1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При заданном з проекция спина может пробегать значения з,=о= — з, — а+1, „з — всего 2з+1 значений. Столько же компонент имеет, согласно сказанному выше, волновая функция частицы со спином,а '). ') Поскольку для каждого рода частиц з есть заданное число, то при пределельном переходе к классической механике (й -ь О) спин- 144 (гл. н спин Большинство элементарных частиц (в этом числе электроны, протоны, нейтроны, р-мезоны) обладают спином ",,.
Существуют также элементарные частицы с другими спинами (так, и-мезоны и К-мезоны имеют спин О). Полный момент частицы (будем обозначать его посредством 1) складывается из ее орбитального момента! и спина з. Их операторы, действуя на функции различных переменных, разумеется, коммутируют друг с другом. Собственные значения полного момента 1=!+а (39,2) определяются тем же правилОм «векторной модели», что и сумма орбитальных моментов двух различных частиц (з 17).
Именно, при заданных значениях ! и з полный момент может иметь значения 1=!+з, !+а — 1,..., 1! — з1. Так, у электрона (спин 'у,) с отличным от нуля орбитальным моментом ! полный момент может быть равен 1=-(г-'(„при 1=0 момент ! имеет, конечно, лишь одно значение (='(,, Оператор полного момента 3 системы частиц равен сумме операторов моментов 1 каждой из них, так что его значения определяются снова правилами векторной модели. Момент 1 можно представить в виде 1=1.+8, где $ — суммарный спин, а Š— суммарный орбитальный момент частиц.
Вместе с правилами коммутации имеют универсальный характер (т. е. справедливы для любого момента) также и формулы (15,11) для матричных элементов компонент момента. Остаются справедливыми (с соответствующим изменением обозначений) также н установленные в 5 18 правила отбора по моменту для матричных элементов различных физических величин. й 40. Оператор спина Ниже (в этом и в Я 41, 42) мы не будем интересоваться зависимостью волновых функций аг координат.
Говоря, например, о поведении волновой функции Чг (о) при повороте системы координат, можно подразумевать, что частица момент йз обращается в нуль. Для орбитзльного ыомента такое рассуждение.не имеет смысла, поскольку ! может иметь произвольные значения. Г!ереходу к классической механике соответствует одновременное стремление Гг к нулю и ! к бесконечности, так что произведение й! остается конечным. 145 й 401 опендтон спина находится в начале координат, так что ее координаты при таком повороте останутся неизменными и полученные результаты будут характерны именно для поведения функции ф в зависимости от спинозой переменной а.
Переменная о отлпчается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного оператора, действующего на функцию дискретной переменной, есть )тр (о) =,«~ (ао тр (о'), (40,1) где 1„— постоянные величины. Легко видеть, что эти величины совпадают с матричными элементами оператора г", определеннымв по обычному правнлу (11,6) по собственным функциям оператора з,.
Интегрирование по координатам в определении (11,6) заменяется теперь суммированием по дискретной переменной, так что определение матричного элемента принимает вид ~а,о, =Хфа, (о) [1ттьо, (оИ ° (40,2) о Здесь ф, (о), тр, (о) — собственные функции оператора з„ отвечающие собственным значениям з,=о, и з,=о,; каждая такая функция отвечает состоянию, в котором частица обладает определенным значением з„т.
е. из всех компонент волновой функции отлична от нуля лишь одна '): ттьо, (о) = бо,о| Фо, (ст) = бо,о (40,3) Согласно (40,1) имеем Яо, (о) =- Х )оо'тена~ (о ) = Хааа'бо,о' = Рос,> а' о и после подстановки, вместе с тр, (а), в (40,2) последнее равенство удовлетворяется тождественно, чем и доказывается сделанное утверждение. ') Более точно надо было бы писать 'р, ( р з' ) = р (х р з) б,, в (40,3) опушены несушественные в данной свизи координатные множители.
Подчеркнем лишний рзз необходимость отличать заданное собственное значение з, (о, или о,) от независимой переменной о) [гл. ч спин Таким образом, операторы, действующие на волновые функции частицы со спином з, могут быть представлены в виде (2з+ 1)-рядных матриц. В частности, для операторов самого спина имеем злф (П) = Х (зз)оо тр (оз), о' Согласно сказанному выше (конец $ 39), матрицы з„, зв, а, совпадают с полученными в $ 15 матрицами величин Е, Ев, /.„причем надо только заменить в формулах (15,11) буквы /.
и М буквами з и о. Тем самым мы определили операторы спина. В важнейшем случае спина' '/, (а=т/„о=~'/з) зги матрицы двухрядны. Их записывают в виде 1 1 ! 2 "' У 2 У' з 2 (40,5) где ') о"=(1 О)' оУ=(' О) о (Π— 1)' (40'6) Матрицы (40,6) называют л1ат/зиз(ажи Паули. Отметим, что матрица з, диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по собственным функциям самого оператора з,. $ 41. Спиноры Перейдем к более подробному изучению «спиновых» свойств волновых функций.
Волновая функция частицы со спином 0 имеет всего одну компоненту, не меняющуюся при поворотах системы координат, т. е. является скаляром. Для волновых функций частиц с отличным от нуля спином отметим прежде всего их поведение при поворотах вокруг оси г. Оператор бесконечно малого поворота на угол бгв ') В записи матриц в виде таблиц (40,6) строки и столбцы нумеруютсз значсннкми о, причем номер строки соответствует первому, а номер столбца — второму индексу матричного элемента.
