1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число нх,— статистике Бозе. Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: сложная частица имеет целый илн полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полуцелыы спинам.
Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т. е, состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом — статистике Бозе. Для атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью суммы атомного веса и атомного номера. Рассмотрилг систему, состоящую нз Л) одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть тргы ф„..,— волновые функции различных ') Эта терминология связана с названнем статистик, которьшн опн.
сывается идеальный газ, состоящий нз частнц, соответственно, с антнснмметрнчнымн нлн снмметрнчнымн волновымн функциями, В деиствительности мы Имеем здесь дело не только с разлнчнымн статнстнкамн, по н по существу с разлнчнымн механнкамн. Статнстнкз Ферми была предложеаа Энрико Ферми для электронов в 1926 г., з ее связь с квантовой механнкой была выяснена Дираком [!926). Статистика Бозе была пред. ложена Д.
Баэз для световых квантов н обобщена Эйнштеином [)924). а 45) пеиицнп иеелзличимости одиилкоиых члстиц 161 стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций яры ф„... волновая функция ф всей системы в целом. Пусть ры р„..., р„— номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые).
Для системы бозонов волновая функция Ф(эы эе,..., $„) выражается суммой произведений вида фа, 6т) фа, бе) Ч'а„йл) (45 1) со всеми возможными перестановками различных индексов р„р„...; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных (р,~ра) состояниях, ф($„$Д = = [ф,($,) ф~, Я,)+ар (в,) ф Я,)).
(45,2) Множитель Цгг2 введен для нормировки (все функции ф„ф„... взаимно ортогональны и предполагаются нормированными). В общем же случае системы произвольного числа У частиц нормированная волновая функция ф=( ' „"''') '~ф (Е,)ф~,(Ц,)...ф Щ, (45,3) где сумма берется по всем перестановкам различных индексов р„р„..., рм, а числа Уг указывают, сколько из всех этих индексов имеют- одинаковые значения ( (при этом ~я~ У; = У).
При интегрировании квадрата )ф 1е по с(5,с(5а... с($м обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы '); поскольку общее число членов в сумме (45,3) равно, очевидно, йч )Ут)Уа' " то отсюда и получается нормировочный коэффипиент в (45,3). т) Под интегрированием по д$ условно подразумевается (здесь н а 44 46, 47) интегрнроаанне по координатам вместе с суммнраааиием поп. 162 (гл.
щ тождественность частиц Для системы фермионов волновая функция зр есть анти- симметричная комбинация произведений (45,1). Так, для системы из двух частиц имеем Ф = = Йл, бт) фа, 6,) — фл, бз) тйл, бз)]. (45,4) В общем же случае У частиц волновая функция системы записывается в виде определителя Фм б ) 'ттл бз) .. Тл, бм) фл,б) Фл.бз) . Ч',.бм) (4б,б) ф, 6 ) ~, 6*) . Ф~м б ) Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак. Из выражения (45,5) следует важный результат.
Если среди номеров р„ р„ ... есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится тождественно в нуль, Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера р„ р„ ... различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (илн более) частицы. Это — так называемый принт1ип Паули; он был установлен Вольфгангом Паули в 1925 г. В 4б. Обменное взаимодействие Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его помощью результаты.
Дело в том, что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спиноз '). Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие магнитного поля) не содержит операторов спина, и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные. '1 Это справедливо лишь постольку, поскольку речь идет о нереля. тивистском приближении. При учете релятивистских эффектов взаимодействие заряженных частиц оказывается зааисяптим от спина. 461 ОБменнОе Взаимодействие 163 Поэтому уравнению Шредингера удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения ф(йы "йы ...) =у (а„а„...) ср(г„г„...), (46,1) где функция ф зависит только от координат частиц, а функция у — только от их спиноз; о первой мы будем говорить как о координатной или орбитальной, а о второй — как о спиновой волновой функции.
Уравнение Шредингера определяет по существу только координатную функцию оставляя функцию у. произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функцию, что и делалось в предыдущем изложении. Однако несмотря на указанную независимость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы От ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц. Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одина- новых частиц.
В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная нли антисимметричная координатная волновая функция тр(г„ г,). Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы ннвариантен по отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат г, и г, функция ~р(г„ г,) может измениться только на постоянный множитель; производя же перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только -Е1 ').
Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль, Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и волновая функция сводится к одной лишь координатной функции ~р(г„г,), которая должна быть симметричной (поскольку частицы со спинам нуль подчиняются статистике Бозе). Таким образом, не все из уровней энергии, получаю') При наличии же вырождения можно всегда выбрать такие линейные комбинации функций, относящихся к данному уровню, которые тоже удовлетворяют этому условию.
164 тождкствкнность частиц (гл. щ шихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из ннх, которым соответствуют антисимметричные функции Ч~, для рассматриваемой системы невозможны. Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы координат (начало которой выбрано посредине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция ср должна умножиться на ( — 1)', где! — орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см.
5 19). Сопоставляя эти соображения со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одинаковых частиц со спнном нуль может обладать только четным орбитальным моментом. Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином Ь (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция системы (т. е. произведение функции ~р(г„ г,) и спинозой функции у (о„а,)) должна быть непременно аитисимметричной по отношению к перестановке обоих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции спинозая функция должна быть антисимметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т. е.
в виде спинора второго ранга )1"Э, каждый из индексов которого соответствует спину' одного из электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор (у"э=уз"), а антисимметричной — антисимметрнчный спинор (у,"э= — та"). Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антиснмметричный спинор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину. Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения р(г„г,) уравнения Шредингера, могут фактически осуществляться при равном нулю полном спине системы, т.
е. когда спины-обоих электронов «антипараллельны», давая в сумме нуль. Значения же энергии, связанные с антисимметрнчными функциями ч~ (г„г,), требуют равного единице полного спина, т. е. спины обоих электронов должны быть ~параллельнымим Другимн словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими ог ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобраз- 165 случАЙ стАтнстинн БОзе В 47) ном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Зто взаимодействие называют обменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
