1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сходимость явного метода простой итерации. Как сказано выше, метод установления позволяет искать решение стационарнойзадачи как предельное при t → ∞ решение соответствующей нестационарной задачи. Приме́ним метод установления для решения стационарной задачи Дирихле (5.3). Аппроксимируем эту задачу разностнойсхемойΛuj,m + fj,m = 0, (xj , ym ) ∈ ωh ,(5.36)uj,m = µ(xj , ym ), (xj , ym ) ∈ γhи рассмотрим соответствующую явную разностную схему для уравнения теплопроводности с коэффициентом теплопроводности ν = 1:nun+1j,m − uj,m= Λunj,m + fj,m , (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1, . . . ,τunj,m = µ(xj , ym ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,u0j,m = u0 (xj , ym ),(5.37)(xj , ym ) ∈ ω̄h ,при этом функции µ и f в стационарной и нестационарной задачаходни и те же, а начальная функция u0 в нестационарной задаче беретсяпроизвольной, но так, чтобы она удовлетворяла граничному условиюu0 (xj , ym ) = µ(xj , ym ),(xj , ym ) ∈ γh .(5.38)Такую функцию можно построить, например, методом трансфинитной интерполяции.
Сначала с помощью линейной интерполяциипо направлению оси Ox строим вспомогательную функцию¡xx¢ũ0 (x, y) = µ(lx , y) + 1 −µ(0, y),lxlx85которая удовлетворяет граничным условиям на левой и правой сторонах прямоугольника Ω̄, но не удовлетворяет граничным условиям нанижней и верхней сторонах. Затем, используя интерполяцию в вертикальном направлении, получаем окончательный вид начальной функцииu0 (x, y) = ũ0 (x, y)+(5.39)¤ ¡¤y£y ¢£+ µ(x, ly ) − ũ0 (x, ly ) + 1 −µ(x, 0) − ũ0 (x, 0) ,lylyудовлетворяющей граничным условиям на всех четырех сторонах прямоугольника Ω̄.Отметим, что при решении стационарных задач методом установления нам важно предельное при t → ∞ решение нестационарной задачи, а решения на промежуточных слоях по времени нас не интересуют.В этом заключается сходство метода установления с итерационнымиметодами решения задач.
Поэтому будем смотреть на схему (5.37) какна итерационный процесс, в котором n — номер итерационного шага,а τ — итерационный параметр. Рассматриваемая итерационная схеманазывается явным методом простой итерации.Укажем еще на одну особенность. При использовании схем для решения начально-краевых задач мы должны брать шаги по времени достаточно малыми, чтобы лучше описать нестационарный процесс, например нестационарный процесс теплопроводности. Если же мы используем эту схему как итерационный метод, то итерационный параметр τвыбирается из условия минимальности числа итераций, требуемых дляполучения решения стационарной задачи с интересующей нас точностью.
Следовательно, в итерационном процессе параметр τ может принимать относительно большие значения и возникает проблема выбораоптимального значения для τ , т. е. такого значения τопт , при которомитерационный процесс сходится к решению стационарной задачи наиболее быстро.Теорема 5.3. При выполнении условия1¶(5.40)τ≤ µ11+2h2xh2yявный метод простой итерации (5.37) сходится, при этомτопт =2=λmin + λmax86µ21¶.11+h2xh2y(5.41)nД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть zj,m— погрешность на n-й итерациив узле (xj , ym ), т.
е.nzj,m= unj,m − uj,m .(5.42)Тогда для z n получаем следующую задачу:n+1nzj,m− zj,mn= Λzj,m, (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1, . . . ,τnzj,m = 0, (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,0zj,m= u0 (xj , ym ) − uj,m ,(5.43)(xj , ym ) ∈ ω̄h .В этой задаче разностное уравнение и краевые условия являются однородными, поэтому решение можно представить в виде конечного рядаФурье (5.29), т. е.zn =NXy −1x −1 NXk=1¡¢n 0q(k,l) T(k,l)ψ (k,l) ,(5.44)l=10где в качестве T(k,l)надо взять коэффициенты Фурье функции z 0 .Теперь, используя равенство Парсеваля, получаемn 2kz k =NXy −1 hx −1 NX¡k=1≤т.
е.q(k,l)¢n0T(k,l)i2≤l=1µ¶¶y −1 hx −1 Ni2 µX¯¯ 2n NX¯¯ 2n ° 0 °20°z ° ,max ¯q(k,l) ¯T(k,l)= max ¯q(k,l) ¯k,lk=1k,ll=1kz n k≤kz 0 kµ¶¯¯ nmax ¯q(k,l) ¯ .k,l(5.45)Покажем, что оценка (5.45) неулучшаема, т. е. в ней нельзя поставить знак строгого неравенства. В самом деле, пусть¯¯ ¯¯max ¯q(k,l) ¯ = ¯q(k0 ,l0 ) ¯k,lиz 0 = ψ (k0 ,l0 ) .87(5.46)° °Тогда °z 0 ° = 1, а для коэффициентов Фурье такой начальной функцииполучаем следующие выражения:½1,если k = k0 и l = l0 ,0T(k,l)=0,если k 6= k0 или l 6= l0 ,поэтому¡¢nz n = q(k0 ,l0 ) ψ (k0 ,l0 ) .Следовательно, для функции z 0 , выбранной по формуле (5.46), неравенство (5.45) переходит в равенств¯¯ n¯¯kz n kn¯q(k ,l ) ¯n = max ¯q(k,l) ¯ .=kzk=0 0k,lkz 0 kИтак, о сходимости итераций можно судить по поведению приn → ∞ правой части неравенства (5.45).
