1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Показать, что при w ≡ 1 линейное отображение x = ξlx , y = ηlyявляется решением уравнения (7.12).7.4. Доказать, что при w ≡ 1 координаты узлов равномерной на Ωсетки являются решением задачи (7.13).7.5. Показать, что разностная схема (7.18) аппроксимирует задачу(7.16) со вторым порядком по h1 и h2 .116§ 8. Метод конечных элементов8.1. Метод конечных элементов является эффективным способомчисленного решения различных задач для дифференциальных уравнений с частными производными со сложной формой области решения.Для упрощения изложения рассмотрим суть этого метода на том жепростейшем примере, который использовался в предыдущем параграфе— задаче Дирихле для уравнения Пуассона с двумя пространственными переменными в прямоугольнике Ω (7.1). Как и в одномерном случае,вначале сведем эту задачу к задаче с однородными краевыми условиями.

Для этого введем функцию v = u − u0 , взяв в качестве u0 функцию(5.39), которая удовлетворяет граничным условиям задачи (7.1). Тогдафункция v является решением задачи∆v + f˜(x) = 0, x ∈ Ω,v(x) = 0, x ∈ γ = ∂Ω,где ∆ — оператор Лапласа,¡yy¢f˜(x, y) = f (x, y) + µxx (x, ly ) + 1 −µxx (x, 0)+lyly+¡xx¢µyy (lx , y) + 1 −µyy (0, y).lxlxТаким образом, вместо задачи (7.1) можно решать задачу∆u + f (x) = 0, x ∈ Ω,u(x) = 0, x ∈ γ.(8.1)Введем линейный оператор A = −∆ с областью определенияno¯DA = u ∈ C 2 (Ω̄), u¯γ = 0 .Тогда задача (8.1) может быть записана в виде операторного уравненияAu = f.(8.2)Используя скалярное произведение в L2 (Ω) и взяв произвольныефункции u, v ∈ DA ⊂ L2 (Ω), согласно формуле Грина, получаемZZ(Au, v) = − v∆u dxdy = (ux vx + uy vy ) dxdy = (u Av),ΩΩ117поэтому оператор A является симметрическим [16] на DA .

Для произвольной функции u ∈ DA справедливы равенстваZZ2(Au, u) = (u2x + u2y ) dxdy = |∇u| dxdy = ||∇u||2L2 (Ω) ,ΩΩпоэтому из оценки (см. задачу 8.1)min(lx , ly )k∇ukL2 (Ω) , u ∈ DA ,(8.3)2аналогичной оценке (2.8.14) для функций одной переменной, получаем||u||L2 (Ω) ≤(Au, u) ≥ δ||u||2L2 (Ω) = δ(u, u)где δ = 4/ min(lx2 , ly2 ).

Таким образом, оператор A является симметрическим и положительно определенным на DA . Следовательно, на множестве DA можно ввести скалярное произведениеZ(u, v)A = (ux vx + uy vy ) dxdy, u, v ∈ DAΩи нормуkukA =p(u, u)A ,u ∈ DA .(8.4)Тогда решение u ∈ DA задачи (8.1) удовлетворяет равенству(u, v)A = (f, v),∀ v ∈ DA .Неполное в норме (8.4) множество DA можно замкнуть в этой норме [14], присоединив к нему пределы всех фундаментальных последовательностей функций из DA .

В результате такого замыкания получаетсягильбертово пространство HA — энергетическое пространство оператора A с энергетической нормой (8.4), которое совпадает с пространством◦Соболева W21 (Ω) [4].Как и в одномерном случае (см. § 2.8), обобщенным решением задачи(8.1) назовем функцию u ∈ HA , удовлетворяющую равенству(u, v)A = (f, v),∀ v ∈ HA .(8.5)Для одномерной задачи обобщенное решение существует, единственнои оценивается через правую часть f (см. теоремы 2.8.1 и 2.8.2). Для многомерных задач эти вопросы исследуются, например, в работах [4; 6].Далее будем предполагать, что для любой функции f ∈ L2 (Ω) обобщенное решение u ∈ HA существует и единственно.118◦8.2. Обобщенное решение u задачи (8.1) принадлежит пространствуW21 (Ω), которое является бесконечномерным и сепарабельным [14], следовательно, в нем существует счетный базис ϕj ∈ HA (j = 1, 2, .

