1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Рассмотрим другие реализации в дробных шагах одной и той же схемы приближенной факторизации (6.15). В СПФв дробных шагах (6.16), (6.17) вместо ξ n+1/2 введем промежуточное решение un+1/2 по формулеξ n+1/2 =un+1/2 − un.τ /2(6.27)Тогда формулы метода дробных шагов (6.16)—(6.18) переходят в следующие:³´un+1/2 − un− Λxx un+1/2 − un = Λun + f n+1/2 ;τ /2¡¢ un+1/2 − un1un+1 − un− Λyy un+1 − un =,τ2τ /2илиun+1/2 − un= Λxx un+1/2 + Λyy un + f n+1/2 ;τ /2(6.28)un+1 − un11un+1/2 − un− Λyy un+1 + Λyy un =.(6.29)τ22τ /2Если теперь из первого уравнения (6.28) выразить Λyy un и подставитьво второе, то получим окончательный вид формул СПН:n+1/2uj,m− unj,mn+1/2n+1/2= Λxx uj,m + Λyy unj,m + fj,m ;τ /2n+1/2(6.30)un+1j,m − uj,mn+1/2n+1/2= Λxx uj,m + Λyy un+1.(6.31)j,m + fj,mτ /2Каждый из дробных шагов реализуется прогонками (см.

задачу 6.2).На первом шаге (6.30) для вычисления un+1/2 используется продольнаяпрогонка (прогонка по x при каждом фиксированном m = 1, . . . , Ny −1),а на втором шаге (6.31) с помощью поперечной прогонки находим un+1 .97Для реализации продольных прогонок необходимо иметь граничныезначения промежуточного решения un+1/2 в узлах сетки на левой x = 0и правой x = lx сторонах прямоугольника Ω. Ввиду равенств (6.27)и (6.19) получаем, что´ µn+1 − µnτ n+1/2τ³τξ= µn +E − Λyy=222τun+1/2 = un += µn +(6.32)n+1n¡¢¡¢µ+µττ−µ− Λyy µn+1 − µn =− Λyy µn+1 − µn .2424n+1µnИз этой формулы следует, что при использовании СПН для решениязадачи Дирихле (5.3) следует задавать следующие граничные значениядля промежуточного решения:n+1/2u0,m= µ(0, ym ),n+1/2uNx ,m = µ(lx , ym ),m = 1, .

. . , Ny − 1.(6.33)Как обобщить СПН (6.30), (6.31) для трехмерной задачи (5.2)? Рассмотрим, например, следующее естественное обобщение (схема Писмена — Рекфорда):un+1/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un + Λzz un + f n+1/2 ;τ /3(6.34)un+2/3 − un+1/3= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un+1/3 + f n+1/2 ; (6.35)τ /3un+1 − un+2/3= Λxx un+2/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un+1 + f n+1/2 .τ /3(6.36)Схема (6.34)—(6.36) экономична, но имеет порядок аппроксимацииO(τ + h2x + h2y + h2z ). Кроме этого недостатка она не обладает свойствомполной аппроксимации (см. задачу 6.3). Еще один существенный недостаток схемы (6.34)—(6.36) состоит в том, что она условно устойчива:для устойчивости необходимо выполнение неравенствντ3≤ ,h2x2ν3τ≤ ,h2y2ν3τ≤ .h2z2(6.37)Чтобы получить в трехмерном случае СПН с хорошими свойствами, будем строить ее на основе СПФ (6.22), но вместо дробных шагов(6.23)—(6.26) будем использовать другие дробные шаги, аналогичные98СПН (6.30), (6.31).

Для этого вместо вспомогательных функций ξ n+1/3и ξ n+2/3 введем промежуточные решения un+1/3 и un+2/3 по формуламξ n+1/3 =un+1/3 − un,τ /2ξ n+2/3 =un+2/3 − un.τ /2(6.38)Тогда дробные шаги (6.23)—(6.26) запишутся так:un+1/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un + Λzz un + f n+1/2 ;τ /2(6.39)un+2/3 − unun+1/3 − un= Λyy un+2/3 − Λyy un +;τ /2τ /2(6.40)un+1 − un11un+2/3 − un= Λzz un+1 − Λzz un +.τ22τ /2(6.41)Второе уравнение с учетом первого можно переписать так:un+2/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un + f n+1/2 .τ /2(6.42)Выразим отсюда Λzz un и подставим в уравнение (6.41).

В результатеполучим СПН со следующими дробными шагами:un+1/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un + Λzz un + f n+1/2 ;τ /2(6.43)un+2/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un + f n+1/2 ;τ /2(6.44)un+1 − un+2/3= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un+1 + f n+1/2 .τ /2(6.45)Видим, что такая реализация СПФ в трехмерном случае аналогична двумерной СПН (6.30), (6.31), поэтому схему (6.43)—(6.43) тоже будем называть схемой переменных направлений. Поскольку построеннаяСПН эквивалентна СПФ, то она абсолютно устойчива, имеет второйпорядок аппроксимации по τ , hx , hy , hz , обладает свойством полнойаппроксимации и является экономичной.996.3.

