1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. она является лишьусловно аппроксимирующей.Определение. Если погрешность аппроксимации схемы стремится к нулю лишь при определенном законе предельного перехода τ = τ (h),то говорят, что схема условно аппроксимирует дифференциальнуюзадачу.Если взять τ = αh, где α = const, то очевидно, что схема будетаппроксимировать не уравнение теплопроводности, а уравнение вида∂u∂2u∂2u+ να2 2 = ν 2 + f.∂t∂t∂xПоэтому необходимо, чтобыτ→ 0 при h → 0, τ → 0.h(4.6)Например, взять τ = O(h2 ). Тогда погрешность аппроксимации будетиметь порядок O(h2 ).Таким образом, использование рассмотренных явных схем для уравнения теплопроводности возможно только при дополнительных ограничениях на шаги сетки: для явной двухслойной схемы (1.34) из-за условной устойчивости (1.52), для явной трехслойной схемы «ромб» (4.5) —из-за условной аппроксимации (4.6).4.3. Неявная трехслойная схема записывается так:n+13un+1un+1− 4unj + ujn−1+ un+1jj−1 − 2ujj+1=ν+ fjn+1 .(4.7)2τh2Эта схема имеет пятиточечный шаблон и ее погрешность аппроксимации равна O(τ 2 + h2 ).
Множитель перехода λ удовлетворяет уравнению³ϕ´ 23 + 8r sin2λ − 4λ + 1 = 0.269Для комплексно-сопряженных корней этого уравнения выполняется неравенство120 < |λ| = λ1 λ2 =< 1.3 + 8r sin2 ϕ2ϕЕсли корни действительные, то для дискриминанта d = 1 − 8r sin22выполняется неравенство 0 ≤ d ≤ 1 и, следовательно,√2∓ d0 < λ1,2 =≤ 1.3 + 8r sin2 ϕ2Итак, неявная трехслойная схема удовлетворяет необходимому условию устойчивости при любых τ и h и она имеет второй порядок аппроксимации по τ и h. Однако, чтобы начать счет по этой схеме, необходимо, как это следует из формулы (4.7), задать начальные данные надвух временны́х слоях: нулевом и первом.Положимu0j = u0 (xj ),u1j = u∗j ,j = 1, . .
. , N − 1,u∗jгде сеточная функцияподлежит определению. Подберем ее так, чтобы общий порядок аппроксимации схемы был не ниже, чем порядокаппроксимации дифференциального уравнения O(τ 2 + h2 ). Имеем1ψj1 = (Lh (uh ) − fh )j = u(xj , τ ) − u∗j = u(xj , 0) + τ ut (xj , 0) + O(τ 2 ) − u∗j .Предполагая, что решение u(x, t) начально-краевой задачи удовлетворяет уравнению теплопроводности (4.1) не только при t > 0, но и приt = 0, получаем¡¢ψj1 = u0 (xj ) + τ νuxx (xj , 0) + f (xj , 0) + O(τ 2 ) − u∗j .Следовательно, функцию u∗j можно выбрать в видеµ 2¶∂ u0u∗j = u0 (xj ) + τ ν(x)+f(x,0).jj∂x2Заметим, что вместо второй производной функции u0 можно использовать вторую разностную производную, что также приводит к схемес порядком аппроксимации O(τ 2 + h2 ).
В самом деле, если начальныеданные на первом временно́м слое заданы по формул嵶u0 (xj−1 ) − 2u0 (xj ) + u0 (xj+1 )u1j = u0 (xj ) + τ ν+f(x,0), (4.8)jh270то для погрешности аппроксимации при t = τ получаем выражени嵶u0 (xj−1 ) − 2u0 (xj ) + u0 (xj+1 )ψj1 = u(xj , τ ) − u0 (xj ) − τ ν+f(x,0)=jh2µ−u0 (xj ) − τ= u(xj , 0) + τ ut (xj , 0) + O(τ 2 )−¶∂ 2 u02ν(xj ) + O(h ) + f (xj , 0) = O(τ 2 + τ h2 ).∂x2С учетом порядка аппроксимации дифференциального уравнения отсюда следует, что рассматриваемая трехслойная схема аппроксимируетдифференциальную задачу с порядком O(τ 2 + h2 ).ЗАДАЧИ4.1.
Определить, с каким порядком трехслойная разностная схема£¤un+1− ujn−1j= νΛ σun+1+ (1 − 2σ)unj + σun−1+ ϕnj ,jj2τ(4.9)где Λ — оператор второй разностной производнойΛunj =unj+1 − 2unj + unj−1,h2аппроксимирует уравнение (4.1). С помощью спектрального методаНеймана получить необходимое условие устойчивости этой схемы приσ = const ≥ 0 и законе предельного перехода (4.3).4.2. Определить, с каким порядком трехслойная разностная схема(1 + σ)un+1unj − un−1− unjjj−σ= νΛun+1+ ϕnjjττ(4.10)аппроксимирует уравнение (4.1).
