1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (828847), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, оператор A не может быть положительным.Рассмотрим сеточную функцию u(0) , значения которой в узлах сеткипостоянны:√(0)uj = 1/ l, j = 0, . . . , N.(13.23)°°Тогда Au(0) = 0 и °u(0) °(1) = 1, поэтому функция (13.23) являетсянормированной собственной функцией оператора An , отвечающей егонулевому собственному значению.4.1. σ ≥ 1/4.Р е ш е н и е. Пусть u(x, t) — достаточно гладкое решение уравнения(4.1). Тогда£¤Λ σu(xj , tn+1 ) + (1 − 2σ)u(xj , tn ) + σu(xj , tn−1 ) =h2uxxxx + τ 2 σuttxx + O(τ 4 + h4 ),12при этом все функции из правой части вычисляются в точке (xj , tn ).Следовательно, для погрешности аппроксимации получается выражение=u+ψjn = ut +=τ2h2uttt − νuxx − ν uxxxx − ντ 2 σuttxx − ϕnj + O(τ 4 + h4 ) =612τ2h2uttt − ν uxxxx − ντ 2 σuttxx + f − ϕnj + O(τ 4 + h4 ).612153Учитывая следствия из уравнения (4.1)utt = ν 2 uxxxx + νfxx + ft ;uttt = ν 3 u(6) + ν 2 fxxxx + νfxxt + ftt ;uttxx = ν 2 u(6) + νfxxxx + ftxx ,получаемψjn = ν 3¤τ2h2τ2 £ 2(1 − 6σ)u(6) − ν uxxxx +ν (1 − 6σ)fxxxx + ν(1 − 6σ)ftxx +6126τ2ftt + f − ϕnj + O(τ 4 + h4 ).6Отсюда следует, что если ϕnj = f (xj , tn ), то ψjn = O(τ 2 + h2 ).
Если+σ=1,6ϕnj = f (xj , tn ) +τ2ftt (xj , tn ),6то ψjn = O(τ 4 + h2 ).Заметим, что при σ = 0 схема (4.9) совпадает со схемой Ричардсона(4.2), которая неустойчива, поэтому далее будем считать, что σ > 0.Множитель перехода λ является корнем уравнения F (λ) = 0, гдеF (λ) = (1 + σξ)λ2 + (1 − 2σ)ξλ − 1 + σξ,ξ = 8r sin2 (ϕ/2), r = ντ /h2 , ϕ — произвольное действительное число.Если для некоторого ξ дискриминант d = 4 + (1 − 4σ)ξ 2 квадратногоуравнения F (λ) = 0 неотрицателен, то корни этого уравнения будутвещественными числами и условие |λ1,2 | ≤ 1 будет эквивалентно выполнению системы неравенств−1 ≤ −(1 − 2σ)ξ≤ 1,2(1 + σξ)F (−1) ≥ 0,или4σξ ≥ ξ − 2,4σξ ≥ ξили σ ≥ 1/4.
Если d < 0, то2|λ1,2 | =σξ − 11 + σξи условие |λ1,2 | ≤ 1 также выполнено.154F (1) ≥ 0(13.24)Итак, необходимое условие устойчивости эквивалентно условию σ ≥1/4, при этом |λ1,2 | ≤ 1 при любых значениях r, т. е. при любых τ и h.4.2. σ ≥ −1/2.У к а з а н и е. Покажите, что на решении уравнения (4.1) выражениедля погрешности аппроксимации имеет следующий вид:³³´νh2 ´ψjn+1 = τ ν 2 (σ − 0, 5) −uxxxx + τ (σ − 0, 5) νfxx + ft +12+f − ϕnj + O(τ 2 + h4 ),при этом все функции изСледовательно,O(τ + h2 ), O(τ 2 + h2 ),ψjn+1 =O(τ 2 + h4 ),правой части вычисляются в точке (xj , tn+1 ).¢¡ϕnj = f xj , tn+1 ;¢¡σ = 0, 5, ϕnj = f xj , tn+1 ;h2σ = 0, 5 +, ϕn =12τ ν ¶ j¡¢h2(νfxx + ft ) xj , tn+1 .+12νесли σ 6= 0, 5,еслиеслиµ= f(13.25)Отметим, что при σ = 0, 5 схема (4.10) совпадает с неявной трехслойнойсхемой (4.7).Множитель перехода схемы (4.10) является корнем уравнения(1 + σ + ξ)λ2 − (1 + 2σ)λ + σ = 0,где ξ = 4r sin2 (ϕ/2) ≥ 0. Возьмем ξ = 0.