В данном случае зтк номера;",з,— ',з. Действие оператора согласно правилу (40,1) означает перемножение о-й строки матрицы с компонентами волновой функции, расположенными в тстолбикэ: ф=(.,( 147 в 411 спиногы вокруг оси г выражается с помощью оператора момента (в данном случае — спина) в виде 1+(бф з,, Поэтому в результате поворота функции ф (а) перейдут в ф (а)+Ь) (о), где бф(о) =1бср з,ф(о). Но з, — диагональная матрица, а ее диагональные элементы совпадают с собственными значениями з,=о. Поэтому з ф(а)=ер(п), так что бф(о) =)оф(о) бр, Переписав это равенство в виде дифференциального уравнения пф/Йр=7охР и проинтегрировав его, найдем значение функции ф(а) после поворота на любой конечный угол ср; обозначив это значение штрихом у функции, получим ф (о)' = ф (о) ем".
(41,1) В частности, при повороте на угол <р=2п все компоненты ф(а) умножаются на одинаковый множитель е"" =- ( — 1)" =,( — 1)" (числа 2а имеют, очевидно, всегда ту же четность, что и 2з). Таким образом, при полном повороте системы координат вокруг осн волновые функции частицы с целым спином возвращаются к своему первоначальному значению, а волновые функции частиц с полуцелым спнном меняют свой знак.
Волновые функции частицы со спином '!, (скажем, электрона) имеют две компоненты: ф(",) и ф( — 'l,). Для удобства дальнейших обобщений обозначим эти компоненты с помощью расположенного сверху индекса, пробегающего значения 1 и 2, причем Ф = ф ('7~). Ф' = Ф ( — '!.). (41,2) При произвольном повороте системы координат ф' и ф' преобразуются друг через друга, т. е. подвергаются линейному преобразованию: ф" =иф'+Щ~' ф".=учг+Ь~Р. (41,3) Коэффициенты а, р, у, б, вообще говоря, комплсксны и являются функциями углов поворота.
Они связаны друг с другом определенными соотношениями, которые будут выведены ниже. 148 (гл. ч спин Рассмотрим систему двух электронов (с равным нулю орбйтальным моментом относительного движения). Ее суммарный спин может быть равен 5=0 или 3=1. В первом случае система как целое ведет себя как частица со спином О, так что ее волновая функция должна быть скаляроы.
С другой стороны, если считать частицы невзаимодействующими, то волновая функция системы должна выражаться через произведения волновых функций каждой из частиц в отдельности (которые обозначим через ф и гэ). Легко видеть, что она должна быть составлена из компонент ф и ~р как билинейная форма (41,4) =(ф т' — 'т'т ) 1' 2 антисимметричная по индексам 1, 2.
Действительно, простое вычисление с помощью (41,3) дает = (ф"~р' — ф" гр") =- (аб — ~у) = (ф'~р' — Ч'<р'), уй т. е. величина (41,4) при повороте системы координат преобразуется сама через себя. Это и значит, что она является скаляром, причем должно быть ай — ру = 1. (41,5) Это и есть одно из искомых соотношений. Должно, очевидно, быть скаляром также и выражение !Ф')'+~1'Г =ФФ" +Ф'Ф" определяющее вероятность нахождения электрона в данной точке пространства.
Сравнивая его со скаляром (41,4), мы видим, что компоненты ф1э, $'* комплексно сопряженной с ~, ф' волновой функции должны преобразовываться соответственно как ~)', — ф', т. е. должно быть „1 ы б„~,м )це ф~м г 1 м+ )а* Написав, с другой стороны, равенства, комплексно сопряженные с (41,3): т'"' — а'Ф" + 1'Ф" ф"' = т'$'*+ 6*ф'* и сравнив их с предыдущими, найдем, что коэффициенты а, р, у, 6 связаны друг с другом еще и соотношениями а=6', р = — у'. (41,6) 149 й 411 спяио»ы В силу соотношений (41,5 — 6) четыре комплексные величины а, р, у, 6 содержат в действительности всего три независимых вещественных параметра,— как раз столько, сколькими углами определяется поворот трехмерной сйстемы координат.
'Ф1' Двухкомпонентную величину «р=(»,), преобразующую— (,9-) ся при поворотах системы координат по закону (41,3), называют спинором 1-го ранга, или просто спинороль Таким образом, волновая функция частицы со спином 'I, представляет собой спинор. Вернемся к системе из двух электронов и рассмотрим теперь ее состояния со спином 5=1. Ее волновая функция должна иметь три компоненты, отвечавшие проекциям спина +1, О, — 1.
Ими являются выражения, составленные из произведений компонент спнноров ф и «р, симметричные по своим индексам и преобразующиеся друг через друга при преобразованиях (41,3): «р'т' = («р'«р«+ Ф««(') ф«Ч«(41 7) )2 Проекция о полного спина системы равна сумме проекций спинов обоих электронов. Поэтому соответствие функций (41,7) со значениями о очевидно из смысла спинорных индексов 1 и 2, указывающих значения проекций спинов отдельных электронов: первая из этих функций имеет два индекса! и потому отвечает проекции о=',-1-'Ч,=1; вторая имеет по одному индексу 1 и 2, так что о=Ч,— 'Ч,=О; наконец, для третьей с ее двумя индексами 2 имеем а=- — 'I«вЂ” — 'Ч,= — — 1. еСпиновые» свойства волновых функций, будучи по существу их свойствами по отношению к поворотам системы координат, разумеется, тождественны для одной частицы со спином 1 и для системы частиц с таким же полным спином. Поэтому результат (41,7) имеет и более общий характер: волновая функция всякой частицы со спином 2 является, как говорят, симметричным спинором 2-го ранга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
