1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Отметим, что в некоторых случаях система уравнений (8.10), полученная методом конечных элементов, может совпадать с системой разностных уравнений для решениязадачи (8.1) на прямоугольной равномерной сетке (см. задачу 8.6) илис системой разностных уравнений (7.17) для приближенного решениятой же задачи на криволинейной сетке.В работах [4; 6] доказано, что при некоторых условиях на триангуляцию области приближенное обобщенное решение uh сходится к обобщенному решению u задачи (8.1).123ЗАДАЧИ8.1. Используя схему доказательства леммы 2.8.1, установить справедливость оценки (8.3) и вывести ее уточненный вариант:||u||L2 (Ω) ≤min(lx , ly )√k∇ukL2 (Ω) ,6u ∈ DA .8.2. Используя схему доказательства леммы 2.8.4, установить следующий факт: для того чтобы функция uh была приближенным обобщенным решением задачи (8.1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (8.8).8.3.

Покажите, что функция (8.11) равна единице в узле xj и нулюв вершинах xjk (k = 1, . . . , 6).8.4. Доказать, что система функций ϕj (j ∈ J) линейно независима.8.5. Вывести формулы (8.13), (8.14) для коэффициентов уравнения(8.12).8.6. Доказать, что если вершины треугольников совпадают с узламипрямоугольной равномерной сетки и каждая внутренняя по отношениюк Ω вершина xj является общей для шести прямоугольных треугольников ejjk jk+1 (рис. 5), то уравнения (8.12) после деления на hx hy совпадают со стандартной аппроксимацией (5.36) уравнения Пуассона напятиточечном шаблонеuj3 − 2uj + uj6uj − 2uj + uj2+ 5+ fj = 0,2hxh2yгде fj =(f, ϕj ).hx hyj ∈ J.j4j5hyjj6j3hyj1j2hxhxРис.

5. Конечные элементы на равномерной прямоугольной сеткес шагами hx и hy . Вершина xj является общей для шести прямоугольных треугольников ejjk jk+1 , k = 1, . . . , 6, j7 = j1124§ 9. Контрольная работа по теме«Конечно-разностные схемыдля уравнения теплопроводности»ВАРИАНТ 19.v1.1. Используя принцип максимума, найти достаточное условиеустойчивости в равномерной норме схемыun+1− unj12j= νΛun+1+ νΛunj + ϕnj , j = 1, . . . , N − 1,jτ33un0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ), n = 0, . . .

, M,u0j = u0 (xj ),(9.1)j = 0, . . . , N,аппроксимирующей на равномерной сетке xj = jh (j = 0, . . . , N ,h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь Λ — оператор второйразностной производной.9.v1.2. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости схемы (9.1) по начальным данным призаконе предельного перехода ντ /h2 = const.9.v1.3. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи(9.1), если ϕ ≡ 0, µ0 ≡ 0, µl ≡ 0,µ¶µ¶2πxjπ(l − 2xj )u0 (xj ) = 2 sinsin.l2lВычислить норму решения на слое.ВАРИАНТ 29.v2.1. Используя принцип максимума, найти достаточное условиеустойчивости в равномерной норме схемыun+1− unj111j=νΛun+1+ νΛunj + ϕnj , j = 1, .

. . , N − 1,jτ1212un0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ), n = 0, . . . , M,u0j = u0 (xj ),j = 0, . . . , N,125(9.2)аппроксимирующей на равномерной сетке xj = jh (j = 0, . . . , N ,h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь Λ — оператор второйразностной производной.9.v2.2. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости схемы (9.2) по начальным данным призаконе предельного перехода ντ /h2 = const.9.v2.3.

С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи(9.2), если ϕ ≡ 0, µ0 ≡ 0, µl ≡ 0,µ¶³ πx ´2πxjju0 (xj ) = 2 sin.cosllВычислить норму решения на слое.§ 10. Контрольная работа по теме«Исследование разностных схемдля уравнения теплопроводности»ВАРИАНТ 110.v1.1. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным схемы12νΛun+1+ νΛunj , j = 1, . . . , N − 1,j33un0 = 0, unN = 0, n = 0, . . .

