1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ранеебыло показано, что метод простой итерации требует для этого около20 000 итераций.105ЗАДАЧИ6.1. Докажите, что операторы Ax = −Λxx и Ay = −Λyy попарноперестановочны.6.2. Докажите корректность и устойчивость метода прогонки, используемого для решения уравнений СПН (6.30), (6.31).6.3. Докажите, что СПН (6.34)—(6.36) для трехмерной задачи (5.2)экономична, имеет порядок аппроксимации O(τ + h2x + h2y + h2z ), не обладает свойством полной аппроксимации и необходимым условием ееустойчивости является выполнение неравенств (6.37).6.4. Далее мы будем строить экономичные схемы на основе полностью неявной схемыun+1 − un= Λun+1 + f n+1 .τ(6.66)Рассмотрим СПФ(E − τ Λxx ) (E − τ Λyy )un+1 − un= Λun + f n+1 ,τ(6.67)которая аппроксимирует уравнениеut = uxx + uyy + f (x, y, t)(6.68)и реализуется методом дробных шаговn+1/2(E − τ Λxx ) ξj,mn+1= Λunj,m + fj,m;(6.69)n+1/2(6.70)n+1(E − τ Λyy ) ξj,m= ξj,m;n+1nun+1j,m = uj,m + τ ξj,m .(6.71)Исследовать свойства схемы (6.67) и выписать ее обобщение для случаяуравнения теплопроводности с тремя пространственными переменнымиut = uxx + uyy + uzz + f (x, y, z, t).(6.72)6.5.
Используя заменуξ n+1/2 =un+1/2 − un,τ106(6.73)записать метод дробных шагов (6.69)—(6.71) в виде схемы переменныхнаправленийun+1/2 − un= Λxx un+1/2 + Λyy un + f n+1 ;τun+1 − un= Λxx un+1/2 + Λyy un+1 + f n+1 ,τаналогичной СПН (6.30), (6.31). Исследовать свойства схемы(6.75) и выписать ее обобщение для уравнения (6.72).6.6. Используя замену (6.73), записать метод дробных(6.69)—(6.71) в виде схемы стабилизирующей поправки:(6.74)(6.75)(6.74),шаговun+1/2 − un= Λxx un+1/2 + Λyy un + f n+1 ;(6.76)τ¡¢un+1 − un+1/2= Λyy un+1 − un ,(6.77)τаналогичной ССП (6.47), (6.48).
Исследовать свойства схемы (6.76),(6.77) и выписать ее обобщение для уравнения (6.72).6.7. Для решения уравнения (6.68) предлагается схема расщепления:un+1/2 − un= Λxx un+1/2 + f n+1 ;τ(6.78)un+1 − un+1/2= Λyy un+1 .(6.79)τПоказать, что она абсолютно устойчива, экономична, аппроксимируетуравнение (6.68) с порядком O(τ + h2x + h2y ) и не обладает свойствомполной аппроксимации. Обладает ли она этим свойством при f ≡ 0?6.8. Будем использовать схему расщепления (6.78), (6.79) на двухпервых дробных шагах схемы предиктор – корректор:un+1/4 − un= Λxx un+1/4 + f n+1/2 ;τ /2(6.80)un+1/2 − un+1/4= Λyy un+1/2 ;(6.81)τ /2un+1 − un= Λun+1/2 + f n+1/2 .(6.82)τПоказать, что она аппроксимирует уравнение (6.68) с порядком O(τ 2 +h2x + h2y ), экономична, абсолютно устойчива, но не обладает свойствомполной аппроксимации. Обладает ли она этим свойством при f ≡ 0?1076.9.
Пусть для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используется итерационный процесс, основанный на схеме приближенной факторизации (6.67):nun+1j,m − uj,m= Λunj,m + fj,m ,τ(xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1 . . . ,(xj , ym , tn ) ∈ Γh ,(E − τ Λxx )(E − τ Λyy )unj,m = µ(xj , ym ),u0j,m = u0 (xj , ym ),(6.83)(xj , ym ) ∈ ω̄h ,где u0 — начальное итерационное приближение, удовлетворяющее граничному условию (5.38). Докажите аналог теоремы 6.1 для метода переменных направлений (6.83). Какой из итерационных методов сходитсябыстрее — (6.54) или (6.83)?§ 7.
Метод адаптивных сеток7.1. До сих пор конечно-разностные схемы для многомерных задачмы рассматривали лишь на равномерных сетках. Схемы на неравномерных сетках рассматривались в § 2.7 для стационарного уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. При этом былопоказано, что применение неравномерных сеток может привести к повышению точности приближенного решения по сравнению с решением,полученным на равномерной сетке.
