1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Например:Λzz unj,m,k ≡ unz̄z,j,m,k =unj,m,k+1 − 2unj,m,k + unj,m,k−1.h2zЛегко проверить, что для явной схемы (5.11) необходимое условие устойчивости Неймана эквивалентно неравенствуµτ≤2ν1111+ 2 + 2h2xhyhz¶,(5.12)что для кубической сетки hx = hy = hz = h приводит к необходимостивыполнения неравенстваh2τ≤,6νт. е. к еще более жесткому ограничению на шаг по времени, чем в двумерном случае.765.3. Принцип максимума может использоваться для исследования устойчивости схем и в многомерном случае.
Пусть Uh — пространство сеточных функций uh , которому принадлежит решениесхемы (5.5), Fh — пространство сеточных функций, которому принадлежит правая часть схемы fh . Введем равномерную норму на слое¯¯kun kC = max ¯unj,m ¯j,mи равномерную норму в пространствах Uh и Fh :kuh kUh = maxkun kC ;(5.13)nkfh kFh·¸nn= max max|µ (xj , ym , t )|, k(u0 )h kC , maxkϕ kC .nΓh(5.14)Определение. Говорят, что разностная схема (5.5) удовлетворяет принципу максимума, если при всех n = 0, .
. . , M −1 для ее решенияuh выполняется неравенство½¾° n+1 °¯ ¡° °¢¯°u° ≤ max max¯µ xj , ym , tl ¯, kun k + τ max°ϕl ° .(5.15)CCCΓhlТеорема 5.1. Пусть линейная разностная схема (5.5) удовлетворяет принципу максимума. Тогда она устойчива в равномерной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.1, поэтому укажем лишь основные его этапы.
Решениеисходной задачи (5.5) представим в виде суммы uh = vh + wh решенийvh и wh следующих задач: 0, (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, . . . , M − 1,µ (xj , ym , tn ) , (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,Lh v h = η h ≡u0 (xj , ym ) , (xj , ym ) ∈ ω̄hи n ϕj,m , (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, . . . , M − 1,Lh wh = θh ≡0, (xj , ym , tn ) ∈ Γh0, (xj , ym ) ∈ ω̄h .По условию для каждой из этих задач выполняется принцип максимума, поэтому½¾° n+1 °¯ ¡¢¯°v° ≤ max max¯µ xj , ym , tl ¯, k(u0 )h k≤ kfh k ,CCΓh77Fh° n+1 °° °° °°w° ≤ (n + 1)τ max°ϕl ° ≤ T max°ϕl ° ≤ T kfh k .FhCCCllСледовательно,° n+1 °°°°°°u° ≤ °v n+1 ° + °wn+1 ° ≤ (1 + T ) kfh k .FhCCCЭто неравенство выполняется при всех n, поэтомуkuh kUh ≤ C kfh kFh ,где C = 1 + T , т.
е. схема устойчива в равномерной сеточной норме.Следствие 1. При выполнении условия (5.10) явная схема (5.4) устойчива в равномерной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что явная схема удовлетворяетпринципу максимума. Для этого перепишем ее в видеnun+1j,m = (1 − 2rx − 2ry ) uj,m +¡¢¡¢n+rx unj−1,m + unj+1,m + ry unj,m−1 + unj,m+1 + τ fj,m.(5.16)Очевидно, что при выполнении условия (5.10) справедливо неравенство 1 − 2rx − 2ry ≥ 0, поэтому можем написать¯ n+1 ¯¯ n ¯¯¯¯u¯j,m ≤ (1 − 2rx − 2ry ) uj,m +¯ ¯¯¢¯ ¯¯¢¯ n ¯¡¯¡¯¯≤+rx ¯unj−1,m ¯ + ¯unj+1,m ¯ + ry ¯unj,m−1 ¯ + ¯unj,m+1 ¯ + τ ¯fj,m≤ (1 − 2rx − 2ry ) kun kC + 2rx kun kC + 2ry kun kC + τ max kf n kC ,nилиmax(xj ,ym )∈ωh¯ n+1 ¯nn¯u¯j,m ≤ ku kC + τ max kf kC .nУчитывая, что¯¡¢n+1¯un+1,j,m Γ = µ xj , ym , th¡¢xj , ym , tn+1 ∈ Γh ,(5.17)получаем принцип максимума (5.15).
Тогда из теоремы 5.1 следует, чтоусловие (5.10) является достаточным для устойчивости явной схемы(5.4) в равномерной норме по начальным данным, краевым условиями по правой части.5.4. Устойчивость в среднеквадратичной норме. Чтобы исследовать устойчивость схем в среднеквадратичной норме, вначале изучимсвойства разностного оператора Лапласа Λ.78Аналогично одномерному случаю через Hh обозначим пространствосеточных функций, заданных на сетке ω̄h и обращающихся в нуль на еегранице γh . В пространстве Hh введем скалярное произведение(u, v) =NXy −1x −1 NXj=1uj,m vj,m hx hy ,u, v ∈ Hhm=1и нормуkuk =p(u, u),u ∈ Hh .(5.18)Пространство Hh является линейным (Nx − 1)(Ny − 1)-мерным пространством.
