1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (нак и сам спин) при предельном переходе к классической механике. й 47. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе В теории систем, состоящих нз большого числа одинаковых частиц, широко применяется особый метод рассмотре. ния, известный под названием вторичного квантования.
Зтот метод в особенности необходим в релятивистской теории, где приходится иметь дело с системами, в которых само число частиц является переменным '). Пусть ф, (9), ф,(9),...— некоторая полная система ортогональных и нормированных волновых функций стационарных состояний одной частицы.
В качестве таковых обычно выбирают плоские волны — волновые функции свободной частицы с определенными значениями импульса (и проекции спина); при этом, с целью сведения спектра состояний к дискретному, рассматривают движение частиц в большой, но ограниченной области пространства ег (как это было объяснено в конце 9 27). В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний — числа й1„й1„..., указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний ф„ф„... В системе взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются н числа заполнения. Лля такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спинов частиц) играли бы роль независимых переменных, В таком аппарате состояние системы описывается, как говорят, «волновой функцией в пространстве чисел заполнения», которую мы обозначим как Ф ()т'„, 7т1„ ...; 1) (с целью подчеркнуть ее отличие от обычной координатно- ') Метод вторичного квантования был развит Дираком для фотонов, в применении к теории излучения (1927) и затем распространен на фермиоиы Вагнером и Иорданом (192В).
166 (гл. ю тожлвстввииость частиц спиновой волновой функции Ч" ($о $„..., $к; г)). Квадра1' модуля ~Ф~Р определяет вероятность различных значений чисел Уо М„... Соответственно такому выбору независимых переменных, также и операторы различных физических величин (в том числе гамильтониан системы) должны формулироваться в терминах их воздействия на функции чисел заполнения.
К такой формулировке можно прийти, отправляясь от сбычного матричного представления операторов. При этом надо рассмотреть матричные элементы операторов по отношению к волновым функциям стационарных состояний системы невзаимодействующих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать заданием определенных значений чисел заполнения, то тем самым выяснится характер воздействия операторов на эти переменные. Рассмотрим сначала системы из частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Пусть ~7 есть оператор какой-либо величины, относящейся к одной (а-й) частице, т. е.
действующий только на функции переменных $,. Введем симметричный по всем частицам оператор (47,1) (суммирование по всем частицам) и определим его матричные элементы по отношению к волновым функциям (45,3). Прежде всего легко сообразить, что матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения чисел Уо Ж„... (диагональные элементы) и для переходов, при которых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменьшается на единицу. Действительно, поскольку каждый изоператоровЯ действует только на одну функцию в произведенииф ($,)ф (к,)...ф Ям), то его матричные элементы могут быть отличны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом, соответственно, увеличивается на единицу.
Вычисление этих матричных элементов по существу очень просто; его легче произвести самому, чем проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только результат вычисления. Недиагональные а 47) 167 слэчлй стлтистики воза элементы равны <Уп Л7л — 1!Р" ~М; — 1, И,>=Я'1~ Л',Ж~, (47,2) Мы указываем только те индексы, по которым матричный элемент недиагоиален, опуская для краткости остальные. Здесь ~о)л' — матричный элемент: 1Я = ~ "Г 6) 1 '" 'тьл Я) $' поскольку операторы~7 отличаются только обозначением переменных, на которые они действуют, то интегралы (47,3) от индекса а не зависят и этот индекс опущен.
Диагональные матричные элементы от Р" представляют собой средние значениЯ величины гЯо в состоЯниЯх ф„м„.... Вычисление дает ри~ ~ ггоу ! (47,4) Сопряженный с а; оператор а,' изображается по определению (см. (11,9)) матрицей с единственным элементом: <Лг~!и; !У; — 1>=<И~ — 1)~ !У;>*=3/Ус (47,7) Это значит, что при воздействии на функцию Ф (Лг„Л7„...) Введем теперь основные в методе вторичного квантования операторы аи действующие уже ие на функции координат, а на функции чисел заполнения. По определению, оператор ао действуя на функцию Ф(Л'„У„...), уменьшает на единицу значение переменной Л'о одновременно умножая функцию иа г' У~.' аФ (Л(м Ж„..., Уэ...) =У Л7,Ф (Уо Л7,,..., Л1; — 1,,).
(47,5) Можно сказать, что оператор а, уменьшает на единицу число частиц, находящихся в 1-м состоянии; его называют поэтому оператором уничтожения частиц. Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть <Л(,— 1(а,) У;> =3/ Л', (47,6) 168 !гл. щ тождественность члстиц он увеличивает число У, на 1: а,'Ф(У„М„..., й(о ...) = УУ~+1Ф(У„У„..., Ат;+1, ...). (47,8) Другими словами, оператор а;" увеличивает на 1 число частиц в 1-м состоянии; его называют гюэтому оператором рождения частиц. Произведение операторов а,"а, прн воздействии на волновую функцию может лишь умножить ее на постоянную, оставляя все переменные М„У„...