, M,ut,j =u0j = u0 (xj ),(10.1)j = 0, . . . , N,аппроксимирующей на равномерной сетке xj = jh (j = 0, . . . , N ,h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесьun+1− unjunj+1 − 2unj + unj−1j, Λunj =.τh210.v1.2. Пусть ν = ν(x) > 0, νj+1/2 = 0, 5 (ν(xj ) + ν(xj+1 )),ut,j =Λunj =¢1¡νj+1/2 unx,j − νj−1/2 unx̄,j ,h126U n = un0N −1h X nh+uj h + unN .22j=1Показать, что разностная схема12ut,j = Λun+1+ Λunj , j = 1, . . . , N − 1,j3 ¶µ31 n+1 2 nh νux,0 + ux,0 − ut,0 = 0,1/23µ3¶21 n+1 2 nh νux̄,N + ux̄,N + ut,N = 0,N −1/2332 0uj = u0 (xj ), j = 0, . . . , N(10.2)сохраняет количество тепла U n , т. е.

U n = const, n = 0, . . . , M .ВАРИАНТ 210.v2.1. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным схемы111νΛun+1+ νΛunj , j = 1, . . . , N − 1,j1212un0 = 0, unN = 0, n = 0, . . . , M,ut,j =u0j = u0 (xj ),(10.3)j = 0, . .

. , N,аппроксимирующей на равномерной сетке xj = jh (j = 0, . . . , N ,h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесьun+1− unjunj+1 − 2unj + unj−1j, Λunj =.τh210.v2.2. Пусть ν = ν(x) > 0, νj+1/2 = 0, 5 (ν(xj ) + ν(xj+1 )),ut,j =Λunj =¢1¡νj+1/2 unx,j − νj−1/2 unx̄,j ,hU n = un0N −1h X nh+uj h + unN .22j=1Показать, что разностная схема111Λun+1+ Λunj , j = 1, .

. . , N − 1, ut,j =j1212 ¶µh1 n+1 11 n νux,0 +ux,0 − ut,0 = 0,1/21212µ¶21 n+1 11 nhνN −1/2ux̄,N +ux̄,N + ut,N = 0,12122 0uj = u0 (xj ), j = 0, . . . , Nсохраняет количество тепла U n , т. е. U n = const, n = 0, . . . , M .127(10.4)§ 11. Задания для лабораторной работы 4В данном параграфе приведены задания к практическим занятиямна ЭВМ по теме: «Разностные схемы для уравнений параболическоготипа с одной пространственной переменной».

Основная цель этих заданий состоит в экспериментальной проверке тех свойств численныхметодов, которые были установлены теоретически на лекциях и семинарских занятиях, выявлении новых, важных для практики особенностей используемых методов, экспериментальном сравнении разностныхсхем и экспериментальном определении условий их применимости.По каждому заданию готовится краткий отчет (о содержании отчета см. § 1.13).На лекциях мы изучали только первую начально-краевую задачудля уравнения теплопроводности (1.3). Задачи с краевыми условиямивторого и третьего рода рассматривались на семинарских занятиях.При выполнении лабораторных работ необходимо будет решать задачи с краевыми условиями первого, второго или третьего рода, а такжесмешанные краевые задачи, когда на левом конце отрезка [0, l] заданоусловие одного рода, а на правом — другого (см., например, задачу 1.6из § 1).Тестирование созданных программ проводить на точном решениизадачи, в качестве которого брать достаточно гладкую произвольнуюфункцию u(x, t) и для нее определять входные данные задачи: подставив ее в исходное уравнение, определить правую часть f (x, t); положивt = 0, найти начальные условия — функцию u0 (x); положив x = 0и x = l, определить в соответствующих краевых условиях функцииµ0 (t) и µl (t).

Для экспериментального определения порядка точностисхем выполнить расчеты на последовательности измельчающихся сеток. Для экспериментального определения условий устойчивости схемпровести расчеты при разных соотношениях шагов τ и h.11.1. В первой группе заданий рассматриваются конечно-разностныесхемы для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν.Задание 1.

На тестовых задачах с различными краевыми условиями выполнить численное исследование явной схемы. Экспериментально определить порядок точности схемы, а также показать, чтосхема является условно устойчивой. Экспериментально подтвердитьфакт повышения точности численного решения при использовании явной схемы повышенного порядка аппроксимации.128Задание 2. На примере первой краевой задачи экспериментальнодоказать, что схема Кранка — Николсон имеет второй порядок точности и абсолютно устойчива.Задание 3. На тестовых задачах с различными краевыми условиями численно исследовать схему с весами (1.5).

Экспериментально подтвердить условия устойчивости схемы с весами, приведенныев следствии 2 § 1. Путем проведения численных экспериментов показать, что схема повышенного порядка аппроксимации (вес σ вычисляется по формуле (1.74) ) абсолютно устойчива и имеет порядокточности, указанный в формуле (1.100).Задание 4. Экспериментально доказать, что неявная трехслойная схема (4.7) абсолютно устойчива и имеет порядок точностиO(τ 2 + h2 ).Задание 5.

Характеристики

Список файлов книги