Рассмотрим в нем следующие операторы:Ax v = −Λxx v,v ∈ Hh ,(5.19)Ay v = −Λyy v,v ∈ Hh ,(5.20)A = Ax + Ay = − (Λxx + Λyy ) = −Λ.(5.21)(k)Возьмем собственные функции u(k = 1, . . . , Nx − 1) и v (l)(l = 1, . . . , Ny − 1) операторов Ax и Ay , соответственноrµ¶2kπxj(k)uj,m =sin, j = 0, . . . , Nx ,lxlxsµ¶2lπym(l)vj,m =sin, m = 0, . . . , Nylylyи образуем систему функций(k,l)ψj,m=(k)uj·(l)vm2=psinlx lyµkπxjlx¶µ· sinlπymly¶.Здесь в записи сеточных функций u(k) и v (l) мы использовали лишьодин индекс (j или m), поскольку от второго индекса значения этихфункций не зависят.Для функций ψ (k,l) выполняются равенства³´(x) (k,l)(k)(x) (k)(k,l)(k)(l)(l)(l)= λk ψj,m ,Ax uj = λk uj · vmAx ψj,m = Ax uj · vm= vm(x)где λk— собственные значения оператора Ax ,µ¶kπhx4(x)λk = 2 sin2, k = 1, .
. . , Nx − 1.hx2lx79Аналогично³´(k,l)(k)(y) (k,l)(l)Ay ψj,m = Ay uj · vm= λl ψj,m ,(y)где λl— собственные значения оператора Ay ,¶µ4lπhy(y)2λl = 2 sin, l = 1, . . . , Ny − 1.hy2lyОтсюда следует, что³´(x)(y)Aψ (k,l) = λk + λlψ (k,l) = λ(k,l) ψ (k,l) ,т. е.
функции ψ (k,l) являются собственными функциями оператора A,а числ൶µ¶4kπhx4lπhy(x)(y)22λ(k,l) = λk + λl = 2 sin+ 2 sin(5.22)hx2lxhy2ly— его собственными значениями.Покажем, что собственные функции оператора A образуют ортонормальный базис в пространстве Hh . В самом деле,³ψ(k,l),ψ(r,s)´=NXy −1x −1 NX=j=1NXx −1=m=1(k)(r)(s)(l)hx hy =uj vmuj vm (k) (r)uj uj hx · Ny −1X(l) (s)vmv m hy =m=1j=1½= δ kr δ ls =(r,s)m=1j=1NXy −1x −1 NX(k,l)ψj,m ψj,m hx hy =1,0,если k = r и l = s,если k =6 r или l 6= s.Таким образом, система (Nx −1)(Ny −1) функций ψ (k,l) ортонормальна в линейном (Nx −1)(Ny −1)-мерном пространстве Hh . Следовательно,эту систему можно взять в качестве базиса. Разложение произвольной80функции v ∈ Hh по этому базису называется представлением функциив виде конечного ряда Фурьеv=NXy −1x −1 NXk=1ck,l ψ (k,l) ,(5.23)l=1коэффициенты которого³´ck,l = v, ψ (k,l)называются коэффициентами Фурье.
При этом справедливо равенствоПарсеваляNXy −1x −1 NX2kvk = (v, v) =c2k,l .k=1l=1Лемма 5.1. Разностный оператор A является самосопряженными положительно определенным в Hh .Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого фиксированного m имеетместо вторая разностная формула Грина (по направлению x):NXx −1(Λxx v)j,m wj,m hx =NXx −1j=1vj,m (Λxx w)j,m hx .j=1Суммируя последнее равенство по m и умножая на −hy , получаем(Ax v, w) = (v, Ax w) .Для каждого фиксированного j также справедлива вторая разностная формула Грина (по направлению y):Ny −1XNy −1(Λyy v)j,m wj,m hy =m=1Xvj,m (Λyy w)j,m hy ,m=1откуда следует, что(Ay v, w) = (v, Ay w) .Поэтому(Av, w) = ((Ax + Ay )v, w) = (v, Ax w) + (v, Ay w) = (v, Aw) ,т.