Чтобы для этого значенияξ корни уравнения удовлетворяли условию |λ1,2 | ≤ 1 необходимо выполнение неравенства σ ≥ −0, 5. Поэтому далее можно рассматриватьтолько такие значения σ. Если дискриминант d = 1 − 4σξ < 0, тоσ2|λ1,2 | =< 1.1+σ+ξВ случае d ≥ 0 выпишите систему вида (13.24).5.1. У к а з а н и е. Покажите, что множитель перехода схемы (5.6)вычисляется по формуле1ϕ1ϕ2 ,1 + 4rx sin+ 4ry sin222где использованы обозначения (5.9).λ=2155ϕ1ϕ2− 2ry sin222 .5.2.
У к а з а н и е. Покажите, что λ =2 ϕ12 ϕ21 + 2rx sin+ 2ry sin221¶.5.4. τ ≤ µ11ν+ 2h2xhyР е ш е н и е. Из разностного уравнения схемы Кранка — Николсон(5.7) следует равенство1 − 2rx sin2n(1 + rx + ry ) un+1j,m = (1 − rx − ry ) uj,m +¢ ry ¡ n+1¢rx ¡ n+1uj−1,m + un+1uj,m−1 + un+1j+1,m +j,m+1 +22¢ ry ¡ n¢rx ¡ nn+uj−1,m + uj+1,m +uj,m−1 + unj,m+1 + τ ϕnj,m .22Пусть выполнено условие+rx + ry ≤ 1.(13.26)Тогда¯¯° n+1 °¯°° +kun k +τ max kϕn k . (13.27)(1 + rx + ry ) ¯un+1j,m ≤ (rx + ry ) uCCCn¡¢Эта оценка справедлива во всех внутренних узлах xj , ym , tn+1 , т. е.при (xj , ym ) ∈ ωh , n = 0, .
. . , M − 1.Учитывая граничные условия, будем иметь¯¯° n+1 °n¯°° . (13.28)(1 + rx + ry ) ¯un+1j,m ≤ max |µ (xj , ym , t )| + (rx + ry ) uCΓh¡¢Эта оценка имеет место в граничных узлах xj , ym , tn+1 ∈ Γh .Поскольку максимальное значение выражений в левых частях неравенств (13.27), (13.28) не превосходит максимума правых частей, то будет справедливым следующее неравенство:°°(1 + rx + ry ) °un+1 °C ≤µ¶°°nnn≤ max max |µ (xj , ym , t )| , ku kC + τ max kϕ kC + (rx + ry ) °un+1 °C .nΓhОтсюда следует принцип максимума (5.15), поэтому выполнение условия (13.26) достаточно для устойчивости рассматриваемой схемы в равномерной норме.1565.5.
У к а з а н и е. Покажите, что решение задается формулой(5.29), где1q(k,l) =.(13.29)1 + τ νλ(k,l)5.6. У к а з а н и е. Покажите, что решение задается формулой(5.29), гдеτ1 − νλ(k,l)2.(13.30)q(k,l) =τ1 + νλ(k,l)25.7. У к а з а н и е. Покажите, что для разности (5.42) решенийнестационарной и стационарной задач выполняется¯ оценка¯ (5.45), приэтом q(k,l) вычисляется по формуле (13.29) и max ¯q(k,l) ¯ < 1.
Отсюдаk,lследует сходимость при n → ∞, причем скорость сходимости тем больше, чем больше величина шага по времени τ .5.8. У к а з а н и е. Покажите, что для разности (5.42) решений нестационарной и стационарной задач выполняется оценка (5.45),¯ где¯ q(k,l)вычисляется по формуле (13.30), ν = 1. Докажите, что max ¯q(k,l) ¯ < 1.k,l6.2.
У к а з а н и е. Рассмотрим, например, уравнение (6.30) принекотором фиксированном m, m = 1, . . . , Ny − 1. Запишем его в видеn+1/2n+1/2aj uj−1,m − cj uj,mгдеaj = bj =dj = −unj,m −n+1/2+ bj uj+1,m = dj ,rx,2j = 1, . . . , Nx − 1,c j = 1 + rx ,rx =(13.31)τ,h2x¢ry ¡ nn+1/2uj,m−1 − 2unj,m + unj,m+1 − τ fj,m ,2ry =τ.h2yДля решения трехточечного разностного уравнения (13.31) используемметод прогонкиn+1/2uj,mгдеξj =n+1/2= ξj uj+1,m + ηj ,bj,cj − aj ξj−1ηj =j = Nx − 1, . . . , 0,aj ηj−1 − dj,cj − aj ξj−1157j = 1, .
