1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Графики точного решения (штриховые линии) и численного решения (сплошные линии), полученного с помощью модифицированной схемы Лакса – Вендроффа с функцией-ограничителем (2.50)в моменты времени t = 1 (1); t = 8 (2); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10;aτ /h = 0, 543ЗАДАЧИ2.1. Покажите, что схема Лакса (1.46) сохраняет монотонность численного решения.2.2. Докажите, что если aæ ̸= 1, то схема с постоянными коэффициентамиun+1− unja(1 − aæ) na(3 + aæ) nj+ux,j+1/2 +ux,j−1/2 = 0τ44(2.52)аппроксимирует уравнение переноса (2.1) на его решении с порядкомO(τ + h) и при условииaæ < 1(2.53)для нее выполняется спектральный признак устойчивости. Покажите,что при выполнении условия (2.53) один из коэффициентов этой схемы,записанной в виде (2.4), отрицателен, но, тем не менее, схема (2.52) переводит монотонно возрастающую функцию unj = xj − atn в монотонновозрастающую un+1= xj − atn+1 , где tn+1 = tn + τ .
Не противоречитjли этот факт теореме 2.1?2.3. Доказать, что схема Лакса – Вендроффа, аппроксимирующаяуравнение (2.1) с положительным коэффициентом a > 0, сохраняет на(n + 1)-м слое по времени монотонность произвольной монотонно возрастающей на n-м слое по времени функции un , удовлетворяющей условию unx̄x,j ≤ 0, а также произвольной монотонно убывающей функцииun , такой, что unx̄x,j ≥ 0. Не противоречит ли это утверждение установленному ранее факту о том, что схема Лакса – Вендроффа не являетсясхемой, сохраняющей монотонность численного решения?2.4.
Докажите, что выполнение условий (2.23) достаточно для того,чтобы схема (2.22) была TVD-схемой.2.5. Показать, что противопоточная схема является TVD-схемой,а схема Лакса – Вендроффа не удовлетворяет TVD-условию (2.24).2.6. Определить порядок аппроксимации схемы (2.44) при aτ /h =const, построенной для уравнения переноса (2.1) с положительным коэффициентом a. Выписать п. д.
п. и дать качественное объяснение поведения решения разностной схемы при t > 0, если в начальный моментвремени t = 0 задана ступенька (1.61).2.7. Определить порядок аппроксимации схемыun+1− unj−3unj + 4unj+1 − unj+2a2 τ unj+2 − 2unj+1 + unjj+a=,τ2h2h244(2.54)при |a|τ /h = const, построенной для уравнения переноса (2.1) с коэффициентом a < 0. Выписать п. д. п. и дать качественное объяснениеповедения решения разностной схемы при t > 0, если в начальный момент времени t = 0 задана ступенька (1.61).2.8. Показать, что для сохранения монотонности численного решения при a < 0 достаточно, чтобы функция-ограничитель удовлетворялаусловиям (2.32).
Вывести формулу (2.49) для функции-ограничителяв случае a < 0.§ 3. Построение монотонных схемна основе метода дифференциальногоприближения3.1. Рассмотрим здесь способ монотонизации разностных схем, основанный на анализе их дифференциальных приближений. Как и впредыдущем параграфе будем рассматривать задачу Коши (2.1), (2.2)для линейного уравнения переноса с постоянным коэффициентом (a > 0или a < 0):ut + aux = 0,a = const,−∞ < x < ∞,t > 0,(3.1)(3.2)u(x, 0) = u0 (x).Оказывается, что все явные схемы, рассмотренные в § 1 для уравнения (3.1), можно записать в виде единой схемы с параметром.