неизменными: оператор а, уменьшает переменную Ут на 1, после чего а,' возвращает ее к исходному значению. Непосредственное перемножение матриц (47,6) и (47,7) действительно показывает, что а;ат изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равнымп )уо Можно написать, что а,-'а, = Мо Аналогичным образом найдем а а+ У,+!. (47,10) Разность этих выражений дает правило коммутации между операторами а, и а,': ата — а а,=1. (47,11) Операторы же с различными индексами ( и й, действующие на различные переменные (М, и-Мх), коммутативны: а;ае — аха,=О, а;ае — аа а;=О ()ФА), (47,12) Исходя из описанных свойств операторов ап а7, легко видеть, что оператор Р" = ~~'., Щ'о,га„ (47,18) ь х совпадает с оператором (47,1).
Действительно, все его матричные элементы, которые можно вычислить с помощью (47,6 — 7), совпадаюЬ с элементами (47,2). Этот результат очень важен. Й формуле (47,13) величины ~ф— просто числа. Таким образом, нам удалось выразить обычный оператор, действующий на функции координат, в виде й 4?1 случАИ стАтистики Бова 169 оператора, действующего на функции новых переменных— чисел заполнения У,. Полученный результат легко обобщается и на операторы другого вида. Пусть АЧИ1 ~~ Т са (4?,! 4) а> Ь где Я' — оператор физической величины, относящийся сразу к паре частиц и поэтому действующий на функции от $, и $ь, Аналогичные вычисления покажут, что такой оператор может быть выражен через операторы а,, а; посредством (47, 15) где ()"')Й = ~ ~ фЬ (5,) ф» Яа) )'*' ф( (5 ) ф.
Яа) (~ Жа О=ХА'+ Х (?Ка(Г., ГЬ) а а>Ь (47,16) Здесь Й,'о есть часть гамильтониана, зависящая от координат только одной частицы, т. е. гамильтоииан свободной частицы: (47, 17) эа Функция же (т"'(г„гь) — энергия взаимодействия двух частиц. Применив к (47,16) формулы (4?,13) и (47,15), получим СИ СИ,Ст (47,18) Таким же образом формулы обобщаются и на симметричные по всем частицам операторы любого другого вида. С помощью этих формул можно выразить через операторы во аь также и гамильтониан фактически исследуемой физической системы из М взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтониан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам.
Так, если взаимодействие в системе сводится к взаимодействию каждой пары частиц, то гамильтониаи имеет вид [гл. щ 17О тождественность частиц Этим осуществляется искомое представление гамильтониана в виде оператора, действующего на функции чисел заполнения. Для системы невзаимодействующих частиц в выражении (47,18) остается только первый член: (47,19) Если в качестве функций ф выбраны (как было условлено) собственные функции гамильтониана Й'и свободной частицы, то матрица НЯ! диагональна и ее диагональные элементы — собственные значения энергии частицы ео Таким образом, Й = ~~р„е; а+;а,; (47,20) заменяя оператор а,+а, его собственными значениями (47,9), получим для уровней энергии системы выражение Е=ф е,дг, (47,21) — тривиальный результат, который н должен был получиться.
Формулы аппарата вторичного квантования можно представить в более компактном виде, введя так называемые ф-операторы: чр (е) =~~.',фг ($) ао ф+($) =~",чрГ ($) ае, (47,22) где переменные 3 рассматриваются как параметры. В силу сказанного выше об операторах ао а; ясно, что оператор чр уменьшает, а ар+ увеличивает полное число частиц в системе на единицу '). С помощью чр-операторов гамильтониан (47,18) напишется в виде Й=1Ф' а) Йн'Ф(рг($+ + ' ('('~+(Р) ф. (Р ) (7 ф (й ) ф(й) и~ Д . (47,28) ') Обратим внимание на аналогню между выраженнямн (47,22) н разложеннем ф =~, овфг произвольной волновой функции по некого.
рой полной снстеме'функцнй. Здесь оно как бы снова квантуется. С этим связано название излагаемого метода вторичным квантованнем. $ 48) СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 171 В этом легко убедиться прямой подстановкой ф-операторов (47,22). Оператор ф ф, построенный из +операторов подобно произведению ф*ф, определяющему плотность вероятности для частицы в состоянии с волновой функцией ф, называют оператором плотности частиц. Интеграл же 7у' = ~ ф+фе$ (47,24) играет в аппарате вторичного квантования роль оператора полного числа частиц в системе. Действительно, подставив в него ф-операторы в виде (47,22) и приняв во внимание нормированность и взаимную ортогональность волновых функций фР„ получим )У'=~ аэаь (47,25) Каждый член этой суммы есть оператор числа частиц в 1-м состоянии — согласно (47,9) его собственные значения равны числам заполнения )у';; сумма же всех этих чисел есть полное число частиц в системе.
Для систем с заданным числом частиц эти утверждения (как и свойства гамильтониана системы свободных частиц (47,19)) представляются тривиальными. Мы увидим, однако, что их обобщение в релятивистской теории приводит к новым, отнюдь не тривиальным результатам. 9 48. Вторичное квантование. Случай статистики Ферми Вся принципиальная сторона метода вторичного квантования остается без изменения для систем, состоящих из одинаковых фермионов. Конкретнь|е же формулы для матричных элементов величин и для операторов аь конечно, меняются.
Мы не станем приводить здесь деталей соответствующих вычислений и подчеркнем лишь содержжциеся в них существенные моменты, отличающиеся от вычислений в предыдущем параграфе. Волновая функция фэ,„ч... имеет теперь внд (45,5). Как уже было указано, среди чисел р„р„..., нумерующих занятые состояния, не может быть одинаковых, так как в противном случае определитель обратится в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
