Среднее значение г-компоненты спина ! ! — с«»граи — (ри р»г) 22м» 2 Р., Отсюда видно, что р" и р" — вероятности собственных значений з,=-»/» и з,= — ",.
Величина же р'«связана со средними значениями з, и з . Воспользовавшись матрицами а,, о„из (40,6), легко убедиться в том, что р" =з,— !'г . У' 3 43. Частица а магнитном поле Частица со спинам обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом р. Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору з, т. е. может быть записан в виде р=р — «» (43,1) где з — величина спина частицы, а р — характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны р,=ро/з. Отсюда видно, что коэффициент р (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение р„ достигаемое при о=-з. Отношение р/Ь дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси г).
Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/2»ас (см. 1 2 66). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спинам частицы оказывается иным. Для электрона он равен — !е(/агс, т. е. вдвое больше обычного значения (мы увидим в дальнейшем, что такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Днрака). Собственный магнитный момент электрона (спин»/,) равен, следоватечьно, — рв где ра= — =0,927.10 "эрг/гаусс. !«(Й В 2«к Эту величину называют магнгтснсл! Бора. ьч 431 частица в магнитном полн 155 2 (р с ) (43,3) ') Отметим, что это равенство (а теч самым и существование электрического молгента у элементарной частицы) противоречило бы также и симметрии по отношению к обращению времени: изменение знака времени не меняет электрический момент, но меняет знак спина (как это очевидно, например, из определения этик величин при орбитальном движении: в определение г! входят лишь координаты, а в определение магнитного момента — также и скорость частицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