Этасхема, которую мы будем называть явной схемой предиктор-корректор,на равномерной сетке с узлами xj = jh и шагом h > 0 имеет следующийвид:u∗j+1/2 − 12 (unj+1 + unj )∗τj+1/2+aunj+1 − unj= 0,hu∗j+1/2 − u∗j−1/2un+1− unjj+a= 0,τh(3.3)(3.4)где τ – шаг по времени. На шаге «предиктор» вычисляются вспомогательные величины u∗j+1/2 , определенные в узлах с полуцелыми индексами (в полуцелых узлах) xj+1/2 = xj + h/2. Эти величины относятсяτn∗∗к моменту времени t = tn + τj+1/2, где tn = nτ , τj+1/2= (1 + θj+1/2),245nθj+1/2– параметр схемы, вообще говоря меняющийся от узла к узлу и отодного временно́го слоя к другому.
На шаге «корректор» вычисляютсяискомые величины un+1, определенные в целых узлах xj и относящиесяjn+1к моменту времени t= tn + τ .nОчевидно, что при θj+1/2 ≡ 0 схема (3.3), (3.4) совпадает со схемойЛакса – Вендроффа (1.49). Покажем, что приnθj+1/2≡ θ0 =1−1>0|a|æ(3.5)получается противопоточная схема (2.9). В самом деле, для такого значения параметра величина τ ∗ будет равнаτ∗ =τ 1hhτ(1 + θ0 ) ===,22 |a|æ2|a|2s aгде s = sgn(a). Поэтому из уравнения (3.3) получаемu∗j+1/2 =1+s n 1−s nuj +uj+1 .22(3.6)Тогда из уравнения (3.4) будет следовать формула (2.9) противопоточной схемыun+1− unja + |a| na − |a| nj+ux,j−1/2 +ux,j+1/2 = 0.τ22(3.7)Нетрудно показать, что приnθj+1/2≡ θL =1a2 æ2−1>0(3.8)получается (см.
задачу 3.1) схема Лакса (1.46). Если уравнение (3.3)записать в видеu∗j+1/2 =unj+1 − unjunj+1 + unj∗− aτj+1/22h(3.9)nи взять θj+1/2≡ −1, то получим абсолютно неустойчивую схему с ценnтральной разностью (1.83). При θj+1/2≡ θ0 /2 получаем немонотоннуюnсхему (2.52), а при θj+1/2 ≡ (θ0 + θL )/2 – схему, сохраняющую монотонность численного решения (см. задачу 3.2).46nТаким образом, выбирая то или иное значение параметра θj+1/2, мыбудем получать явные схемы с различными свойствами: первого иливторого порядка аппроксимации, абсолютно или условно аппроксимирующие, условно устойчивые или абсолютно неустойчивые (см. задачу 3.3), сохраняющие или не сохраняющие монотонность численногорешения.n3.2. Нас будут интересовать такие значения параметра θj+1/2, прикоторых схема предиктор-корректор имеет второй порядок аппроксимации и сохраняет монотонность численного решения.
Сразу отметим,что значение θ = 0 не подходит, поскольку схема Лакса – Вендроффане сохраняет монотонность численного решения.Пусть теперь θ = const ̸= 0 иæ=τ= const.h(3.10)Тогда дифференциальное представление рассматриваемой схемы имеетвид∂u∂u∂2u∂3u+a= c2 2 + c3 3 + . . . ,(3.11)∂t∂x∂x∂xпри этом коэффициенты c2 и c3 вычисляются по формулам [30]c2 =a2 τθ,2c3 =)ah2 ( 2 2a æ (3θ + 1) − 1 .6(3.12)Видим, что в дифференциальном представлении присутствует слагаемое порядка O(τ ), поэтому при θ = const ̸= 0 схема (3.3), (3.4) имеетлишь первый порядок аппроксимации.Получим необходимое условие устойчивости рассматриваемой схемы при условии θ = const ̸= 0.