. . , Nx − 1.n+1/2Из граничного условия (6.32) получаем, что ξ0 = 0, η0 = u0,m .Проверьте, что достаточные условия (2.2.49)—(2.2.51) корректностии устойчивости метода прогонки выполняются.6.4. У к а з а н и е. Схема (6.67) абсолютно устойчива, экономична,обладает свойством полной аппроксимации, погрешность аппроксимации имеет порядок O(τ + h2x + h2y ).
Для горизонтальных прогонок шага(6.69) следует использовать граничные значенияn+1/2ξj,m= (E − τ Λyy )nµn+1j,m − µj,mτ(13.32)в узлах (xj , ym ) (j = 0, Nx ; m = 1, . . . , Ny − 1). Для вертикальныхпрогонок шага (6.70) — значенияn+1ξj,m=nµn+1j,m − µj,m,τj = 1, . . . , Nx − 1; m = 0, Ny .(13.33)В трехмерном случае схема реализуется дробными шагами (6.23)—(6.26),в которых τ /2 заменяется на τ , а f n+1/2 — на f n+1 .6.5. У к а з а н и е. Свойства схемы (6.74), (6.75) такие же, каку СПФ (6.67). При выполнении горизонтальных прогонок шага (6.74)следует использовать граничные значения¡ n+1¢n+1/2nuj,m = µn+1j = 0, Nx ; m = 1, .
. . , Ny − 1.j,m − τ Λyy µj,m − µj,m ,Обобщение для трехмерной задачи выглядит так (ср. с формулами СПН(6.43)—(6.45))un+1/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un + Λzz un + f n+1 ;τ(13.34)un+2/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un + f n+1 ;(13.35)τun+1 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un+2/3 + Λzz un+1 + f n+1 .(13.36)τ6.6. У к а з а н и е. Свойства ССП (6.76), (6.77) такие же, как у СПН(6.74), (6.75).
Трехмерный аналог схемы (6.76), (6.77) имеет следующийвид:un+1/3 − un= Λxx un+1/3 + Λyy un + Λzz un + f n+1 ;τ158(13.37)³´un+2/3 − un+1/3= Λyy un+2/3 − un ;(13.38)τ¡¢un+1 − un+2/3= Λzz un+1 − un .(13.39)τЭта схема первого порядка аппроксимации по τ аналогична ССП(6.51)—(6.53), построенной на основе схемы Кранка — Николсон.6.7. У к а з а н и е. Используя перестановочность операторов Λxxи Λyy и исключив дробный шаг, покажите, что схема расщепления (6.78),(6.79) эквивалентна следующей схеме в целых шагах:¡¢¡¢ un+1 − unE − τ Λxx E − τ Λyy= Λun + f n+1 − τ Λxx Λyy un .
(13.40)τПоэтому схема расщепления имеет первый порядок аппроксимации поτ и не обладает свойством полной аппроксимации даже при f ≡ 0.Пусть Ā = A+τ Ax Ay . Тогда Ā∗ = A > 0. Факторизованный операторB̃ = (E + τ Ax )(E + τ Ay ) также обладает этим свойством: B̃ ∗ = B̃ > 0.Кроме того,ττ2τA + Ax Ay = Ā.222Поэтому, согласно теореме 2.7, схема расщепления абсолютно устойчива.Для выполнения прогонки на первом шаге (6.78) необходимы граn+1/2n+1/2ничные значения u0,m и uNx ,m . Они определяются из второго уравнения (6.79) по формулеB̃ = E + τ A + τ 2 Ax Ay >n+1/2uj,mn+1= µn+1j,m − τ Λyy µj,m ,j = 0, Nx ; m = 1, .
. . , Ny − 1.(13.41)6.8. У к а з а н и е. Покажите, что после исключения дробных шаговсхема предиктор-корректор (6.80)—(6.82) примет вид¡E−¢¡¢τττ2Λxx E − Λyy ut = Λun + f n+1/2 + Λxx Λyy f n+1/2 . (13.42)224Таким образом, она отличается от СПФ (6.15) последним слагаемым,которое сохраняет порядок аппроксимации СПФ, но нарушает свойство полной аппроксимации. Поскольку обе схемы имеют один и тотже факторизованный оператор B̃, то условия устойчивости схем будутодинаковыми. При f ≡ 0 схема обладает свойством полной аппроксимации.159БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.
Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука,1973.2. Дробышевич В. И. и др. Задачи по вычислительной математике/ В. И. Дробышевич, В. П. Дымников, Г. С. Ривин. М.: Наука, 1980.3. Коробицына Ж. Л., Хакимзянов Г. С. Практикум на ЭВМ покурсу «Методы вычислений». Новосибирск: НГУ, 1995.4. Лаевский Ю. М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). Новосибирск: НГУ, 1999.5. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,1980.6. Марчук Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
