1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При σ ≥ 0, 5 схема с весами (5.32)абсолютно устойчива, но она не является экономичной. Покажем этодля схемы Кранка — Николсон (5.7):un+1 − un11= Λun+1 + Λun + f n+1/2 ,τ22(6.1)имеющей второй порядок аппроксимации O(τ 2 + h2x + h2y ). Здесь длякраткости индексы j и m опущены и принято ν = 1.Как по известным значениям un найти неизвестные un+1 ? Перепишем разностное уравнение¢ ry ¡ n+1¢rx ¡ n+1(1 + rx + ry ) un+1uj+1,m + un+1uj,m+1 + un+1j,m −j−1,m −j,m−1 =22(6.2)τn+1/2= unj,m + Λunj,m + τ fj,m2и учтем, что в граничных узлах значения сеточной функции un+1 известны:¡¢¡¢n+1un+1,xj , ym , tn+1 ∈ Γh .(6.3)j,m = µ xj , ym , tВ результате получилась система из N = (Nx − 1)(Ny − 1) линейныхуравнений для определения такого же количества неизвестных un+1j,m .Как решить систему (6.2)? Метод исключения Гаусса при решениисистемы N уравнений требует выполнения примерно N 3 арифметических операций, поэтому этот метод для нас не подходит, поскольку для91экономичной схемы число операций должно быть пропорциональнымчислу N .
Решение проблемы создания экономичного алгоритма для рассматриваемого типа задач лежит на другом пути.6.1. Схема приближенной факторизации (СПФ). Учитывая,чтоun+1 − unun+1 = un + τ,τперепишем схему Кранка — Николсон (6.1) в виде³E−τ ´ un+1 − unΛ= Λun + f n+1/22τ(6.4)или в канонической формеBun+1 − un= Λun + f n+1/2 ,τ(6.5)ττττΛ = E − (Λxx + Λyy ) = E + Ax + Ay .2222Обратив неявный оператор B, найдем сеточную функцию un+1 на(n + 1)-м слое:где B = E −³´un+1 = un + τ B −1 Λun + f n+1/2 .(6.6)Однако непосредственное обращение оператора B является чрезвычайно трудоемкой задачей. В то же время если мы представим операторB в виде произведения нескольких более простых, легко обращаемых(«экономичных») операторов (факторизуем оператор B)B = B1 B2 · · · Bp ,(6.7)то и сам оператор B может быть легко (экономично) обращен.
Покажемэто.Схема (6.5) с факторизованным оператором (6.7) (ее называют факторизованной )B1 B2 · · · Bpun+1 − un= Λun + f n+1/2τ92эквивалентна схеме из p дробных шаговB1 ξ n+1/p = Λun + f n+1/2 ,B2 ξ n+2/p = ξ n+1/p ,··················Bp−1 ξ n+(p−1)/p = ξ n+(p−2)/p ,(6.8)Bp ξ n+1 = ξ n+(p−1)/p ,un+1 − un= ξ n+1 .τНа каждом k-м дробном шаге промежуточное значение ξ n+k/p находится простым обращением оператора Bk (k = 1, . . . , p). Таким образом, факторизация сложного оператора позволила свести его обращение к последовательному обращению нескольких более простых.К сожалению, точно факторизовать неявный оператор удается редко.
Поэтому, как правило, производится приближенная факторизацияB ≈ B1 B2 · · · Bp .(6.9)Определение. Если замена неявного оператора на факторизованный проводится приближенно, то получающаяся схема называетсясхемой приближенной факторизации.Определение. Погрешность, вносимая в исходную схему при приближенной факторизации, называется погрешностью факторизации.Рассмотрим произвольную схемуun+1 − un+ Aun = ϕn(6.10)τс постоянными операторами A и B и предположим, что оператор Bудается представить в видеBB = E + τ (R1 + .
. . + Rp ) .(6.11)Тогда оператор B можно приближенно факторизовать, например, так:B ≈ (E + τ R1 ) · · · (E + τ Rp ) ≡ B̃.(6.12)В результате получается факторизованная схема(E + τ R1 ) · · · (E + τ Rp )un+1 − un+ Aun = ϕn .τ93(6.13)Поскольку факторизованная схема не совпадает с исходной, то для неенадо заново проводить исследование аппроксимации и устойчивости.В частности, операторы Rk следует выбирать так, чтобы не понизилсяпорядок аппроксимации.Возникает вопрос: если исходная схема устойчива, то будет ли СПФтакже устойчивой?Лемма 6.1.
Пусть A = A∗ > 0 и оператор B имеет вид (6.11),где операторы Rk — самосопряженные, неотрицательные и попарноперестановочныеRk = Rk∗ ≥ 0,Rk Rm = Rm Rk ,m, k = 1, 2, . . . , p.(6.14)Тогда если схема (6.10) устойчива по начальным данным в HA , тоСПФ (6.13) также устойчива в HA .Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, поскольку схема (6.10)устойчива в HA и B = B ∗ > 0, тоB ≥ 0, 5τ A.Для произведения операторов Rα Rβ имеем(Rα Rβ u, v) = (Rβ u, Rα v) = (u, Rβ Rα v) = (u, Rα Rβ v),∀u, v ∈ Hh ,т. е.