ССП — схема стабилизирующей поправки (схема Дугласа — Рекфорда). Рассмотрим еще одну реализацию СПФ (6.15) длядвумерной задачи. В методе дробных шагов (6.16)—(6.18) вместо ξ n+1/2введем промежуточное решение un+1/2 по формулеξ n+1/2 =un+1/2 − un.τ(6.46)Тогда дробные шаги СПФ запишутся так:³E−´ un+1/2 − unτΛxx= Λun + f n+1/2 ;2τ³E−´ un+1 − unun+1/2 − unτΛyy=,2ττили³´un+1/2 − un1= Λxx un+1/2 + un + Λyy un + f n+1/2 ;τ2¡¢un+1 − un+1/21= Λyy un+1 − un .τ2(6.47)(6.48)Реализация СПФ в дробных шагах (6.47), (6.48) называется ССП.Она является экономичной, поскольку вычисление промежуточного решения un+1/2 и решения un+1 на (n+1)-м временно́м слое производитсяметодом прогонки в продольном и поперечном направлениях, соответственно.Чтобы осуществить продольную прогонку на первом дробном шаге(6.47), необходимо иметь граничные значения сеточной функции un+1/2при x = 0 и x = lx .

Из равенств (6.46) и (6.19) получаем, что³´ µn+1 − µnτun+1/2 = un + τ ξ n+1/2 = µn + τ E − Λyy=2τn+1=µ¡¢τ− Λyy µn+1 − µn .2(6.49)При решении задачи Дирихле (5.3) функция µ не зависит от времени, поэтому граничные значения для промежуточного решения следуетзадавать по формулам (6.33).100Обобщим ССП (6.47), (6.48) на трехмерный случай. Для этого вместо вспомогательных функций ξ n+1/3 и ξ n+2/3 , использующихся в методе дробных шагов (6.23)—(6.26) для СПФ, введем промежуточныерешения un+1/3 и un+2/3 по формуламun+1/3 − un,τξ n+1/3 =ξ n+2/3 =un+2/3 − un.τ(6.50)Тогда вместо формул (6.23)—(6.26) получим следующие:un+1/3 − un= Λxxτµun+1/3 + un2¶+ Λyy un + Λzz un + f n+1/2 ;³´1un+2/3 − un+1/3= Λyy un+2/3 − un ;τ2(6.51)(6.52)¡¢un+1 − un+2/31(6.53)= Λzz un+1 − un .τ2Поскольку и в трехмерном случае ССП является лишь иной реализацией в дробных шагах СПФ, то ССП обладает теми же свойствами, чтои СПФ: она экономична, абсолютно устойчива, имеет второй порядокаппроксимации по τ , hx , hy и является схемой полной аппроксимации.6.4.

Сходимость итерационного метода переменных направлений. Для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используем итерационный процесс, основанный на схеме приближенной факторизации(6.15):nun+1ττj,m − uj,mΛxx )(E − Λyy )= Λunj,m + fj,m ,22τ(xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1 . . . ,= µ(xj , ym ), (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,(E −unj,mu0j,m = u0 (xj , ym ),(6.54)(xj , ym ) ∈ ω̄h .СПФ имеет несколько реализаций в дробных шагах, но все эти реализации используют прогонки с переменой направления с продольногона поперечное, поэтому итерационный метод (6.54) будем называть методом переменных направлений. Покажем, что этот итерационный метод сходится, причем намного быстрее, чем рассмотренный выше явныйметод простой итерации.101Теорема 6.1.

Метод переменных направлений (6.54) сходится, приэтом для квадратной области Ω̄ (lx = ly = l) и квадратной сетки(hx = hy = h = l/N )h2.(6.55)τопт =πhsinlnД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть zj,m= unj,m − uj,m — погрешностьна n-й итерации в узле (xj , ym ). Для нее получаем следующую задачу:³´³´ z n+1 − z nττj,mj,mnΛxx E − Λyy= Λzj,m,22τ(xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, 1 . . .