Поскольку при условии (5.30)справедливо неравенство (5.31), то из оценки (5.45) получаем, чтоkz n k= 0,n→∞ kz 0 klimт. е. итерационный процесс действительно сходится.Осталось найти τопт . Для этого на отрезке [λmin , λmax ] рассмотримфункциюq(τ, λ) = |1 − τ λ|(5.47)и выясним, при каком значении τ величинаmaxq(τ, λ) принимаλmin ≤λ≤λmaxет минимальное значение.Ясно, что при каждом фиксированном значении τmaxλmin ≤λ≤λmaxq(τ, λ) = max (q(τ, λmin ), q(τ, λmax )) == max (|1 − τ λmin |, |1 − τ λmax |) ,а минимальное значение правой части достигается только в том случае,когда выполняется равенство1 − τ λmin = − (1 − τ λmax ) ,из которого и следует формула (5.41) для τопт .88Посмотрим, какое минимальное количество n шагов в итерационном методе (5.37) с оптимальным значением τопт нужно проделать, чтобы для произвольного начального приближения относительная погрешность стала бы меньше заданного числа ε > 0:kz n k≤ ε.kz 0 kДля этого необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства:¶µ¯¯ n¯¯≤ ε.(5.48)max q(k,l)k,lДля простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки с шагомh = l/N , покрывающей квадрат Ω̄ со стороной l.
Тогдаmaxλmin ≤λ≤λmaxq(τопт , λ) = 1 − τопт λmin = 1 −πhπhh2 8· 2 sin2= 1 − 2 sin2.4 h2l2lСледовательно, неравенство (5.48) эквивалентно такому¶nµπh≤ ε,1 − 2 sin22lилиn≥ln ε¡ln 1 − 2 sin2¢.(5.49)2 2 1ln εN ln .2 2 =π2ε− π2lh2(5.50)πh2lПолучим оценку для nmin при малых h:nmin ≈ln ε−2 sin2πh2l≈Например, при N = 100, ε = 0.45 · 10−4 ≈ e−10 получим nmin ≈ 20 000.89ЗАДАЧИ5.1. С помощью спектрального метода Неймана показать, что дляполностью неявной двухслойной схемы (5.6) необходимый спектральный признак устойчивости по начальным данным выполняется при любом законе предельного перехода.5.2. С помощью спектрального метода Неймана показать, что длясхемы Кранка — Николсон (5.7) необходимый спектральный признакустойчивости по начальным данным выполняется при любом законепредельного перехода.5.3.
Используя принцип максимума, показать, что полностью неявная схема (5.6) абсолютно устойчива в равномерной норме (5.13), (5.14).5.4. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости схемы Кранка — Николсон (5.7) в равномерной норме.5.5. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи(5.6) с однородным уравнением (f ≡ 0) и однородными краевыми условиями (µ ≡ 0).5.6. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи(5.7) с однородным уравнением и однородными краевыми условиями.5.7.
Пусть для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используется метод установления, основанный на полностью неявной схеме (5.6):nun+1j,m − uj,m= Λun+1(xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1, . . . ,j,m + fj,m ,τunj,m = µ(xj , ym ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,(5.51)u0j,m = u0 (xj , ym ),(xj , ym ) ∈ ω̄h .Доказать, что при n → ∞ решение un задачи (5.51) стремится в среднеквадратичной норме (5.18) к решению u задачи Дирихле (5.36).5.8.
Пусть для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используется метод установления, основанный на схеме Кранка — Николсон(5.7), т. е. итерационный методnnun+1un+1j,m − uj,mj,m + uj,m=Λ+ fj,m , (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1, . . . ,τ2(5.52)unj,m = µ(xj , ym ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,u0j,m = u0 (xj , ym ),(xj , ym ) ∈ ω̄h .Докажите, что при n → ∞ решение задачи (5.52) будет стремиться всреднеквадратичной норме к решению стационарной задачи (5.36).90§ 6. Экономичные разностные схемыИсследуя явную схему (5.4), мы отметили, что ее реализация предельно проста: зная сеточную функцию un на n-м временно́м слое, появным формулам (5.16) отыскиваем сеточную функцию un+1 на следующем по времени слое.
При этом количество выполненных арифметических действий будет пропорционально числу неизвестных значенийun+1j,m , т. е. числу N = (Nx − 1)(Ny − 1).Определение. Разностные схемы, в которых число арифметических действий для перехода от un к un+1 пропорционально числунеизвестных значений, называются экономичными.Итак, явная схема экономична и в этом смысле неулучшаема. Однако она устойчива лишь при жестком ограничении на шаг τ (см. неравенства (5.10), (5.12)), что делает ее практически непригодной.Рассмотрим теперь неявные схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