. .).Пусть UN — конечномерное пространство с базисом ϕj ∈ HA(j = 1, . . . , N ). Это пространство является замкнутым подпространством пространства HA и для любой функции v ∈ UN имеет месторазложениеNXv(x) =vj ϕj (x), x ∈ Ω̄(8.6)j=1с вещественными коэффициентами vj .Определение. Приближенным обобщенным решением задачи (8.1)называется функция uh ∈ UN , такая что(uh , v)A = (f, v),∀v ∈ UN .(8.7)Далее будем предполагать, что для любой функции f ∈ L2 (Ω) приближенное обобщенное решение uh ∈ UN существует и единственно.Для того чтобы функция uh была приближенным обобщенным решением задачи (8.1), необходимо и достаточно выполнения равенств (см.задачу 8.2)(uh , ϕk )A = (f, ϕk ), k = 1, .

. . , N.(8.8)Поскольку приближенное решение принадлежит подпространствуUN , то подставляя его представление (8.6)uh (x) =NXuj ϕj (x),x ∈ Ω̄(8.9)j=1в равенства (8.8), приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов uj :NX(ϕj , ϕk )A uj = (f, ϕk ),k = 1, . . . , N.(8.10)j=1Квадратная матрица этой системы с элементами (ϕj , ϕk )A симметрична. Кроме того, она невырождена, поскольку является относительноэнергетического скалярного произведения матрицей Грама для базиса ϕj . Следовательно, система (8.10) однозначно разрешима. В общем119случае матрица этой системы является полнозаполненной, т. е.

все ееэлементы отличны от нуля. В методе конечных элементов в качествебазисных функций берутся финитные функции, в результате эта матрица становится разреженной и может иметь ленточную структуру.8.3. Для применения метода конечных элементов необходимо вначале выполнить дискретизацию области — ее разбиение на конечные элементы. В одномерной области элементами являются отрезки — ячейкисетки, неравномерной в общем случае. Для двумерных задач элементами разбиения могут быть треугольники, четырехугольники или другие многоугольники.

Всюду далее будем предполагать, что элементамиразбиения области Ω являются треугольники, при этом выполняютсяследующие условия:— все треугольники не вырождены в том смысле, что величины αвнутренних углов любых треугольников всех рассматриваемых разбиений ограничены снизу некоторым положительным числом: α ≥ α0 > 0;— объединение всех треугольников совпадает с Ω̄;— треугольники могут пересекаться только по своим границам;— для каждого треугольника любая его вершина либо лежит на границе γ, либо является вершиной некоторого другого треугольника;— для каждого треугольника любая его сторона либо лежит на γ,либо является стороной некоторого другого треугольника.y1.00.50.0012xРис. 3. Триангуляция прямоугольника ΩРазбиение области решения на треугольники, удовлетворяющее указанным требованиям, называется триангуляцией области (рис.

3).Пусть все различные вершины треугольников (общая вершина нес120кольких треугольников считается за одну вершину) данной триангуляции упорядочены и число таких вершин равно N0 . Через J0 обозначиммножество всех натуральных чисел от 1 до N0 . Вершина xj (j ∈ J0 )может принадлежать границе γ или находиться внутри области Ω. Через J обозначим подмножество множества J0 , состоящее из номеров техвершин xj (j ∈ J), которые лежат внутри Ω. Общее число таких вершин обозначим через N , N < N0 . Для треугольника с вершинами xjk(jk ∈ J0 , k = 1, 2, 3) будем использовать обозначение ej1 j2 j3 .В качестве примера на рис. 4, а показан случай когда вершина xj(j ∈ J) является общей для шести треугольников ejjk jk+1 , k = 1, .

. . , 6,где jk — номера вершин в общей нумерации вершин (jk ∈ J0 ) и принятоj7 = j1 . Площадь треугольника ejjk jk+1 вычисляется по формулеi1hSjjk jk+1 = (xjk − xj ) (yjk+1 − yj ) − (xjk+1 − xj ) (yjk − yj ) .2j4j5j4j3j3j5jj6j6jj2j1j1аj2бРис. 4. а — элементы с общей вершиной xj ; б — базисная функцияϕj (x)После того как триангуляция области выполнена, необходимо выбрать базисные функции. В методе конечных элементов в качестве базисных функций берутся кусочно-полиномиальные функции с конечным носителем. При этом задается набор узловых точек и каждая базисная функция ϕ связывается с одной из узловых точек x так, чтов этой точке она равна единице, в других узловых точках — нулю и носитель функции ϕ расположен в некоторой окрестности узловой точ121ки x.