,= 0, (xj , ym , tn ) ∈ Γh ,E−nzj,m0= u0 (xj , ym ) − uj,m ,zj,m(6.56)(xj , ym ) ∈ ω̄h .Поскольку эта задача однородная, то ее решение можно представитьв виде конечного ряда Фурье (5.27)nz =NXy −1x −1 NXk=1nψ (k,l) .T(k,l)(6.57)l=1nКоэффициенты T(k,l)этого ряда найдем, подставив решение (6.57) в разностное уравнение задачи (6.56):n+1n³T(k,l)− T(k,l)τ(x)λk1+³´τ (x) ´ ³τ (y) ´(x)(y)nλk1 + λl= − λk + λlT(k,l),22(y)гдеи λl— собственные значения операторов Ax = −Λxxи Ay = −Λyy соответственно. Отсюда получаем, чтоn+1nT(k,l)= q(k,l) T(k,l),где³τ (x) ´ ³τ (y) ´λk1 − λl22q(k,l) = ³τ (y) ´ .τ (x) ´ ³1 + λl1 + λk22Поэтому решение (6.57) можно записать в виде (5.44)1−nz =NXy −1x −1 NXk=1где0T(k,l)(6.58)¡¢n 0q(k,l) T(k,l)ψ (k,l) ,l=1— коэффициенты Фурье функции начальной ошибки z 0 .102Тогда для относительной ошибки на n-ой итерации будем иметь такую же неулучшаемую оценку (5.45), как в теореме 5.3:kz n k≤kz 0 kµ¶¯¯ nmax ¯q(k,l) ¯ ,(6.59)k,lпоэтому о сходимости и скорости сходимости итераций можно судитьпо поведению правой части этого неравенства.Изсобственных значений операторов Ax и Ay следует, что¯ свойств¯max ¯q(k,l) ¯ < 1, поэтому итерационный метод переменных направленийk,lсходится.Найдем значение итерационного параметра τ , при котором в случаеквадратной области (lx = ly = l) и квадратной сетки (hx = hy = h)итерации будут сходиться наиболее быстро.

Для квадратной сетки соб(x)(y)ственные значения λk и λk совпадают, поэтому для них можно использовать общее обозначение λk , с учетом которого выражение (6.58)примет видττ1 − λk 1 − λl22·q(k,l) =ττ .1 + λk 1 + λl22Пустьα = min λk =k4πhsin2,2h2lβ = max λk =k4πhcos2.2h2lНа квадрате [α, β] × [α, β] рассмотрим функциюττλ 1− µ22q(τ, λ, µ) =τ ·τ .1+ λ 1+ µ221−(6.60)Тогда q(k,l) = q(τ, λk , λl ). Легко убедиться, что функция |q(τ, λ, µ)|(см.

ее график на рис. 1, а) будет принимать максимальное значениев одном из углов квадрата [α, β] × [α, β], т. е.max |q(τ, λ, µ)| = max (|q(τ, α, α)| , |q(τ, α, β)| , |q(τ, β, β)|) .α≤λ,µ≤β103При любом τ > 0 среднее из чисел меньше одного из крайних, поэтому³τ ´2 ³τ ´21− α1− β22max |q(τ, λ, µ)| = max  ³,=τ ´2 ³τ ´2 α≤λ,µ≤β1+ α1+ β22¯τ ¯¯ ¯¯τ ¯¯ 2¯³ ¯1 − α ¯ ¯1 − β ¯ ´22 ≡ Q2 (τ ).= maxτ ,τ1+ α1+ β22График функции Q(τ ) показан на рис. 1, б.1.00Q|q|1.00.50.7500.00100100200200λ300300µ0.50а00.1τ0.2бРис. 1. Графики функций: а — |q(τ, λ, µ)| при τ = h; б — Q(τ ); lx = 1;ly = 1; Nx = 10; Ny = 10Нетрудно проверить, что1 − τ2 α 1 + τ α,2Q(τ ) =τβ−12,1 + τ2 βпри2,0<τ ≤ √αβ2,τ≥√αβ√поэтому функция Q(τ ) принимает при τ = 2/ αβ минимальное значениеrα1−βr .min Q(τ ) =τα1+βпри104Итак,πh 2¯¯ 2l  ;min max ¯q(k,l) ¯ = πh τk,l1 + tg2lh2τопт =,πhsinlчто и доказывает теорему.1 − tg(6.61)(6.62)Чтобы при оптимальном значении итерационного параметра τ относительная погрешность в (6.59) стала меньше заданного положительного числа ε, необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства:πh 2n1 − tg2l  ≤ ε,(6.63)πh 1 + tg2lт.

е.ln εÃ!.n≥(6.64)1 − tg πh2l2 ln1 + tg πh2lПри малых h/l отсюда получаемnmin ≈ln εln ε11¢≈=N ln .πhπh2πε2 ln 1 − 2 2l−2 l¡(6.65)Видим, что количество итераций в методе переменных направленийпропорционально числу N узлов, расположенных на стороне квадратаΩ, в то время как в методе простой итерации для достижения точностиε требовалось проделать число итераций, пропорциональное N 2 . Такимобразом, метод переменных направлений сходится гораздо быстрее, чемметод простой итерации.Например, при N = 100 получим, что при использовании метода переменных направлений будет достигнута относительная погрешность, не превосходящая ε = 0.45 · 10−4 ≈ e−10 для произвольногоначального приближения, если проделать nmin ≈ 160 итераций.

Характеристики

Список файлов книги