С помощью спектрального методаНеймана получить необходимое условие устойчивости этой схемы приσ = const > −1 и законе предельного перехода (4.3).71§ 5. Схемы для уравнениятеплопроводности с несколькимипространственными переменными¯Обозначим через Ω прямоугольник {(x, y)¯ 0 < x < lx , 0 < y < ly }в плоскости xOy, через γ — его границу, D = Ω×(0, T ], боковую поверхность параллелепипеда D̄ обозначим через Γ = γ × [0, T ]. Тогда первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности c двумяпространственными переменными формулируется так: требуется найтинепрерывное в замкнутой области D̄ решение задачиut = ν(uxx + uyy ) + f (x, y, t), (x, y, t) ∈ D,u(x, y, t) = µ(x, y, t), (x, y, t) ∈ Γ,u(x, y, 0) = u0 (x, y), (x, y) ∈ Ω̄.(5.1)Рассматривая разностные схемы для задачи (5.1), мы иногда будемуказывать их обобщения на трехмерный случай, т.
е. рассматриватьсхемы для решения начально-краевой задачи в трехмерной областиut = ν(uxx + uyy + uzz ) + f (x, y, z, t), (x, y, z, t) ∈ D,u(x, y, z, t) = µ(x, y, z, t), (x, y, z, t) ∈ Γ,(5.2)u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω̄,¯где Ω = {(x, y, z)¯ 0 < x < lx , 0 < y < ly , 0 < z < lz } — параллелепипед в R3 .Кроме того, мы будем выделять те разностные схемы, которые пригодны и для решения методом установления задачи Дирихле для уравнения Пуассонаuxx + uyy + f (x, y) = 0, (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = µ(x, y), (x, y) ∈ γ.(5.3)Эта задача Дирихле называется стационарной.
В ней искомая функция, ее граничные значения и функция f не зависят от времени. Сутьметода установления заключается в переходе от стационарной задачи(5.3) к поиску решения нестационарной задачи (5.1) и его предела приt → ∞.Для построения разностной схемы введем сетки. Равномерную сеткув замкнутом прямоугольнике Ω̄ обозначим через¯©ªω̄h = (xj , ym ) ¯ xj = jhx , ym = mhy , j = 0, . . . , Nx , m = 0, . . .
, Ny ,72где hx = lx /Nx , hy = ly /Ny . Совокупность внутренних узлов обозначим¯©ªωh = (xj , ym ) ¯ j = 1, . . . , Nx − 1, m = 1, . . . , Ny − 1 ,граничных — γh . Для сетки на отрезке [0, T ] будем использовать обозначение© ¯ªω̄τ = tn ¯ tn = nτ, n = 0, . . . , M ,при этом τ = T /M . Сетку в расчетном цилиндре D будем обозначатьωhτ :¯©ªωhτ = ωh × ω̄τ = (xj , ym , tn ) ¯ (xj , ym ) ∈ ωh , tn ∈ ω̄τ .Множество узлов, лежащих на Γ, обозначим через Γh = γh × ω̄τ .5.1.
Аппроксимация. Вначале рассмотрим явную схему для решения уравнения теплопроводности. С помощью операторов вторых разностных производныхΛxx unj,m ≡ unx̄x,j,m =unj−1,m − 2unj,m + unj+1,m,h2xΛyy unj,m ≡ unȳy,j,m =unj,m−1 − 2unj,m + unj,m+1h2yи разностного оператора Лапласа Λ = Λxx + Λyy явную схему можнозаписать так:nun+1j,m − uj,m= νΛunj,m + ϕnj,m , (xj , ym ) ∈ ωh ,τunj,m = µ(xj , ym , tn ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,u0j,m= u0 (xj , ym ),n < M,(5.4)(xj , ym ) ∈ ω̄h ,где ϕnj,m = f (xj , ym , tn ).Исследуем явную схему (5.4). Путь исследования сходимости схем,сводящий этот вопрос к исследованию аппроксимации и устойчивости,сформулирован нами ранее в столь общей форме, что рассматриваемуюсейчас двумерную задачу можно считать частным случаем.Поскольку начальные и граничные условия аппроксимируются точно, то достаточно исследовать аппроксимацию только дифференциального уравнения.