Так, например, в одномерном случае в качестве узловых точеквыбирались узлы сетки и определялись кусочно-линейные финитныебазисные функции (2.8.59), связанные с этими узловыми точками. Еслимножество узловых точек состояло из узлов сетки и середин ее ячеек, тостроились кусочно-квадратичные базисные функции (см. подп. 2.8.9).Для двумерных задач имеется еще бо́льший произвол в способах задания узловых точек. Ими могут быть, например, центры треугольников (кусочно-постоянные базисные функции), вершины треугольников(кусочно-линейные функции), вершины треугольников и середины ихсторон (кусочно-квадратичные функции от двух переменных x, y) и т.

д.Вообще говоря, повышение степени полиномов, представляющих базисные функции, ведет к повышению точности приближенного решения.Далее мы будем рассматривать лишь случай кусочно-линейных базисных функций для узловых точек, совпадающих с вершинами треугольников построенной триангуляции. Пусть, например, вершина xjявляется внутренней (j ∈ J) и общей для шести треугольников ejjk jk+1(см. рис. 4, а). Тогда базисная функция ϕj (x) должна принимать в этойвершине значение, равное 1, во всех других вершинах — нулевое значение, быть линейной на каждом из треугольников ejjk jk+1 и равнойнулю вне объединения этих треугольников.

Этим условиям удовлетворяет функцияxjk yjk+1 − xjk+1 yjk + (yjk − yjk+1 )x − (xjk − xjk+1 )y,Sjjk jk+16[если x ∈ejjk jk+1 ,ϕj (x) =(8.11)k=16[0,еслиx∈Ω̄\ejjk jk+1 ,k=1являющаяся аналогом кусочно-линейной функции (2.8.59) для одномерной задачи. График функции ϕj (x) на ее носителе изображен нарис. 4, б. По такой же формуле определяются базисные функции ϕj (x),связанные с вершинами xj (j ∈ J), являющимися общими для другогочисла треугольников, а также с вершинами xj ∈ γ.Отметим, что ϕj ∈ HA и система функций ϕj (j ∈ J) линейнонезависима (задача 8.4) [4]. Тогда в качестве конечномерного подпространства UN можно взять линейную оболочку N функций ϕj (j ∈ J)и приближенное обобщенное решение искать в виде разложения (8.9),коэффициенты которого определяются путем решения системы (8.10).122Однако теперь, в силу локальности носителей базисных функций, числонеизвестных в каждом из уравнений (8.10) будет намного меньше общего числа N неизвестных.

Например, для случая, изображенного нарис. 4, а, уравнение (8.10) принимает следующий вид:(ϕj , ϕj )A uj +6X(ϕj , ϕjk )A ujk = (f, ϕj ),j∈J(8.12)k=1и содержит только семь неизвестных (точнее, не более семи, посколькунекоторые из вершин xjk могут оказаться на границе γ, где ujk = 0).В силу равенств¯¯yjk − yjk+1xj − xjk+1∂ϕj ¯¯∂ϕj ¯¯==− k,¯¯∂x x∈ejj jSjjk jk+1∂y x∈ejj jSjjk jk+1k k+1k k+1коэффициенты уравнения (8.12) вычисляются по следующим формулам:¯26 ¯¯Xxjk+1 − xjk ¯(ϕj , ϕj )A =;(8.13)4Sjjk jk+1k=1(ϕj , ϕjk )A =+(xjk − xjk+1 )(xjk+1 − xj ) + (yjk − yjk+1 )(yjk+1 − yj )+4Sjjk jk+1(xjk−1 − xjk )(xj − xjk−1 ) + (yjk−1 − yjk )(yj − yjk−1 ),4Sjjk jk−1(8.14)где принято, что j0 = j6 .Итак, при использовании финитных базисных функций матрица системы уравнений (8.10) становится разреженной и для решения этойсистемы можно использовать стандартные итерационные методы длясистем с разреженными матрицами [5].

Характеристики

Список файлов книги