В настоящем параграфе мы на примере задачи Дирихле (5.3) для уравнения Пуассонаuxx + uyy + f (x, y) = 0, (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = µ(x, y), (x, y) ∈ γ = ∂Ω(7.1)покажем, как строится разностная схема на неравномерной сетке и укажем один из методов построения адаптивных сеток. Адаптивными будем называть сетки, при построении которых используется информацияо поведении решения дифференциальной задачи. Например, в областибыстрого изменения решения сетку можно сгустить, а там, где решение меняется медленно, взять разреженную сетку. Это может привестик более точному представлению решения и обеспечить для заданногочисла узлов бо́льшую точность, чем на равномерной сетке. Кроме того,адаптивные сетки подстраиваются к криволинейным границам областирешения Ω.108Как пояснялось в § 2.7, для того чтобы воспользоваться методомадаптивных сеток, необходимо предварительно задать управляющуюфункцию w(x, y) ≥ 1, в которой каким-то образом должна быть учтена информация о поведении погрешности численного решения.
В общем случае управляющую функцию задают зависящей от производных до некоторого порядка, причем функция w должна приниматьбо́льшие значения в подобластях бо́льших значений производных от решения. Например, для одномерных задач управляющая функция можетбыть задана формулой (2.7.54). Далее будем считать, что управляющая функция w(x, y) задана и может быть вычислена в любой точке(x, y) ∈ Ω̄.Метод адаптивных сеток позволяет получать численное решение задачи для области Ω с криволинейной границей γ сложной формы, однако ради простоты изложения, будем предполагать, что область Ω является, как и в предыдущихпараграфах, прямоугольником в плоскости¯xOy, т. е. Ω = {(x, y)¯ 0 < x < lx , 0 < y < ly }.
Пусть область Ω требуется покрыть неравномерной сеткой с количеством узлов (N1 +1)×(N2 +1),причем на левой и правой сторонах прямоугольника Ω должно размещаться одинаковое количество (N2 + 1) узлов, а на нижней и верхней— (N1 + 1) узлов.Наряду с «физической» областью Ω будет использоваться «вычислительная» область Ξ = (0, 1) × (0, 1) — единичный квадрат в плоскостиξOη.
Пустьx = x(ξ),(7.2)— произвольное достаточно гладкое взаимно-однозначное невырожденное (для определенности с положительным якобианом) отображение замкнутой области Ξ̄ на Ω̄, такое, что левая, нижняя, правая и верхняястороны прямоугольника Ω являются образами левой, нижней, правойи верхней сторон квадрата Ξ соответственно. Здесь x = (x, y), ξ = (ξ, η),x(ξ) = (x(ξ, η), y(ξ, η)).
Покроем Ξ̄ равномерной прямоугольной сеткойс количеством узлов (N1 + 1) и шагом h1 в направлении оси Oξ и с количеством узлов (N2 + 1) и шагом h2 в направлении оси Oη. Тогдаh1 = 1/N1 , h2 = 1/N2 , а координаты узлов в вычислительной областизадаются формуламиξj1 = j1 h1 , ηj2 = j2 h2 ,j1 = 0, . .
. , N1 , j2 = 0, . . . , N2 .Для узлов в вычислительной области будет использоваться обозначение ξ j = (ξj1 , ηj2 ), где j = (j1 , j2 ) — мультииндекс. Совокупность всех109узлов ξ j обозначим Ξ̄h , множество граничных узлов — ∂ Ξ̄h . МножествоΞh = Ξ̄h \∂ Ξ̄h представляет собой совокупность внутренних узлов сетки.Криволинейной сеткой Ω̄h назовем совокупность узлов xj = (xj , yj ),являющихся образами узлов ξj при отображении (7.2).
Таким образом,координаты узлов неравномерной сетки вычисляются по формуламxj1 ,j2 = x(ξj1 , ηj2 ), yj1 ,j2 = y(ξj1 , ηj2 ),j1 = 0, . . . , N1 , j2 = 0, . . . , N2с помощью отображения (7.2). Отметим, что координаты узлов равномерной на Ω сетки однозначно определяются заданием числа узлов N1и N2 . Для неравномерной сетки это не так. Для заданных N1 и N2 существует бесконечное множество неравномерных сеток Ω̄h , а отдельныйпредставитель этого семейства будет определяться заданием конкретного отображения (7.2). Отображение (7.2) заранее неизвестно и нашазадача — определить его. Для этого будем использовать метод эквираспределения [16].7.2. Построение сетки в многомерной области начинается с построения сетки на ее границе.
Для расстановки узлов на отрезках прямых,из которых составлена граница γ, будем использовать метод эквираспределения [16], при этом сетка будет сгущаться или разрежаться в соответствии с заданной управляющей функцией w(x, y).Итак, пусть задана управляющая функция w(x, y) ≥ 1 и требуетсяпостроить адаптивную сетку на границе γ области Ω. Рассмотрим, дляопределенности, нижнюю сторону прямоугольника Ω. В соответствиис методом эквираспределения нам нужно решить задачу (2.7.39):µ¶ddx(ξ, 0)w(x, 0)= 0, ξ ∈ (0, 1),(7.3)dξdξx(0, 0) = 0, x(1, 0) = lx .Получить решение x = x(ξ, 0) нелинейной задачи (7.3) в виде аналитической формулы удается очень редко. Поэтому для поиска отображения x = x(ξ, 0) применим конечно-разностный метод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