Предполагая гладкость точного решения u(x, y, t), можем записатьu(xj , ym , tn+1 ) = (u + τ ut ) (xj , ym , tn ) + O(τ 2 ),73µh2u(xj±1 , ym , t ) = u ± hx ux + x uxx ±2Ãh2yu(xj , ym±1 , tn ) = u ± hy uy +uyy ±2n¶h3xuxxx (xj , ym , tn ) + O(h4x ),6!h3yuyyy (xj , ym , tn ) + O(h4y ).6Подставляя эти выражения в формулу для погрешности аппроксимации, получаемn(ψh )nj,m = (Lh (u)h − fh )j,m = O(τ + h2x + h2y ),т. е., как и в одномерном случае, явная схема имеет первый порядокаппроксимации по времени и второй по пространственным переменным.Здесь мы использовали операторную запись схемы (5.4)Lh uh = fh ,где(5.5) n+1uj,m − unj,m− νΛunj,m , (xj , ym ) ∈ ωh , n < M,τLh uh ≡unj,m , (xj , ym , tn ) ∈ Γh , 0uj,m , (xj , ym ) ∈ ω̄h ,n(xj , ym ) ∈ ωh , n < M, f (xj , ym , t ) ,nµ (xj , ym , t ) , (xj , ym , tn ) ∈ Γhfh ≡u0 (xj , ym ) , (xj , ym ) ∈ ω̄h .Аналогично показывается, что полностью неявная схемаnun+1j,m − uj,mn= νΛun+1(xj , ym ) ∈ ωh ,j,m + ϕj,m ,τunj,m = µ(xj , ym , tn ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,u0j,m= u0 (xj , ym ),n < M,(5.6)(xj , ym ) ∈ ω̄h ,где ϕnj,m = f (xj , ym , tn+1 ), тоже имеет порядок аппроксимацииO(τ + h2x + h2y ), а схема Кранка — Николсонn¢un+1ν ¡j,m − uj,mnn= Λ un+1j,m + uj,m + ϕj,m ,τ2unj,m = µ(xj , ym , tn ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,u0j,m = u0 (xj , ym ),(xj , ym ) ∈ ω̄h ,74(xj , ym ) ∈ ωh , n < M,(5.7)n+1/2где ϕnj,m = fj,m≡ f (xj , ym , tn + τ /2), имеет порядок аппроксимации222O(τ + hx + hy ).Реализация явной схемы предельно проста.
Зная сеточные функциина n-м слое, по рекуррентным формулам отыскивается сеточная функция на (n + 1)-м слое. Однако оказывается, что, будучи чрезвычайнопростой в реализации, явная схема устойчива лишь при жестком ограничении на шаг τ . Покажем это.5.2. Спектральный признак устойчивости. Подставим сеточную функциюunj,m = λn ei(jϕ1 +mϕ2 ) , ϕ1 , ϕ2 ∈ R(5.8)в однородное разностное уравнение схемы (5.4). После сокращения наобщие множители получим уравнение относительно λ:e−iϕ1 − 2 + eiϕ1e−iϕ2 − 2 + eiϕ2λ−1=ν+ν,τh2xh2yиз которого следует, чтоϕ1ϕ2λ = 1 − 4rx sin2− 4ry sin2,22гдеττrx = ν 2 , ry = ν 2 .hxhy(5.9)Пусть шаги сетки стремятся к нулю по следующему закону предельного перехода:rx = C1 = const,ry = C2 = const.Тогда множитель перехода λ не зависит от τ и для устойчивости необходимо выполнение неравенства |λ| ≤ 1, т. е.ϕ1ϕ2−1 ≤ 1 − 4rx sin2− 4ry sin2≤ 1.22Правое неравенство выполняется всегда.
Из левого следует, чтоϕ1ϕ22rx sin2+ 2ry sin2≤ 1.22Поскольку это неравенство должно выполняться при любых значенияхϕ1 и ϕ2 , то необходимое условие устойчивости эквивалентно ограничению1µ¶.τ≤(5.10)112ν+h2xh2y75Для квадратной сетки hx = hy = h неравенство (5.10) принимаетвидh2τ≤,4νа в одномерном случае необходимое условие устойчивости выгляделотак:h2.τ≤2νСледовательно, в двумерном случае условие устойчивости накладываетв 2 раза более жесткое ограничение на величину временно́го шага посравнению с одномерным случаем и, следовательно, делает применениеявного метода на практике еще менее целесообразным.В трехмерном случае явная схема имеет видnun+1j,m,k − uj,m,kunj,m,kn= νΛunj,m,k + fj,m,k, (xj , ym , zk ) ∈ ωh , n < M,τ= µ(xj , ym , zk , tn ), (xj , ym , zk , tn ) ∈ Γh ,(5.11)u0j,m,k = u0 (xj , ym , zk ),(xj , ym , zk ) ∈ ω̄h ,где оператор Λ = Λxx + Λyy + Λzz есть сумма операторов вторых разностных производных по направлениям x, y и z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