Для этого перепишем схему в видеодношаговой(3.13)un+1= b−1 unj−1 + b0 unj + b1 unj+1 ,jгдеa2 æ2 (1 + θ) ∓ aæ, b0 = 1 − a2 æ2 (1 + θ),(3.14)2и в уравнение (3.13) подставим гармонику (1.32). В результате будемиметь следующее выражение для множителя перехода:b±1 =λ = 1 − 2a2 æ2 (1 + θ) sin247φ− iaæ sin φ.2(3.15)Отсюда|λ|2 = 1 − 4a2 æ2 θ sin2[]φφ− 4a2 æ2 1 − (1 + θ)2 a2 æ2 sin4 ,22(3.16)поэтому из необходимого условия устойчивости |λ| ≤ 1 будет следовать,что1θ ≥ 0, |a|æ ≤ √.(3.17)1+θУсловие неотрицательности параметра θ мы будем использовать даnлее и в случае переменного параметра θj+1/2.Выясним, при каких условиях схема (3.3), (3.4) (первого порядкааппроксимации при θ = const > 0) сохраняет монотонность численного решения.
Согласно теореме 2.1, для этого необходимо и достаточно,чтобы постоянные коэффициенты bα в представлении (3.13) были неотрицательными, что эквивалентно выполнению неравенств11≤ |a|æ ≤ √.1+θ1+θ(3.18)Для заданного числа Куранта Cr = |a|æ ≤ 1 можно, основываясь нанеравенствах (3.18), указать интервал параметра θ, в котором рассматриваемая схема предиктор-корректор будет монотонной:11− 1 = θ0 ≤ θ ≤ θL = 2 2 − 1.|a|æa æ(3.19)Cr1.010.520.00123θРис. 8. Границы областей устойчивости и монотонности схемы предиктор-корректор: 1 – верхняя граница областей устойчивости и монотонности; 2 – нижняя граница области монотонности48На рис. 8 область монотонности схемы предиктор-корректор лежитмежду кривыми 1 и 2, которые в плоскости переменных θ и Cr задаютсяуравнениями1Cr = √, θ≥0(3.20)1+θи1Cr =, θ≥0(3.21)1+θсоответственно.Итак, при выполнении условийθ = const > 0,θ0 ≤ θ ≤ θL(3.22)схема (3.3), (3.4) устойчива, имеет первый порядок аппроксимации нагладких решениях и сохраняет монотонность численного решения.
Недостатком схемы, проявляющимся при решении задач с разрывнымирешениями, является сильное размазывание численного решения в области скачка (см. рис. 3, где θ = θ0 ).3.3. Если параметр θ не зависит от x и t, но зависит от шагов сеткиh и τ так, что θ = O(h) (это в силу равенства (3.10) то же самое, чтоθ = O(τ )), то первое дифференциальное приближение схемы (3.3), (3.4)примет видut + aux =)a2 τ θah2 ( 2 2uxx +a æ − 1 uxxx .26В силу равенств τ |θ| = O(τ 2 ) = O(h2 ) получаем, что при θ = O(h) порядок аппроксимации будет вторым. Необходимое условие устойчивостиостанется прежним (3.17).В рассматриваемом случае коэффициенты bα в представлении (3.13)не зависят от переменных x и t, но зависят от шагов сетки. Схему (2.4)с такими коэффициентами будем называть схемой с квазипостоянными коэффициентами.
Легко проверить, что теорема 2.1 остается верной и для схем с квазипостоянными коэффициентами. При выполненииусловий11θ = O(h) ≥ 0,≤ |a|æ ≤ √(3.23)1+θ1+θкоэффициенты bα схемы предиктор-корректор неотрицательны, поэтому она будет схемой второго порядка аппроксимации, сохраняющей монотонность численного решения. Однако при измельчении сетки для49сохранения второго порядка аппроксимации (т. е. чтобы θ → 0 приh → 0) и сохранения монотонности (т. е. для выполнения неравенств(3.23) при h → 0) расчет приходится вести с числами Куранта |a|æ,близкими к единице, причем чем мельче сетка, тем ближе к единицедолжно быть число Куранта. Ясно, что при решении практических задач такое жесткое условие выполнить не удастся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