е. оператор A является самосопряженным в Hh .81Докажем, что A — положительно определенный оператор. Возьмемпроизвольную функцию v ∈ Hh и ее представление в виде конечногоряда Фурье (5.23). ТогдаNXNXy −1y −1x −1 Nx −1 NXX(Av, v) = ck,l λ(k,l) ψ (k,l) ,cr,s ψ (r,s) =k=1r=1l=1=NXy −1x −1 NXk=1Следовательно,s=1c2k,l λ(k,l) .l=1λmin kvk2 ≤ (Av, v) ≤ λmax kvk2 ,гдеλmin = min λ(k,l) =k,l4sin2h2xµπhx2lx¶+4sin2h2yµπhy2ly¶≥88+ 2,lx2lyλmax = max λ(k,l) = λ(Nx −1,Ny −1) =k,l¶µ¶4(N−1)πh4(Ny − 1)πhyxx22= 2 sin+ 2 sin=(5.24)hx2lxhy2lyµ¶µ¶4πhxπhy444= 2 cos2+ 2 cos2< 2 + 2.hx2lxhy2lyhxhyТаким образом,µ¶µ¶88442++kvk≤(Av,v)≤kvk2 ,lx2ly2h2xh2yт. е.88(5.25)A ≥ δE,δ = 2 + 2 > 0.lxlyчто и доказывает положительную определенность оператора A.µИсследуем теперь устойчивость в среднеквадратичной норме явнойсхемы (5.4) с нулевыми граничными условиями:nun+1j,m − uj,mn= νΛunj,m + fj,m,τnnuj,m = 0, (xj , ym , t ) ∈ Γh ,u0j,m = u0 (xj , ym ),(xj , ym ) ∈ ωh , n < M,(5.26)(xj , ym ) ∈ ω̄h ,при этом считаем, что начальная функция u0 тоже принадлежит пространству Hh .82Пусть f ≡ 0.
Представим решение задачи (5.26) в виде конечногоряда Фурье (5.23):NXy −1x −1 NXnun =T(k,l)ψ (k,l) ,(5.27)k=1l=1подставим его в разностное уравнение задачи (5.26). В результате поnлучим рекуррентное соотношение для коэффициентов T(k,l):n+1nT(k,l)= q(k,l) T(k,l),гдеq(k,l) = 1 − τ νλ(k,l) .(5.28)Следовательно,¡¢n 0n−1nT(k,l)= q(k,l) T(k,l).= . . . = q(k,l) T(k,l)0Коэффициенты T(k,l)определим так, чтобы функция (5.27) удовлетворяла начальному условию0u =NXy −1x −1 NXk=10T(k,l)ψ (k,l) .l=10качестве T(k,l)¡ 0 (k,l) ¢Следовательно, в0ции u0 , т.
е. T(k,l)= u ,ψявляется функцияun =надо взять коэффициенты Фурье функ. Итак, решением задачи (5.26) при f ≡ 0NXy −1x −1 NXk=1¡¢n 0q(k,l) T(k,l)ψ (k,l) .(5.29)l=1Теорема 5.2. Выполнение условияµτ≤2ν1¶11+ 2h2xhy(5.30)достаточно для устойчивости явной схемы (5.26) по начальным данным и правой части в среднеквадратичной норме (5.18).Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что при условии (5.30) справедливо неравенство¯¯max ¯q(k,l) ¯ < 1.(5.31)k,l83В самом деле, поскольку λ(k,l) > 0, то неравенство q(k,l) < 1 выполняется всегда.
Кроме того, используя оценку (5.24) и условие (5.30),получае쵶44q(k,l) = 1 − τ νλ(k,l) > 1 − τ ν+ 2 ≥h2xhy¶µ144µ¶ ·ν≥1−+ 2 = −1,211hxhy2ν+ 2h2xhyт. е. неравенство (5.31) действительно имеет место.Оценим теперь решение (5.27) задачи с однородным разностнымуравнением, используя равенство Парсеваля и неравенство (5.31):y −1 ³y −1 ³x −1 Nx −1 N´2 NX´2XX° n+1 °2 NX2n+1n°u° =T(k,l)=q(k,l) T(k,l)≤ kun k .k=1l=1k=1l=1Таким образом, рассматриваемая схема равномерно устойчива поначальным данным с постоянной M1 = 1:° °kun k ≤ M1 °uk °для всех 0 ≤ k < n ≤ M . По теореме 2.5 из равномерной устойчивостипо начальным данным следует устойчивость двухслойной схемы (5.26)и по правой части в среднеквадратичной норме (5.18).5.5.
Метод операторных неравенств можно применять и дляисследования устойчивости многомерных разностных схем. Рассмотримдвухслойную схему с весами£¤un+1 − un= −A σun+1 + (1 − σ)un + ϕn ,τ(5.32)где A = −νΛ. Постоянный оператор A является положительным и самосопряженным. Поэтому, согласно следствию 1 из теоремы 2.7, схемас весами (5.32) абсолютно устойчива при σ ≥ 0, 5, а при σ < 0, 5 необходимое и достаточное условие устойчивости в энергетическом пространстве HA дается неравенством (2.50):σ≥11−,2 τ kAk84(5.33)при этом kAk = νλmax . Таким образом, при σ < 0, 5 необходимым и достаточным условием устойчивости в HA схемы с весами (5.32) являетсянеравенствоσ ≥ σ̂0 =1−2·14τ ν 2 cos2hxµπhx2lx1¶1+ 2 cos2hyµπhy2ly¶¸ .(5.34)Хорошим приближением к полученному необходимому и достаточному условию является следующее достаточное условие устойчивости:σ ≥ σ0 =1−2µ4τ ν1¶.11+ 2h2xhy(5.35)5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