(Rα Rβ )∗ = Rα Rβ . Это означает, что оператор Rα Rβ является самосопряженным. Кроме того, этот оператор является неотрицательным,что следует из леммы 2.21/21/2(RαRβ Rαu, u) ≥ 0,1/21/21/2∀u ∈ Hh1/2и равенства Rα Rβ Rα = Rα Rα Rβ = Rα Rβ . Аналогично показывается, что любые произведения операторов Rk являются самосопряженными неотрицательными операторами. Поэтому для оператора факторизованной схемы получим, что B̃ = B̃ ∗ иB̃ = E + τ (R1 + . .
. + Rp ) + τ 2 Qp = B + τ 2 Qp ≥ B ≥ 0, 5τ A,где оператор Qp представлен суммой всевозможных произведений операторов Rk ( Rα Rβ , Rα Rβ Rγ , . . .). Следовательно, по теореме о необходимом и достаточном условии устойчивости получаем, что факторизованная схема также будет устойчивой по начальным данным в HA .94Вернемся опять к схеме Кранка — Николсон (6.4) и рассмотрим длянее следующую схему приближенной факторизации:³E−´³´ un+1 − unττΛxx E − Λyy= Λun + f n+1/2 .22τ(6.15)Поскольку схема Кранка — Николсон абсолютно устойчива, а операторы Ax = −Λxx и Ay = −Λyy являются самосопряженными, положительными и перестановочными (см.
задачу 6.1), то по лемме 6.1 СПФ(6.15) также будет абсолютно устойчивой схемой.Выясним порядок аппроксимации СПФ (6.15). Перепишем эту схемув виде³τ2τ ´E − Λ ut = Λun + f n+1/2 − Λxx Λyy ut .24Таким образом, СПФ (6.15) с точностью до члена порядка O(τ 2 ) совпадает со схемой Кранка — Николсон (6.4), поэтому она также имеетпогрешность аппроксимации порядка O(τ 2 + h2x + h2y ).Для определения un+1 будем использовать метод дробных шагов (6.8):³´τn+1/2n+1/2(6.16)E − Λxx ξj,m = Λunj,m + fj,m ;2³´τn+1/2n+1E − Λyy ξj,m= ξj,m ;(6.17)2n+1nun+1j,m = uj,m + τ ξj,m ,(6.18)где ξ n+1/2 и ξ n+1 — вспомогательные сеточные функции.Сначала на первом дробном шаге (6.16) находим сеточную функциюξ n+1/2 , а затем на втором шаге (6.17) — ξ n+1 и, наконец, на третьем шагепо формуле (6.18) вычисляем окончательное решение un+1 .
На первомшаге схема неявная по x и при каждом m функция ξ n+1/2 находитсяскалярной прогонкой, при этом общее количество операций пропорционально произведению Nx Ny . Аналогично, на втором шаге схема является неявной по y и при каждом j вспомогательную функцию ξ n+1находим также скалярной прогонкой. Общее количество операций дляперехода со слоя n на слой n + 1 пропоционально Nx Ny . Таким образом, СПФ попадает под определение экономичной. Подчеркнем, чтоэтого нам удалось добиться за счет использования приближенной факторизации оператора B и сведения перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач.
Это и есть основная идеяпостроения большинства (но не всех) экономичных методов.95Замечание. При реализации первого дробного шага необходимоn+1/2n+1/2знать на границах x = 0 и x = lx значения ξ0,mи ξNx ,m(m = 1, . . . , Ny − 1). Они находятся из уравнения второго шага (6.17)³´ µn+1 − µnτξ n+1/2 = E − Λyy.(6.19)2τПри этом вторая производная Λyy вычисляется вдоль границ x = 0и x = lx .Определение.
Разностная схема для уравнения теплопроводности обладает свойством полной аппроксимации, если при установлении, т. е. при ut = 0, она переходит в разностную схему для уравненияПуассона.Не все схемы обладают свойством полной аппроксимации (см. задачи 6.7 и 6.8). Очевидно, что СПФ (6.15) обладает свойством полнойаппроксимации.
Следовательно, ее можно применять в методе установления для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. При использовании СПФ в качестве метода установления для решения задачиДирихле (5.3), в которой граничная функция µ не зависит от времени t,для вспомогательных функций следует задавать согласно уравнениям(6.19) и (6.18) следующие граничные значения:n+1/2ξ0,m= 0,n+1ξj,0= 0,n+1/2ξNx ,m = 0,n+1ξj,N= 0,ym = 1, . . .
, Ny − 1;j = 1, . . . , Nx − 1.(6.20)(6.21)Для трехмерной задачи (5.2) СПФ, полученная из схемы Кранка —Николсон, имеет вид³´³´³´ un+1 − unτττE − Λxx E − Λyy E − Λzz= Λun + f n+1/2 , (6.22)222τт. е. она совершенно аналогична СПФ для двумерной задачи. В дробных шагах ее можно реализовать в соответствии с приведенным вышеметодом дробных шагов (6.8):´³τn+1/3n+1/2(6.23)E − Λxx ξj,m = Λunj,m + fj,m ;2³´τn+2/3n+1/3E − Λyy ξj,m = ξj,m ;(6.24)2³´τn+2/3n+1E − Λzz ξj,m= ξj,m ;(6.25)2n+1nun+1(6.26)j,m = uj,m + τ ξj,m .96Из леммы 6.1 следует, что схема приближенной факторизации (6.22)для трехмерной задачи абсолютно устойчива. Так же как в двумерномслучае, легко проверяется, что она имеет погрешность аппроксимациипорядка O(τ 2 + h2x + h2y + h2z ) и обладает свойством полной аппроксимации.6.2. СПН — схема переменных направлений (схема продольно–поперечной прогонки ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
